2006年高考文科数学试题及答案(福建卷)

1、20062006 年高考文科数学试题（福建卷）年高考文科数学试题（福建卷） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）已知两条直线y ax2和y (a2)x1互相垂直，则a等于 （A）2（B）1（C）0（D）1 （2）在等差数列a n中，已知 a 1 2,a 2 a 3 13,则a 4 a 5 a 6 等于 （A）40（B）42（C）43（D）45 （3）tan1是 4 的 （A）充分而不必要条件（B）必要不而充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （4）已知( 3 ,),sin,则tan()等于 2

2、54 11 （A）（B）7（C）（D）7 77 2 （5）已知全集U R,且A x| x1 2 ,B x| x 6x8 0 ,则(C U A) B等于 （A）1,4)（B）(2,3)（C）(2,3（D）(1,4) x (x 1)的反函数是 x1 xx (x 1)方 （B）y (x 1) （A）y x1x1 x11 x (x 0) （D）y (x 0) （C）y xx 32 ，那么正方体的棱长等于（7）已知正方体外接球的体积是 3 （6）函数y （A）2 2（B） 2 34 24 3 （C）（D） 333 （8）从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至

3、少有 1 名女生， 则选派方案共有 （A）108 种（B）186 种（C）216 种（D）270 种 （9）已知向量a与b的夹角为120，a 3, ab 13,则b等于 （A）5（B）4（C）3（D）1 （10）对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是 o （A）若m ,m n,则n（B）若m,n,则mn 1 （C）若m ,n,则mn（D）若m、n与所成的角相等，则mn x2y2 o （11）已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60 的直线与双曲 ab 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A）(1,2（B）(1,2)（C）2

4、,)（D）(2,) （12）已知f (x)是周期为 2 的奇函数，当0 x 1时，f (x) lg x.设a f ( ),b f ( ), 6 5 3 2 5 c f ( ),则 2 （A）a b c（B）b a c（C）c b a（D）c a b 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 4 （13）(x ) 展开式中x的系数是（用数字作答） 。 2 1 x 5 （14）已知直线x y 1 0与抛物线y ax2相切，则a _. （15）已知实数x、y满足 y 1, 则x2y的最大值是。 y x1, （16）已知函数f (x) 2sinx( 0)

5、在区间 , 上的最小值是2，则的最小值是 3 4 。 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知函数f (x) sin2x3sin xcosx2cos2x,xR. （I）求函数f (x)的最小正周期和单调增区间； （II）函数f (x)的图象可以由函数y sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？ （18） （本小题满分 12 分） 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I）连续抛掷 2 次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷 2 次，求向上的数之和为 6 的概率； （II

6、I）连续抛掷 5 次，求向上的数为奇数恰好出现3 次的概率。 2 （19） （本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， A CACB CD BD 2,AB AD 2. （I）求证：AO 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 （20） （本小题满分 12 分） D O BE C y x2 y21的左焦点为 F，O 为坐标原点。 已知椭圆 2 （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，并且线段 AB 的 中点

7、在直线x y 0上，求直线 AB 的方程。 l FO x （21） （本小题满分 12 分） 已知f (x)是二次函数，不等式f (x) 0的解集是(0,5),且f (x)在区间1,4上的最大值是 12。 （I）求f (x)的解析式； （II）是否存在实数m,使得方程f (x) 37 0在区间(m,m1)内有且只有两个不等的实数 x 根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 （22） （本小题满分 14 分） 已知数列an满足a 1 1,a 2 3,a n2 3a n1 2a n (nN*). 3 （I）证明：数列an1an是等比数列； （II）求数列an的通项公式； （II）若数列

8、b n满足 4 1 4 2 .4 n b 1b 1b 1 (a n 1)bn(nN*),证明b n是等差数列。 4 20062006 年高考年高考( (福建卷福建卷) )数学文试题答案数学文试题答案 一选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5 分，满分 60 分。 （1）D（2）B（3）B（4）A（5）C（6）A （7）D（8）B（9）B（10）C（11）C（12）D 二填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4 分满分 16 分。 （13）10（14） 13 （15）4（16） 42 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）本小

9、题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识， 以及推理和运算能力。满分12 分。 解： （I）f (x) 1cos2x3 sin2x(1cos2x) 22 313 sin2xcos2x 222 3 sin(2x). 62 f (x)的最小正周期T 由题意得2k 即 k 2 . 2 2 2x 6 2k 2 ,k Z, 3 x k 6 ,k Z. f (x)的单调增区间为 k ,k ,kZ. 36 （II）方法一： 先把y sin 2x图象上所有点向左平移 个单位长度，得到y sin(2x )的图象，再把所 126 33 得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y

10、 sin(2x ) 的图象。 262 方法二： 把y sin2x图象上所有的点按向量a ( 3 , )平移，就得到y sin(2x) 的图象。 12 262 3 （18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12 分。 解： （I）设 A 表示事件“抛掷 2 次，向上的数不同” ，则 P(A) 655 . 666 5 6 答：抛掷 2 次，向上的数不同的概率为 . （II）设 B 表示事件“抛掷 2 次，向上的数之和为6” 。 5 向上的数之和为 6 的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5 种， P(B) 55 . 6636 5 . 3

11、6 答：抛掷 2 次，向上的数之和为 6 的概率为 （III）设 C 表示事件“抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现3 次” ，即在 5 次独立重复试验中， 事件“向上的数为奇数”恰好出现3 次， 105 3 1 3 1 2P(C) P 5 (3) C 5 ( ) ( ) . 223216 答：抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现3 次的概率为 5 . 16 （19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12 分。 方法一： （I）证明：连结 OC BO DO, AB AD,AO BD. BO DO,BC

12、 CD,CO BD. 在AOC中，由已知可得AO 1,CO 3. 而AC 2, M A AO2CO2 AC2, AOC 90o,即AO OC. BDOC O, AO 平面BCD B O D C E （II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知MEAB,OEDC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线AB 与 CD 所成的角 在OME中， EM 121 AB ,OE DC 1, 222 1 AC 1, 2 OM是直角AOC斜边 AC 上的中线，OM cosOEM 2 , 4 6 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为arccos 2 4 . （II

13、I）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为h. V EACD V ACDE , 1 3 h.S 1 ACD 3 .AO.S CDE . 在ACD中，CACD 2,AD 2, S 1 2 27 ACD 22 ( 2 )2 2 2 . 而AO 1,SCDE 1 2 3 4 22 3 2 , 1 3 h AO.S CDE 2 S ACD 7 21 7 . 2 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 . 方法二： （I）同方法一。 （II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), D(1,0,0), C(0, 3,0), A(0,0,1),E( 1 2 , 3 2 ,0),

14、 BA (1,0,1),CD (1, 3,0). cos BA,CD BACD. BA CD 2 4 , 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为arccos 2 4 . （III）解：设平面 ACD 的法向量为n (x, y,z),则 z n.AD (x, y,z).( A 1,0,1) 0, y,z).(0, 3,1) 0, n.AC (x, D O x B E C y 7 x z 0, 3y z 0. 令y 1,得n ( 3,1, 3)是平面 ACD 的一个法向量。 又EC (, 13 ,0), 22 点 E 到平面 ACD 的距离 h EC.n n 321 . 77 （20）本小题主

15、要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查 运算能力和综合解题能力。满分12 分。 解： （I）a2 2,b21,c 1,F(1,0),l :x 2. y 圆过点 O、F， 1 圆心 M 在直线x 上。 2 1 设M( ,t),则圆半径 2 B N l F A O x 13 r ( )(2) . 22 由OM r,得 ( ) t 1 2 22 3 , 2 解得t 2. 19 所求圆的方程为(x)2(y 2)2. 24 （II）设直线 AB 的方程为y k(x1)(k 0), x2 y21,整理得(12k2)x24k2x2k22 0. 代入 2 直线 AB 过椭圆的

16、左焦点 F，方程有两个不等实根， 记A(x 1, y1),B(x2 , y 2 ),AB中点N(x 0 , y 0 ), 4k2 , 则x 1 x 2 22k 1 8 12k2k x 0 (x 1 x 2 ) 2 , y 0 k(x 0 1) 2 , 22k 12k 1 线段 AB 的中点 N 在直线x y 0上， 2k2k 2 0,x 0 y 0 22k 12k 1 1 k 0，或k . 2 当直线 AB 与x轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线x y 0上。 直线 AB 的方程是y 0,或x2y 1 0. （21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质

17、的方法，考 查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12 分。 （I）解：f (x)是二次函数，且f (x) 0的解集是(0,5), 可设f (x) ax(x5)(a 0). f (x)在区间1,4上的最大值是f (1) 6a. 由已知，得6a 12, a 2, f (x) 2x(x5) 2x210 x(xR). （II）方程f (x) 3 37 0等价于方程2x310 x237 0. x 2 设h(x) 2x 10 x 37, 则h(x) 6x 20 x 2x(3x10). 2 10 )时，h(x) 0,h(x)是减函数； 3 10 当x( ,)时，h(x) 0,

18、h(x)是增函数。 3 101 h(3) 1 0,h() 0,h(4) 5 0, 327 1010 方程h(x) 0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3), (4,)内没有实 33 当x(0, 数根， 9 所以存在惟一的自然数m 3,使得方程f (x) 37 0在区间(m,m1)内有且只有两个不同 x 的实数根。 （22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 满分 14 分。 （I）证明：a n2 3a n1 2a n , a n2 a n1 2(a n1 a n ), a 1 1,a 2 3, a n2 a n1 a 2(nN*). n1 a n a n1 a n是以 a 2 a 1 2为首项，2 为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得a n n1 a n 2 (nN*), a n (a n a n1)(