2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)

1、2018-20192018-2019 学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学试卷学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学试卷 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集 U2，1，0，1，2，Ay|y|x|，xU，则UA（） A0，1，2B2，1，0C1，2D1，2 ，则 （）2 （4 分）若向量 与向量 A （6，3） C （6，3）或 （6，3） 3 （4 分）若 AB ，则 是共线向量，且

2、 B （6，3） D （3，6）或（3，6） 等于（） CD 4 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R R 上的奇函数，且 f（x+4）f（x） ，当 x（0，2） 时，f（x）x +1，则 f（7）（） A2B2 x 2 C1D1 5 （4 分）函数 f（x）eln|x|的大致图象为（） AB CD 6 （4 分）可导函数 f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断，则“存在 x0（a，b）满足 f（x0）0”是“函数 f（x）在区间（a，b）上有最小值”的（） A充分不必要条件 C充要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 7 （4 分）从数字1 到 9 中任取 3 个数字，要求

3、既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字 的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（） A420B840C140D70 8 （4 分）设向量 最大值等于（） A1 满足，则的 B2 2 CD 9 （4 分）设 F 为抛物线 C：y 8x 的焦点，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，若 AB ，则|AB|（） CD 10 （4 分） 已知函数 f（y）成立，则 x 的取值范围是（） AB ， 当 x+y2019 时， 恒有 f （x） +f （2019） C （，0）D （1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空

4、题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11 （6 分）已知复数 z 满足 12 （6 分）计算： （i 是虚数单位） ，则 z ；|z| ；满足的实数 x 的取值范围是 2 13 （6 分）已知双曲线，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点， ，则M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线 MA2的斜率之积是 双曲线的离心率为；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程 为 14 （ 6 分 ） 二 项 式 （ 1 2x ） 5 的 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 为； 已 知 ， 则a1 2a2+3

5、a3 4a4+5a5 15 （4 分）已知向量 16 （4 分）3 名男生和 3 名女生共 6 人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻， 3 名女生有且只有 2 名女生相邻，则不同排法的种数是 （用数字作答） 17 （4 分）已知不等式（ea）e +x+b+10 恒成立，其中e 为自然常数，则 为 x ，向量 在向量 上的投影为 3，且，则 的最大值 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）设函数 其中常数 的图象关于直线 x对称， （1）求函数 f

6、（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在区间上的取值范围 19 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ABC60，侧 面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA2 （1）求证：平面 PBD平面 PAC； （2）若点 M 为 PD 中点，求直线 MC 与平面 PBC 所成角的正弦值 20 （15 分）已知函数，其中 a 为实数 （1）若函数 f（x）为定义域上的单调函数，求a 的取值范围 （2）若 a7，满足不等式 f（x）a0 成立的正整数解有且仅有一个，求 a 的取值范 围 21 （15 分）已知椭圆 C： （1）求椭圆 C 的方程； （2）

7、过 A 作斜率分别为 k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且 k1+k22，证明： 直线 MN 过定点 （ab0）过点 A（0，1） ，且离心率为 22 （15 分）设函数 f（x）（ax x）lnx+a1，a R （1）当 a0 时，求证：f（x）x； （2）当时，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 2 2018-20192018-2019 学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040

8、分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 【分析】可求出集合 A，然后进行补集的运算即可 【解答】解：A0，1，2； UA2，1 故选：C 【点评】考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算 2 【分析】根据 与 共线可设 量 的坐标 【解答】解： 与 共线； 存在实数 ，使 又 3； 故选：C 【点评】考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方 法 3 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可 【 解 答 】 解 ： ， 故选：A ， 则 sin （） 或（6，3） ； ； ； ，再根据即可求出 ，从而

9、得出向 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值 4 【分析】根据题意，由f（x+4）f（x）分析可得 f（x+8）f（x+4）f（x） ，则函 数 f（x）是周期为 8 的周期函数，据此可得f（7）f（1） ，结合函数的周期性与奇偶 性分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足 f（x+4）f（x） ，则有 f（x+8）f（x+4） f（x） ，则函数 f（x）是周期为 8 的周期函数， 则 f（7）f（1） ， 又由函数为奇函数，则 f（1）f（1）（1） +12， 则 f（1）2，即 f（7）2； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键分析函数的

10、周期，属于基础 题 5 【分析】结合指数函数和对数函数的变化速度，结合结合极限思想进行排除即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0，由 f（x）0 得 ln|x|0，得 x1 或 x1， f（x）eln|x| 当 x0 时，ex x 2 ， 的变化速度大于 ln|x|的变化速度，此时 f（x）为增函数，但增长速度越 来越慢，排除 A，C， 当 x，f（x）+，排除 D， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数变化率的关系 以及极限思想以及利用排除法是解决本题的关键 6 【分析】 “存在 x0（a，b）满足 f（x0）0”是函数 f（x）在区间（a，b）上有极

11、值点 的必要非充分条件即可判断出结论 【解答】解： “存在 x0（a，b）满足 f（x0）0”是函数 f（x）在区间（a，b）上有极 值点的必要非充分条件 “存在 x0（a，b）满足 f（x0）0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的 必要非充分条件 故选：B 【点评】本题考查了函数有极值点的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 7 【分析】根据奇数和偶数的个数分 1 个奇数，2 个偶数和 2 奇数，1 偶数，然后进行全排 列即可 【解答】解：9 个数字中奇数为 1，3，5，7，9，偶数为 2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数， 则若 1 个奇

12、数，2 个偶数，有 C C A 180， 若 2 奇数，1 偶数，有 C A A 240， 共有 180+240420， 故选：A 【点评】本题主要考查排列组合的应用，结合条件分1 个奇数，2 个偶数和 2 奇数，1 偶 数是解决本题的关键 8 【分析】由题意可设 （1，0） ， （0，2） ， （x，y） ，运用向量的加减运算和数 量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值 【解答】解：向量满足， 可设 （1，0） ， （0，2） ， （x，y） ， ，可得（x，y） （1x，2y）x（1x）+y（2y）0， 即为 x +y x2y0，可得圆（x） +（y1） ， 即圆心（，1） ，半径为

13、 则的最大值为 2r ， ， 2222 故选：D 【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运 算能力和推理能力，属于基础题 9 【分析】设直线 l 的方程为 yk（x+2） ，A（x1，y1） 、B（x2，y2） 、Q（x0，y0） 解方程 组，得：k x +（2k 4）x+k 0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的 斜率然后利用弦长公式求解即可 【解答】解：设直线 l 的方程为 yk（x+1） ，A（x1，y1） 、B（x2，y2） 、Q（x0，y0） 2 222 解方程组 2 22 ， 2 化简得：k x +（4k 8）x+4k 0， x1+x

14、2，x1x24， y1+y2k（x1+x2+4）， x0，y0， 由4， k |AB| 故选：D |x2x1|16 【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、 点到直线距离公式的合理运用 10 【分析】判断 f（x）在R R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，分析f（x） +f（2019）f（y）是否成立，从而求得答案 【解答】解：函数 f（x）log2（ 且满足 f（x）log2（ +x）3x，定义域为 R R， x）+3xlog2（+x）+3xf（x） ， 函数 yf（x）为定义在 R R 上的奇函数，则有 f（0）0， 又由 f（x）在0，

15、+）单调递减，则 f（x）在（，0上也为减函数， 则 f（x）在 R R 上为减函数，则 f（2019）0， 当 x0 时，y2019x2019，即 f（x）f（2019）f（y） ，则恒有 f（x）+f（2019） f（y）成立， 当 x0 时，y2019，此时 f（x）+f（2019）f（2019）f（y） ，f（x）+f（2019）f （y）不成立， 当 x0 时，y2019x2019，此时不能满足 f（x）+f（2019）f（y）恒成立， 所以 x 的取值范围是（，0） 故选：C 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档 题 二、填空题：本大题共二、

16、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，进一步求得 z ，再由复数模的计算公式 求|z| 【解答】解： 22 2 ， z （1i） 2i，|z| 故答案为：2i； 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 12 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求 数，然后分类利用对数的运算性质求解 ；把化为同底 【解答】解： 由 logxx， ，不合题意； ； 当 0x1 时，得 x 当 x1 时，得 1x 实数 x 的取值范围是

17、 故答案为：； 【点评】本题考查对数的运算性质，考查对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思 想方法，是基础题 13 【分析】根据 M（x0，y0） （x0a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A1、A2是 双曲线的左右顶点，直线MA1与直线 MA2的斜率之积是 222 ，求出直线MA1与直线 MA2 的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由 c a +b ，即可求得双曲线的离心率，再根 据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程 【解答】解；设 M（x0，y0） （x0a）是双曲线+1（a0，b0）上一点， 则1，得到， 故， 又 A1（a，0） ，A2（a，0） ， ， 则

18、 e， 其渐近线的方程为 yx，即 yx， 设双曲线的一个焦点坐标为（c，0） ， 则双曲线的焦点到其渐近线的距离 c5， c a +b ， a 9，b 16， 故双曲线的方程为1， 22 222 4， 故答案为：，1 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，考 查化简整理的运算能力，属于中档题 14 【分析】二项式（12x） 的展开式中通项公式：Tr+1 5 （2x）（2） rr x 由 r ，解得：r即可得出最大的项 ，两边求导可得：25（12x） 4a1+2a2x+3a3x +4a4x +5a5x 令 x1，即可得出234 【解答】解：二项式（12x）

19、的展开式中通项公式： Tr+1 5 （2x）（2） rr x r 由，解得：r4 最大的项为 T5（2） 4 x 80 x ，两边求导可得：25（12x） 44 4a1+2a2x+3a3x +4a4x +5a5x 4 234 令 x1，可得：a12a2+3a34a4+5a52512（1） 810 故答案为：80 x ，810 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 15 【分析】根据条件即可得出 平方即可得出 【解答】解：根据条件： 解得 ； 或1（舍去） ，解出即可 ，且 ； ； ，然后对两边 4 故答案为：7 【点评】考查向量数量积的运

20、算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积 运算 16 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共 6 个位置；若男生甲不站两端，则甲 必须在 2、3、4、5 的位置；据此分 4 种情况讨论，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共 6 个位置； 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5 的位置； 分 4 种情况讨论： ，甲在 2 号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6 号位置， 若乙在 4 号或 5 号位置，只有 2 个位置是相邻的，有 2A3A224 种排法， 22 若乙在 6 号位置，有 2A312 种排法， 此时有 24+12

21、36 种排法； ，甲在 5 号位置，同理，有 36 种排法； ，甲在 3 号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6 号位置， 若乙在 1 号位置，有 2A312 种排法， 若乙在 5 号位置，有 A3A212 种排法， 若乙在 6 号位置，有 2A3A224 种排法， 则此时有 12+12+2448 种排法； ，甲在 4 号位置，同理，有 48 种排法； 则有 36+36+48+48168 种不同的排法； 故答案为：168 【点评】本题考查排列组合及简单的计数原理，本题解题的关键是在计算时要做到不重 不漏，属于基础题 17 【分析】令 f（x）（ea）e +x+b+1，求其导函数，可得当ae

22、 时，f（x）0，不 合题意，舍去；当 ae 时，求得 f（x）的最大值为 f（ln（ae） ） ，得（ea） e e） ln（a 2 2 22 22 x ln（ae）+b+10，整理得： ln（ae）b0，可得 b+1ln（ae）+1， ，问题转化成求g（x）（xe）的最大值，利用导数 求其最大值为 g（2e），则 x 的最大值为 x 【解答】解：令 f（x）（ea）e +x+b+1，f（x）（ea）e +1， 当 ae 时，f（x）0，不合题意，舍去； 当 ae 时，由 f（x）0，得 xln（ae） ， 当 x（，ln（ae） ）时，f（x）0，当 x（ln（ae） ，+）时，f（x）

23、0， f（x）的最大值为 f（ln（ae） ） ，即 f（ln（ae） ）0， 则（ea） eln（ae）ln（ae）+b+10， 整理得：ln（ae）b0， 即 b+1ln（ae）+1， 问题转化成求 g（x） ， （xe）的最大值 g（x），令 h（x）e（xe）ln（xe） （xe） ， 则 h（x）ln（xe）1，由 h（x）0，得 xe+ 当 x（e，e+）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x（e+，+）时，h（x） 0，h（x）单调递减 当 xe+时，h（e+）e+ 且当 xe 时，h（x）0，h（2e）0， 据此可知，g（x）在区间（e，2e）上单调递增，在（2e，+）上单调递

24、减 即 g（x）的最大值为 g（2e） 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理 运算能力，属难题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 【分析】 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的 一个三角函数的形式，然后求解，即可求解函数的周期 （2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可 【解答】解： （1）函数 sin2xcos2x ， ，（3 分） 函数 f（）

25、2， ， ， ， ， 的图象关于直线 x 对称， （6 分） 最小正周期为 （2） （7 分） ， （10 分） 1，2， 1f（x）2（14 分） 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及 计算能力 19 【分析】 （1）证明 PAAB，推出 PA面 ABCD，得到 PABD，证明 BDAC，说明 BD面 PAC，即可证明面 PBD面 PAC （2）取 BC 中点 E，以点 A 为原点，分别以 AE，AD，AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，直线MC 与面 PBC 所成角为 ，利用空间向量 的数量积求解直线 M

26、C 与平面 PBC 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：因为BAP90，则 PAAB， 又侧面 PAB底面 ABCD， 面 PAB面 ABCDAB，PA面 PAB， 则 PA面 ABCD（2 分） BD面 ABCD，则 PABD 又因为四边形 ABCD 为平行四边形， 且ABC60，ABAC 则ABC 为等边三角形，则 ABCD 为菱形， 则 BDAC（5 分） 又 PAACA，则BD面 PAC，BD面 PBD，则面 PBD面 PAC（ 7 分） （2）取 BC 中点 E，以点 A 为原点，分别以 AE，AD，AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 空间直角坐标系，则A（0，0，0） ，

27、由点 M 为 PD 中点， M（0，1，1） 则 ， （9 分） 设面PBC的法向量为，则，则 （12 分） 设直线 MC 与面 PBC 所成角为 ，则 所以直线 MC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 （其它方法酌情给分） （15 分） 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及计算能力 20 【分析】 （1）分析当 0x2 时的单调性，可得x2 的单调性，由二次函数的单调性， 可得 a 的范围； （2）分别讨论当a0，当0a2 时，当2a3 时，当3a7，结合函数的单调性 和最值，即可得到所求范围 【解答】解： （1）当 0x2 时， 当

28、x2 时，f（x）x +（a+2）x2a， 2 为减函数， 若 a2 时，f（x）x +（a+2）x2a 也为减函数，且 f（x）f（2）0， 此时函数 f（x）为定义域上的减函数，满足条件； 若 a2 时，f（x）x +（a+2）x2a 在 综上所述，a2 （2）f（1）3，f（2）0， 当 a0 时，f（2）0a，f（1）3a，不满足条件； 当 0a2 时，f（x）为定义域上的减函数，仅有f（1）3a 成立，满足条件； 当 2a3 时，在 0x2 上，仅有 f（1）3a， 对于 x2 上，f（x）的最大值为 不存在 x 满足 f（x）a0，满足条件； 当 3a7 时，在 0x2 上，不存在

29、整数 x 满足 f（x）a0， 对于 x2 上，a， ， 2 2 上单调递增，则不满足条件 不存在 x 满足 f（x）a0，不满足条件； 综上所述，0a3 【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的判断以及不等式有解的条件， 考查分类讨论思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题 21 【分析】 （1）利用椭圆 C： 出 a，b，即可得到椭圆方程 （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为xt，则 M（t，s） ，N（t，s） ，然后求 解 t1当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为： ykx+b，与椭圆方程联立： ，得（4k +1）x +8kbx+4b 40，设 M（x1，y1） ，

30、N（x2，y2） ，利用韦达 定理以及 k1+k22，得到 k 与 b 的关系，然后求解直线 MN：y（b+1）x+bb（x+1） +x，恒过定点（1，1） 222 （ab0）过点 A（0，1） ，以及离心率为求 【解答】解： （1）椭圆 C： 22 （ab0）过点 A（0，1） ，可得 b1，且离心 率为a 1c ，解得 a2， （5 分）所求椭圆方程为： （2）当直线 MN 斜率不存在时，设直线方程为xt，则 M（t，s） ，N（t，s） ， ，则，t1（7 分） 当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为：ykx+b，与椭圆方程联立： 222 ， 得（4k +1）x +8kbx+4b 40，

31、 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，有（*）（10 分） 则 将*式代入化简可得： 分） ，即（kb1） （b1）0，kb+1（13 直线 MN：y（b+1）x+bb（x+1）+x，恒过定点（1，1）（15 分） 【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系 方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力 22 【分析】 （1）a0 时 f（x）xlnx1，不等式f（x）x 化为 xlnx+x+10，构造函数 s（x）xlnx+x+1， 利用导数求函数 s（x）的最小值，从而证明不等式成立； （2）方法 1：不等式化为 a（x lnx+1）xlnx+1，令 g（x）x lnx+1，利用导数判断 g （x）0，不