2010年全国高考文科数学试题及答案-天津

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学(文史类) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I 卷 1 至 3 页。第卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第 I I 卷卷 注意事项： 1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式：参考

2、公式： 如果事件A、B互斥，那么棱柱的体积公式 V=Sh. P(AB) P(A) P(B) 其中 S 表示棱柱的底面积. h表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数 3i = 1i (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i x y 3, (2)设变量 x，y 满足约束条件x y 1,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 y 1, （A）12（B）10（C）8（D）2 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 (A)-1 (B

3、)0 (C)1 (D)3 （4）函数 f（x）=e x2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是 (A)mR,使函数f（x）=x mx（xR）是偶函数 (B)mR,使函数f（x）=x mx（xR）是奇函数 (C)mR,使函数f（x）=x mx（xR）都是偶函数 (D)mR,使函数f（x）=x mx（xR）都是奇函数 (6)设a log54，b （log53） ，c log4，则 25 2 2 2 2 x 1 (A)acb(B) )bca(C) )abc(D) )bac (7)设集合A x|x-a|0

4、恒成立，求 a 的取值范围. 2 2 （21） （本小题满分 14 分） x2y23 已知椭圆 2 2 1（ab0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 ab2 为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. 4 （i）若|AB |= 4 2 5 ，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Q（0，y 0 ）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y 0 的值. （22） （本小题满分 14 分） 在数列a n中， a * 1=0，且对任意 kN ，a 2k1,a2k ,a 2k+1 成等差数列，其公差为 2

5、k. （）证明a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列； （）求数列an的通项公式； （）记T 2232n23 n a ，证明 2 a 3 a n 2 2n Tn 2 （n 2）. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案数学（文史类）参考答案 一一. . 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分分. . （1）A (2)B (3)B (4)C (5)A （6）D (7)C (8)A (9)D (10)D 5 二二. . 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题填空题：本题考查

6、基本知识和基本运算，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分. . 1x2y2 1 （11） (12)3 (13) 3412 2（-，-1） （14）（x+1） y2 2 (15)4 (16) 三三. . 解答题解答题 （17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、 二倍角的 正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分. （ ） 证 明 ： 在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sin BcosB =. 于 是 sin CcosC sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为 B C ，从而 B-C=0

7、. 所以 B=C. （）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 . 3 又 02B0等价于 2 2 f ( 1 ) 0, 5a 0. 2 8 7 解不等式组得-50,f(-)0, 2 8 1 1 当x，时，f（x）0 等价于即 112 2 f( )0, 1- 0. a2a2 解不等式组得 22 .因此 2a5. a 5或a 22 综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a5. （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、 平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形

8、结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e= c3 22222 ，得3a 4c.再由c a b，解得 a=2b. a2 由题意可知 1 2a2b 4，即 ab=2. 2 解方程组 a 2b, 得 a=2，b=1. ab 2, x2 y21. 所以椭圆的方程为 4 ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为(x 1, y1) ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. y k(x2), 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 x 2消去 y 并整理，得 2 y 1. 4 (14k2)x216k2x(16k24) 0.

9、4k16k2428k2 y x 由2x 1 ，得.从而. 11 14k214k214k2 8 28k2 4k4 1k2 所以| AB| 2 . 2 2 214k 14k 14k 4 24 1k24 2 由| AB|，得. 514k25 整理得32k 9k 23 0，即(k21)(32k223) 0，解得 k=1. 所以直线 l 的倾斜角为 42 2 2 3 或. 44 8k22k （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为., 22 14k14k 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 QA2,y

10、0 ,QB2,y 0 .由QAQB 4，得y 0 2 2。 2k 1 8k2 （2）当k 0时，线段 AB 的垂直平分线方程为y。 x 22 14kk 14k 令x 0，解得y0 6k 。 14k2 由QA2,y 0 ，QB x 1, y1 y 0 ， QAQB 2x 1 y 0 y 1 y 0 228k2 14k2 6k4k6k 14k214k214k2 416k415k21 14k 2 2 2 4， 142 14 。所以y0 。 75 2 14 5 整理得7k 2。故k 综上，y0 2 2或y0 （22）本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、 数列求和等基础 知识，

11、考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法， 满分 14 分。 （I） 证明： 由题设可知，a2 a 1 2 2，a 3 a 2 2 4，a 4 a 3 4 8，a 5 a 4 4 12， a 6 a 5 6 18。 9 从而 a 6 a 5 3 ，所以a 4 ，a 5 ，a 6 成等比数列。 a 5 a 4 2 （II）解：由题设可得a 2k1 a 2k1 4k,kN * 所以a2k1a 1 a 2k1 a 2k1 a 2k1 a 2k3 .a 3 a 1 4k 4k 1.41 2kk 1,kN*. 由a 1 0，得a 2k1 2kk 1 ，从而a 2k a 2

12、k1 2k 2k2. n 21 n ,n为奇数 2 11 n 2 所以数列a n的通项公式为 a n 或写为a n ，n N *。 224 n ,n为偶数 2 （III）证明：由（II）可知a2k1 2kk 1，a 2k 2k2， 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2mmN* k2 若m 1，则2n 2， k2 a k n 若m 2，则 mm2km12k 1 k24k2m14k24k 1 2 aaa2k2k k 1 k2 k k1k1k1k1 2k2k1 n m1 4k24k 11 11 2m2 2m 2k k 12k k 12 kk 1 k1k1 m1 22 2m 2m 1 n 1 1 31 1 n2 . 2m2n nk2313k2 所以2n，从而 2n 2,n 4,6,8,. 2n2 k2 a k k2