《复变函数》第四版习题解答第5章

1、问题5: 1。下列函数的奇点是什么？如果它是一根杆子，指出它的水平。(1)2211 zz；(2)3in zz；(3)1123 zzz；(4)zz1 ln；(5)()()211 zzze；(6)11ze；(7)21(1 zze)；(8)nnzz 12；(9)21英寸。解(1) () () 2211fzz=是一个有理函数，所以奇点只是一个极点，它满足()221zz=0。因此，0=zi=z是它的奇点和一阶极点，而0=zi=z是它的二阶极点。因为30sinlimzzz=是它的极点。有两种方法可以确定极点的阶数:0=za。它是一阶零；对于第三个零级。因此，0=zsinz0=z3z0=z是3sinzz的二

2、阶极点。b . 2300 sinlimi 10 mzzzzz=，so 0=z是其二阶极点，(3)原始公式=()()111)1)(1(122=zzz，so 1=z是其二阶极点，1=z是其一阶极点。(4)a()=01111 lnnnnzz，1 | | 00z()zf的1m零级。根据标题:()()()()zz zm 010=()zz zm 010=m-1零级。0z()zf3验证:i2z=是ch的一阶零。z解表示为ichcos022=，i2i(ch)shisin 22 zz=，i2z=是ch的一阶零。z4是函数0z=2(sinsh2)zzz的极点。解决方案00 (sinsh2) 0，(sin sh2)

3、(cosch 2)0 zzzzzzz=0z=，000 (sinsh2) (sinsh) 0，(sin sh2)(cosch)0 zzzzzzzzz=0z=，(。(sin sh2)(cosch)2zzzzzzzzzzz=，所以它是函数sin的五阶零，即0z=sh2zzz z2(sin sh2)zzz的十阶极点。5如果()fz和是以()gz0z为零点的两个解析函数，则00()()lim im()()zzfzfzgz=或两端。证明了()fz之和是两个零点()gz0z不等于零的解析函数。设0()()()fzzz=，0()()()gzzz=，()，()zz为解析函数，则00()()()()()()()(

4、)因此，00()()limlim()()zzfzgzz=，00000()()()()lim=lim()()()()()zzzz zzfzgzzz=，即00()()lim()()za=za=(1)；(2)；(3)()()zz()()/zz()()zz由问题含义解决，其中()fz、()gz在点和a()0fa处解决。()0ga-2-(1)是za=()()zz的阶极点。那时，当a是()()/zzn nm=时，它是一个可移动的奇点。在那个时候，点a是最大阶的极点，它是nm().当nm=时，a点是一个极点。(退化为可移除)，其阶不高于m，并且该点也可以是a()()z za()()z z的可移除奇点(解析点

5、)。7函数()()211fzzz=具有二阶极点，并且该函数具有以下laurent展开式1z=()()25431111，| 1 | 1.1111zzzzz=？1|2|z，所以“这是一个自然奇点”，并且它不包含1z=()zf()12z幂项，那么这些陈述正确吗？()res，10fz=错误的解，不是1z=()zf的自然奇点，因为函数的laurent展开式是在1|2|z中获得的，而不是2=z的环面场中的laurent展开式。()()()22111res，1lim1121！孤立奇点的分类必须根据奇点附近的劳伦特展开式来确定。8在有限奇点找到下列函数的余数:()zf1)212 zzz；2)241 zez；3

6、)421(1)zz 3；4)coszz；5)1 cos 1z；6)21英寸zz；7)1英寸zz；8)shchzz .解决方案1)(1)()2011年版，0lim22zzfzzzz=()，2213res，2 lim(2)22 zzzzzzz=2)()421 zzfz=，是分母的四阶零点和分子的一阶零点，因此它是0=z()zf的三阶极点。()=4232201！21lim0，reszezdzdzfzz=34或扩展laurent系列()=？3248！314！212111zzzzzf knows () 340，res1=czf3) () 243223i11res，ilim (i) i2！(1)8zdzf

7、zzdzz=3=，-3-()243223i11res，ilim(i)i2！(1)8zdzfzzdzz=34)12res()，(1)()2(cos)2kzzzfzkz=，0，1，2，k=？5)201(1)cos，|1|01(2)！(1)nnnzznz=，know () 1res，10fzc=6) 1222111 (1) sin，| | 0 (21)！nnnzzzznz=，know () 11res，06fzc=7) 201res()，0lim0sinzzzzzzzzzzzzz=，1 (1) res()，1，2，(sin)kzfzkzkzk=？8) 1 () i21shres()，()i1，2(c

8、h)zkzfzkz=是一个整数。9计算以下各点(使用残差；周长都是正的)(1)3 | | 2 inzzdzz=？(2)22 | | 21 zzed zz=？(3)3 | | 21 osmzzdzz=？(其中是整数)；m(4)；(5)| 2i | 1 zzdz=？()| | 3tanzzdz=？(6)|11()()nnzdzzazb=？(其中是正整数和| |)。n1，|1，|aba=nm()00，res1=czf，0=i；当时，212=nm()()()()1/1！2/10，res231=mnzfmn！因此)！1i/(2)1(23=mim或大于或等于3的奇数，m32(1)2i/(1)！mim=(4

9、) () i1，chsh=zkzzzzzfk是它的一阶极点()？1，0=k0=k，i20=z，然后1|i2|=z()1sh，res00=zzzf，so () () i22i，res2=zfdzz vic-4-(5)()zz ftan=有一个in | |因此，21，tan resp=()1 coss 21=kzzz，通过剩余定理()1tan2ires，2i612ikczdzfzz=？=(6)当1|时，被积函数在单位圆内分解，因此积分为0；|ab当|，|1ab111211(1)res()，lim()(1)！()()(1)！()nnnnnnzadnfzazandxzazbnb 21(22)！n=11

10、1211(1)res()，lim()(1)！()()(1)！()nnnnnnzadnfzbndznbba=21(22)！所以积分是0；当| |，积分1|a122(1)(22)！(1)！()nnnnab110确定以下函数的奇点z=是什么？找到残留物。1)21ze；2)cos；3)sinzz223zz .解决方案1)如果奇点可以被消除，则剩余为零。21()()()ttfzfet=；2)2211001()()()(1)(1)(2)！(21)！nnnnnzztfzftnn=，所以z=z是函数的本质奇点，而且因为它是在整个复平面上分解的，所以它的余数为零。cossinz3)2242239(1)3zzzz

11、z=？没有正幂项，所以它是一个可移动的奇点，余数是12c=22112res()，res()，0res，02 (13) fzfzzz=。11，if()，reszf(1)1)(2=zezfz(2)4()1(1)(4=zzzzf解(1)1)(2=zezfz有两个一阶极点，1，1=zz，所以根据定理，所有的余数总和为零，res11=zezfzfzz=1s h221=ee(2)()()()4114=zzzzf是一阶极点，0=z1=z是四阶极点，用有限奇点的剩余和计算无穷远处的剩余太麻烦了。通常，它直接用于=z(.解决方案1)函数15224 (1) (2) zz3在| |，并且除了3z=点之外没有其他奇点

12、，因此根据定理2和规则四，1522432243112ires()，2ires()，0 (1) (2) 12ires，02i (1) (1) 2)()zezzzf131=奇点，1=z，0=z1=z是一阶极点，0=z是自然奇点，在0)221(1)d-6-4)2401 xdxx；5)2co 45 xdxxx；6)2s 1 xx xx .解决方案1)因为被积函数的分母53sin在02内不为零，所以积分是有意义的。22|1|1i3122ires()，1 i 310 i 3532 i 22 i 6 10 i2 zzzdzidzzzzzzz=？因为被积函数的分母cosab在02内不为零，所以积分是有意义的。

13、222222222|1|11()i(1)2i2ire()，0res()，1i 2(2)2zzzdzzaabzidzsfzzbzazbabz=？fz是222220 (1) (3) ires()，0(2)zzazbzzfzbzbzb=，2222221(1)ires()，4(32)aabzbabzbzbzbzbzbzbzbzbzb=so 2222()3)函数221()(1)fzz=在上半平面中只有两个极点i，以及223 ii12res()，ilim(1)(lim(1)(2i)4zzddfzzdzz因此，1i3i2i (res()，res()，)24422ifzfz=。5)对于i245xeidxxx=

14、，设()2145rzzz=，则2iz=是上半平面中的一阶极点()zr-7点，因此有:()i1i2i (sin2icos 2) res，i242zzeerzez=，则原始积分。i1re2ires()，2icos2zrzee=6)对于i21xeidxx=，让()21zzzr=，则i=z是上半平面中()zr的一阶极点，因此有:()()2i) i) (ilimi，res1ii=ezzzerzzz()0 sin 1 sin 2 xdxxx=，使用图中所示的闭合曲线计算上式右端的积分(它是的一阶极点，在实轴上)。根据柯西基本定理，i/zez0z=i/zez 14号图rrryxoricriiiiii 0rz

15、xzzzxrrrrrrrrrrrrreeeedzdzdzdxzxzzzx=，设xt=，则i-xxrrrrrrrexdxixx=，所以iisin2ixxrrrrrreedxdxdxxxxx=.和ii (i)-i-22i 2，知道。ii(i)-i 22001 izryyrrreedzdyzryrer=，类似地，ii1zrrrreedzzr，已知iiiilim0zzrrrrreedzdzzz=和实施例4使用相同的方法得到i0limirzcredzz=。-8-so 0 sin 2 ixdxx=，即0sin2xdxx=。15使用公式(5.4.1)计算下列积分：1)|312izdzz=？2)2|32i1zzdzz=？3)|3tan4izzdz=？4)|310(1)zdzzz=？16在该区域被设置为向前的简单闭合曲线，并且cd0z是内点。如果c()fz被解析，