一题多解在几何证明中的应用2--巧添辅助线

1、一题多解在几何证明中的应用 -巧作辅助线,学习目标,在几何证明巧添辅助线，目的有三： 一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题； 二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题； 三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。,倍角问题、中点问题 、线段的和差问题,如图1，在ABC中，AB=AC,BDAC于D。 求证：DBC= BAC.,一、 倍角问题,证明一： BDAC于D BDC=90 DBC=90-C 在ABC中，AB=AC， ABC=C A= （180-2C） =2 (90 -C)=2DBC 即DBC= BAC,分析：DBC、BAC所

2、在的两个三角形有公共角C，,分析：可以做BC的高线，利用等腰三角形三线合一的性质，把A放在直角三角形中求解；也可以把DBC沿BD翻折构造2DBC求解。,证法二：如图2，作AEBC于E，则EAC+C=90 AB=AC EAC= BAC,BDAC于D DBC+C=90 EAC+C=90 EAC=DBC（同角的余角相等） 即DBC= BAC,证法三： BDAC BD是线段CE的垂直平分线 BC=BE BEC=C EBC=2DBC=180-2C AB=AC, ABC=C BAC=180-2C EBC=BAC DBC= BAC,如图，在AD上取一点E，使DE=CD ，连接BE,证明四：,分析： 取BC中

3、点为E，连接DE， 利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”和“等腰三角形的性质”求解,同学们不妨试一试,“倍角问题 ”小结 研究2或=,分两种情形： 与在两个三角形中， 常作的平分线，得,1 = ， 然后证明1=； 或 把翻折，得2=2， 然后证明2=（如图一）,与在一个三角形中， 构造等腰三角形（如图二）,如图，ABC中， AB=AC, 在AB上取一点D， 在AC的延长线上取一点E, 连接DE交BC于点F, 若F是DE的中点， 求证：BD=CE,二、 中点问题,由于BD、CE的形成与D、E两点有关， 但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以 关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何

4、利用这个 中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形 是问题的关键。,条件中AB=AC, 当过D点或E点作平行线， 就可以形成新的图形关系 构成等腰三角形，,证明一： 过点D作DGAC,交BC于点G DGB=ACB, DGF=FCE AB=AC B=ACB B=DGB BD=DG F是DE的中点 B=DGB DF=EF 在DFG 和EFC中， 可证 DFGEFC（AAS） DG=CE BD=CE,H,证法二：过点E作EHAB,交BC延长线于点H,构造 “Z型图” 或“8字图”,证法三：,如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH F是DE的中点 CF是EDH的中位线 DHBC ADH=B,

5、AHD=BCA AB=AC B=BCA ADH=AHD AD=AH AB-AD=AC-AH BD=CH BD=CE,“中点问题”小结,常用三种方法添加辅助线 延长中线至倍（或者倍长中线）， 如图一。,若图形中没有明显的三角形的中线， 也可以构造中线后，再倍长中线， 如图二。,构造中位线， 如图三,构造直角三角形斜边上的中线， 如图四。,小试牛刀,如图，已知ABCD，AE平分BAD，且E是BC的中点 求证：AD=AB+CB,证法一：延长AE交DC延长线于F ABCD BAE=F, B=ECF E是BC的中点 BE=CE 在ABE和CEF中,ABECEF(AAS) AB=CF AE平分ABD BA

6、E=DAE DAE=F AD=DF DF=DC+CF, CF=AB,AD=AB+DC,D,证法二：过点E作EFAB,构造梯形中位线， 等量转换,三、 线段的和差问题,如图，在ABC中，AB=AC, 点P是边BC上一点， PDAB于D, PEAC于E, CMAB于M, 试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。,分析：判断三条线断的关系，一般是指 两较短线段的和与较长线段的大小关系， 通过测量，猜想PD+PE=CM.,分析1：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、PE、CM，,，可以用面积法求解。,证法1：连接AP, PDAB于D,PEAC于E,CMAB于M PDC=PEC =CMB=9

7、0度,AB=AC 且,当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。,分析：在CM上截取MQ=PD，得PQMD,再证明CQ=PE,答：PD+PE=CM 证法二：在CM上截取MQ=PD，连接PQ. CMAB于M, PDAB于D CMB=PDB=90 CMDP 四边形PQMD为平行四边形 PQAB,CQP=CMB=90QPC=B AB=AC B=ECP QPC=ECP PEAC于E PEC=90,在PQC和PEC中,PQCPEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM,构造特殊四边形，得相等关系，等量代换,分析3：延长DP到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE,证法3：延长DF到N， 使DN=CM，连接CN 同证法2 得平行四边形DNCM， 及PNCPEC PN=PE PD+PE=CM,常用