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文档简介

1、2 叶果洛夫(EropoB)定理,一致收敛与几乎处处收敛的关系,1,PPT学习交流,函数逼近是分析及计算中十分重要的问题， 它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏” 的或“复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数 的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼近可测函数 的Fourier分析都可归类为逼近问题由于收敛概 念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义； 即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”， 后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收 敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念,2,PPT学习交流,很自然地，有两个问题是必须考虑的： 1、什么样的函数可以用“好”的函数按

2、某种收敛 意义逼近？ 2、几种收敛性关系如何？ 这正是本节要讨论的内容 关于第二个问题， 前面已作过初步讨论，显然“一致收敛”强于“处处 收敛”、“处处收敛”强于“几乎处处收敛”本节则 是要考察反方向的结论几乎处处收敛能否推出 一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的,3,PPT学习交流,例如，f (x ) = xn 在( 0, 1 ) 上处处收敛到 0，但不 一致收敛到 0。然而，假如我们将 1 的一个小邻 域挖掉，即考虑区间 ( 0, 1 ，则不管 多么 小， xn 在( 0, 1 上总是一致收敛到 0 的这 就是说，可以将 (0, 1) 挖去长度充分小的区间， 使 xn 在剩下的集合上一

3、致收敛对 Rn 中一般可 测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确 呢？下面的 Egoroff 定理给出了一个肯定的回答,4,PPT学习交流,定理 (EropoB , 1911年) 设 mE 0，存在 可测子集 E E , 使得 fn 在E 上一致收敛于 f ( x ) ,且,证 由条件不妨设 fn ( x ) ，f ( x ) 都是有限函数，且,在E 上几乎处处成立即,而,5,PPT学习交流,于是对任意固定的,由于,而 m E 0 和任意正整数 k, 存在 , 使,6,PPT学习交流,令,下证: fn 在E 上一致收敛于 f , 且,由,7,PPT学习交流,由于,对任意 0，存在 k 使得 , 令,对任意 0, 存在正整数N, 使得当n N 时, 对,因此, 当n N 时, 对,所以 fn 在E 上一致收敛于 f .,8,PPT学习交流,叶果洛夫定理的逆定理 设 fn 是 E 上一列 几乎处处有限的可测函数； | f ( x )| 0，存在可测子集 E E , M( E E ) ，使得 fn 在E 上一致收敛于 f ( x ) 则,注：当 时，叶果洛夫定理不成立，但,无论 或

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