小波变换原理与应用最新版本

1、.,1,小波变换原理与应用,学院：电子信息工程学院 专业：xxx 姓名：,时间：2016年3月26号,.,为什么需要要对信号进行变换,原始信号有一些信息是很难获取的，为了获得更多的信息，我们需要对原始信号进行数学变换。从而获得更多的信息。例如生活中常见的心电图，在心电图的时域信号中一般很难找到这些病情，所以心脏病专家一般用记录在磁带上的时域心电图来分析心电信号，从而确定病症是否存在。,.,3,一、FT和STFT 二、小波变换 三、小波变换在图像处理中的应用,主要内容,.,1.1 傅里叶变换（FT）,FT：,IFT：,通过上述FT公式可以发现，信号的频域是一些指数项的累加和，每个指数项对应特定的

2、频率，然后在整个时域整合起来。其中指数项可以用以下的表达式表示：,即信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的，如果信号中频率为f的分量幅度较大，那么这个分量就和正弦项重叠，他们的即就比较大，这表明信号有一个频率为f的主要分量。,.,信号一,cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*50*t),信号二,.,对上面两个信号进行FT后得到的频域图,信号一,信号二,由于这个信号的频率分量一直保持不变，我们将此类信号称之为平稳信号,非平稳信号,.,由上面两个频域图可以看出傅里叶变换只能给出信号的频谱分量，而无法给出相应的频谱分量的出现时间

3、，当我们想知道频率分量出现的确切时间时，傅里叶变换对于非平稳信号是不合适的。而且现实中几乎所有的生物信号都是非平稳的。那么我们应该怎样将时间信息加到频率图中去呢？这时我们可以考虑将部分非平稳信号看成平稳信号。,.,1.2STFT,STFT:,STFT只不过是对乘了一个窗函数的信号做傅里叶变换，以此得到在某段时间内的频率信息。,根据海森堡测不准原理，在STFT中由于窗口长度有限，它仅仅覆盖了信号的一部分，因此导致频率分辨率较差，即我们不能确切的知道信号中那些频率分量存在，只知道那些频段的分量存在。,.,如果我们有一个无限长的窗口，然后做傅里叶变换，会得到完美的频率分辨率，但是结果中不包含时间信息

4、。更进一步为了获得信号的平稳性，我们需要一个宽度足够短的窗函数，窗口越短，时间分辨率越高，信号的稳定性越高，但是频率分辨率却越来越低。,窄窗=高时间分辨率，低频率分辨率 宽窗=高频率分辨率，低时间分辨率,.,加窄窗之后对应的STFT，可见有较好的时间分辨率，但是频率分辨率很差。,加较宽窗之后对应的STFT，可见有较好的频率分辨率，但是时间分辨率很差。,.,11,2.1 小波的发展历史工程到数学,1807: Joseph FourierFT，只有频率分辨率而没有时间分辨率 1909: Alfred Haar发现了Haar小波 1945: GaborSTFT 1980：MorletMorlet小波

5、，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重构算法）,.,12,小波的发展历史工程到数学,1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用

6、方面做出了极其重要贡献 在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等,.,13,2.2.1 连续小波变换,如果函数 满足以下容许性条件：,则称 为一容许性小波，并定义如下的积分变换：,以上积分变换为 以 为母小波的积分连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。,.,2.2.2离散小波变换,将a,b离散化，令 ，可以得到离散小波变换：,其中：,.,2.3 几种常用小波,（1） Ha

7、ar小波,A.Haar于1990年提出一种正交函数系，定义如下：,.,（2）Meyer函数,Meyer小波函数 和尺度函数 都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。,其中， 为构造函数Meyer的辅助函数，且有：,.,（3）其他常用小波,Daubechies(dbN)小波系 Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 Symlets(symN)小波系 Morlet(morl)小波 Coiflet(CoifN)小波系,.,2.4 塔式算法,(1) 信号在小波空间的展开为：,（2）小波分解算法 使用多分辨析的金字塔算法：,实际计算时，可以一次一次地进行小波分解，然后递推实现(J-

8、j)次小波分解。假设一次小波分解的尺度系数和小波系数为：,.,可以得到：,因为：,故：,代入得：,从而：,最后得到如下尺度系数和小波系数：,.,基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，去除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩目的。但是该方法在处理过程中不能提供时域的信息，在比较关心的时域特性的时候显得无能为力。,三、小波分析在图像处理中的应用,有时，对图像分析时，需要对某个局部的细节要求有很高的分辨率，单纯的时域分析方法显然不能达到这个要求，虽然可以通过对图像进行块分解，然后对每块作用不同的阈值或掩码来达到这个要求，但分块大小相对固定，有失灵活性。 在这个方面，小波分析就优越的多。由于小波分析具有固定的时频特性，可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对感兴趣的部分提供不同的压缩精度。,.,3.1 二维小波变换的图像压缩,二维小波变换用于图像压缩是小波分析应用中的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，并且在压缩过程中可以抗干扰。,对于一幅图像（二维信号）来说，表现一副图像的最主要部分是低频部分，所以最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。,.,3.2 小波变换用于图像去噪,噪声就是妨碍人的视觉器官或系统传感器所接收图像源进行理解和分析的各种噪声