必修五1.1.2余弦定理(强烈推荐,公开课)

1、余弦定理(一),千岛湖,3.4km,6km,120,）,情景问题,?,千岛湖,千岛湖,情景问题,3.4km,6km,120,）,?,3.4km,6km,120,A,B,C,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求 AC,用正弦定理能否直接求出 AC？,）,因为某种实际需要，需测量左图中A、B两点间的距离，如何测量？,实际测量中，测量人员在如图所示位置取点C，用皮尺测得AC=8米，BC=5米，ACB=,问：怎么样算AB的长度？,余弦定理,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.,设,由向量减法的三角形法则得,C,B,A,c,a,b,

2、由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,C,B,A,c,a,b,余弦定理,由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,复习回顾：,1.正弦定理的内容,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？,（1）已知三角形的两角和一边 （2）已知两边和其中一边的对角。,若已知三角形的三边，或者是两边及其夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？,问：,新课讲授：,新课讲授：,同理有：,我们已经学过向量,下面试着用向量的方法给予证明

3、,新课讲授：,余弦定理,你能用文字说明吗？,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,想一想： 余弦定理能够解决什么问题？,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,方程思想：,四个量，知三求一,已知两边b,c和它们的夹角A 求另一边a（直接用）；,2.已知三边求角（变形）.,利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三

4、个角。,一、已知三角形的两边及夹角求解三角形,变式：,3,例2、在ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C).,解：由余弦定理得,二、已知三角函数的三边解三角形,变式：,三.判断三角形的形状 由推论我们能判断三角形的角的情况吗?,推论：,提炼：设a是最长的边，则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,（1）若A为直角，则a=b+c （2）若A为锐角，则ab+c,由a2=b2+c22bccosA可得,例3、在ABC中，若 ， 则ABC的形状为（ ）,、钝角三角形 、直角三角形 、锐角三角形 、不能确定,那 呢?,例,结论：,一钝角三角形的边长为连

5、续自然数，则这三边长为（ ）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6,练习：,1、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的 形状.,A,D,C,B,)300,)450,2、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=450，求AC的长。,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km， B=120o，求 AC,解决实际问题,解：由余弦定理得,答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.,巩固提高,巩固提高,课堂小结,1.余弦定理及变形,2.余弦定理可解决的问题,（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边,3.余弦定理得出的推论,余弦

6、定理 （二）,练一练：会用才是硬道理,例1、在ABC中，已知a =1 , c = 2 ， B =150。，求b.,变式1、已知ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角.,变式2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状,思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？,归纳：设a是最长边,则 ABC是直角三角形 a2=b2+c2 ABC是锐角三角形 a2 a2b2+c2,例2 在ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值.,分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求

7、出第三边,找到最大角.,解：,则b是最大边，那么B 是最大角.,例3 在ABC中，已知BC=a, AC=b, cosC= - 0.5, (1)求角C的度数 （2）求AB的长,变式：ABC中，B=60，b2=ac,求角A,练：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长 A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6,分析： 要看哪一组符合 要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。,B中： ， 所以C是钝角.,D中： ，所以C是锐角. 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形.,解：A、C显然不满足.,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形

8、。,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形。,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形。,思考,在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？,在已知三边和一个角的情况下：求另一个角,用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。,用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取,1.在ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。,2.在ABC中，已知 , , B=45， 求b和A。,3.在ABC中，已知 , , A=45， 求边长c，角B，角C。,解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos60

9、0, BD=34cos600, AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(34 cos600)2 =42+32234cos600 AB=,已知C=600,AC=4,BC=3,求AB.,猜想：AB=AC+BC2ACBCcosC 对任意三角形是否成立？,证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.,C点的坐标为( ),x,y,B(c,0),C,b,c,如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,a,(0,0),例.已知b=8,c=3,A=600求a.,a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49,4.定理的应用,解：,a=7,变式练习：

10、1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.,例3：在ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）.,解：根据余弦定理，a=b+c2bccosA =60+3426034 cos411676.82 所以 a41(cm),由正弦定理得，,因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得 C33 B=180（A+C）=180（4133）106,例4，在ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1）。,解：由余弦定理的推论得：,A5620;,

11、B3253,C= 180（A+B） 180（ 5620 3253 ） 9047,等腰三角形的底边长为a，腰长为2a,求腰上的中线长。,（2）若A,B,C是ABC的三个内角，则sinA+sinB_sinC.,A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a,（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最大的边是20，则最小的边是_.,二.三种证明方法的比较：,几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三 角形求证（化一般为特殊）,解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方 法解决（几何问题代数化） 向量法：通过向量的知识来证明。,回顾与小结,一、余弦定理：,（1）余弦定理适用于任何三角形；,（3）由余弦