牛顿拉夫逊法潮流计算

1、摘 要 本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。 众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。 此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流

2、计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用，属于离线计算范畴。 牛顿拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。 关键词：电力系统潮流计算，牛顿拉夫逊法，MATLAB ABSTRACT This article first introduces the flow calculation based on the principle of MALAB Bank of China, meaning, and th

3、en use specific examples, a brief introduction, how to use MALAB to the flow calculation in power systems. As we all know, is the study of power flow calculation of power system steady-state operation of a calculation, which according to the given operating conditions and system wiring the entire po

4、wer system to determine the operational status of each part: the bus voltage flowing through the components power, system power loss and so on. In power system planning power system design and operation mode of the current study, are required to quantitatively calculated using the trend analysis and

5、 comparison of the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy. In addition, during the power system static and transient stability calculation, the results of calculation to take advantage of the trend as its basis of calculation; number of fault analysis and optimization a

6、lso requires a corresponding flow calculation for cooperation; power flow calculation program often become the an important part. These, mainly in the way of system design and operation arrangements in the application areas are off-line calculation. Newton - Raphson power flow calculation in power s

7、ystem is one commonly used method, it is good convergence of the iteration number of small, introduce the trend of computer-aided power system analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, introduced by the last matlab run results. Keywords：power system flow calculation, Ne

8、wton Raphson method, matlab目 录1 绪 论11.1 课题背景11.2 电力系统潮流计算的意义21.3 电力系统潮流计算的发展21.4 潮流计算的发展趋势42 潮流计算的数学模型52.1 电力线路的数学模型及其应用52.2 等值双绕组变压器模型及其应用62.3 电力网络的数学模型82.4 节点导纳矩阵92.4.1 节点导纳矩阵的形成92.4.2 节点导纳矩阵的修改102.5 潮流计算节点的类型112.6 节点功率方程1227 潮流计算的约束条件133 牛顿拉夫逊法潮流计算基本原理143.1 牛顿-拉夫逊法的基本原理143.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算的修正方程173.3

9、 潮流计算的基本特点203.4 节点功率方程214牛顿拉夫逊法分解潮流程序2241 牛顿拉夫逊法分解潮流程序原理总框图224.2 形成节点导纳矩阵程序框图及代码234.2。1 形成节点导纳矩阵程序框图234.2.2 形成节点导纳矩阵的程序代码2443 雅克比矩阵求取的程序框图及代码25431 形成节点导纳矩阵程序框图25432 形成雅克比矩阵程序的代码2544 求取Df、De的程序框图及代码28441 求取Df、De的程序框图28442 求取Df、De的程序代码285 实例与分析305.1 一个6节点算例3052 根据算例输入相应节点的线路参数315.3 算例运行335.3.1 原始数据的输入

10、335.3.2 原始数据输入程序段345.3.3 导纳矩阵的形成355.3.4 导纳矩阵Y为365.3.5 雅克比矩阵J（k=0）365.3.6 算例运行结果输出程序段365.3.7 算例运行结果输出385.4 潮流计算GUI界面40全文总结45参考文献46致谢47附录A 潮流计算程序48附录B“清除数据”按钮回调函数57附录C“关闭”按钮回调函数581 绪 论1.1 课题背景潮流计算是研究电力系统的一种最基本和最重要的计算，最初，电力系统潮流计算是通过人工手算的，后来为了适应电力系统日益发展的需要，采用了交流计算台。随着电子数字计算机的出现，1956年Ward等人编制了实际可行的计算机潮流计

11、算程序。这样，就为日趋复杂的大规模电力系统提供了极其有利的计算手段。经过几十年的时间，电力系统潮流计算已经发展的十分成熟。潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，是根据给定的运行的条件及系统接线情况确定整个电力系统各个部分运行的状态，如各母线的电压、各元件中流过的电流、系统的功率损耗等等。电力系统潮流计算是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。在电力系统规划设计和现有电力系统运行的方式研究中，都需要利用电力系统潮流计算来定量的比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。 电力系统潮流计算分为离线计算和在线计算，离线计算主要用于系统规划设计、安排系统的运行方式，在线计算则用于运算中系统的实

12、时监测和实施控制。两种计算的原理在本质上是相同的。 实际电力系统的潮流技术主要采用牛顿拉夫逊法。牛顿拉夫逊法早在50年代末就已应用于求解电力系统潮流问题，但作为一种适用的、有竞争力的电力系统潮流计算方法，则是在应用了稀疏矩阵技巧和高斯消元法求修正方程式以后。牛顿拉夫逊法是求解非线性代数方程有效的迭代计算，本设计就是采用牛顿拉夫逊法计算电力系统潮流的。1.2 电力系统潮流计算的意义 (1)在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量及接入点，合理规划网架，选择无功补偿方案，满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。 (2)在编制年运行方式时，在预计负荷增长及新设备投运基础

13、上，选择典型方式进行潮流计算，发现电网中薄弱环节，供调度员日常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。 (3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日运行方式的编制，指导发电厂开机方式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。 (4)预想事故、设备退出运行对静态安全的影响分析及作出预想的运行方式调整方案。 总之在电力系统运行方式和规划方案的研究中，都需要进行潮流计算以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。同时，为了实时监控电力系统的运行状态，也需要进行大量而快速的潮流计算。因此，潮流计算是电力系统中应用最广泛、最

14、基本和最重要的一种电气运算。在系统规划设计和安排系统的运行方式时，采用离线潮流计算；在电力系统运行状态的实时监控中，则采用在线潮流计算。 1.3 电力系统潮流计算的发展 利用电子计算机进行潮流计算从20世纪50年代中期就已经开始。此后，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点： （1）算法的可靠性或收敛性 （2）计算速度和内存占用量 （3）计算的方便性和灵活性 电力系统潮流计算属于稳态分析范畴，不涉及系统元件的动态特性和过渡过程。因此其数学模型不包含微分方程，是一组高阶非线性方程。非线性代数方程组的解法离不开迭

15、代，因此，潮流计算方法首先要求它是能可靠的收敛，并给出正确答案。随着电力系统规模的不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高，目前已达到几千阶甚至上万阶，对这样规模的方程式并不是采用任何数学方法都能保证给出正确答案的，这种情况促使电力系统的研究人员不断寻求新的更可靠的计算方法。 在用数字计算机求解电力系统潮流问题的开始阶段，人们普遍采用以节点导纳矩阵为基础的高斯-赛德尔迭代法（以下简称导纳法）。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机的内存量也比较小，适应当时的电子数字计算机制作水平和电力系统理论水平，于是电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为主的逐次代入法（简称阻抗法）。 20世纪60年代初，数字计算

16、机已经发展到第二代，计算机的内存和计算速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵。这就需要较大的内存量，而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭代的计算量很大。 阻抗法改善了电力系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法解决的一些系统的潮流计算，在当时获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计、运行和研究作出了很大的贡献。但是，阻抗法的主要缺点就是占用计算机的内存很大，每次迭代的计算量很大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为

17、基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间的联络线的阻抗，这样不仅大幅度的节省了内存容量，同时也提高了节省速度。 克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-拉夫逊法（以下简称牛顿法）。牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿潮流程序的计算效率。自从20世纪60年代中期采用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。 在牛顿法的基础上

18、，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改造，得到了P-Q分解法。P-Q分解法在计算速度方面有显著的提高，迅速得到了推广。 牛顿法的特点是将非线性方程线性化。20世纪70年代后期，有人提出采用更精确的模型，即将泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法。 近20多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐被引入潮流计算。但

19、是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模的不断扩大，对计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域。1.4 潮流计算的发展趋势 通过几十年的发展，潮流算法日趋成熟。近几年，对潮流算法的研究仍然是如何改善传统的潮流算法，即高斯-塞德尔法、牛顿法和快速解耦法。牛顿法，由于其在求解非线性潮流方程时采用的是逐次线性化的方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采

20、用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。 2 潮流计算的数学模型2.1 电力线路的数学模型及其应用 在电力系统稳态分析中的电力线路数学模型就是以电阻、电抗、电纳、电导表示的它们的等值电路。 式（2.1）式中为导线材料的电阻率（mm2/km）；s为导线的额定截面积（mm2）。 式（2.2）式中r为导线计算半径（mm或cm）；Dm为几何均距（mm或cm），其单位应与r的相同。 式（2.3） 式（2.4）式中b1导线单位长度的电纳（S/km）； g1导线单位长度的电导（S/km）；三相线路泄漏和电晕损耗功率（kW/km）；U线路线电压（kV）。按上式求得单位长度导线的电阻、电抗、电纳、电导后，就可作最原

21、始的电力线路等值电路图，如图2-1所示。这是单相等值电路。之所以可用单相等值电路代表三相，一方面由于本文中讨论的是三相对称运行方式，另一方面也因设架空线路都已经整循环换位。 图2-1 中等线路等值模型以单相等值电路代表三相虽已简化了不少计算，但由于电力线路的长度往往有数十乃至数百公里，如将每公里的电阻、电抗、电纳、电导都一一绘于图上，所得的等值电路仍十分复杂。何况，严格说来，电力线路的参数并不是均匀分布的，即使是极短的一段线段，都有相应大小的电阻、电抗、电纳、电导。换言之，即使是如此复杂的等值电路，也不能认为精确。但好在电力线路一般都不长，需分析的又往往只是它们的端点状况两端电压、电流、功率，

22、通常可不考虑线路的这种分布参数特性，只是在个别情况下才要用双曲函数研究具有均匀分布参数的线路。以下，先讨论一般线路的等值电路。 中等长度的线路通常指100km-300km之间的架空线路，这种线路的导纳一般不能略去，常用的是型等值电路。 当线路长度为(km)时：2.2 等值双绕组变压器模型及其应用无论采用有名制或标幺制，凡涉及多电压级网络的计算都必须将网络中所有参数和变量归算至同一电压等级。这是因为以型或T型等值电路做变压器模型时，这些等值电路模型并不能体现变压器实际具有的电压变换功能。以下将介绍另一种可等值的体现变压器电压变换功能的模型，它也是运用计算机进行电力系统分析时采用的变压器模型，虽然

23、运用这种模型时并不排斥手算。既然这种模型可体现电压变换，在多电压级网络计算中采用这种变压器模型后，就可不必进行参数和变量的归算，这正是这种变压器模型的主要特点之一。以下就介绍这种变压器模型。 如图2-2所示。 图2-2 等值双绕组变压器 首先，从一个未作电压级归算的简单网络入手。设图中变压器的导纳或励磁支路和线路的导纳支路都可略去；设变压器两侧线路的阻抗都未经归算，即分别为高、低电压侧、侧线路的实际阻抗，变压器本身的阻抗则归在低压侧；设变压器的变比k，其值为高、低压绕组电压之比。显然，在这些假设条件下，如在变压器阻抗ZT的左侧串联以变比为K的理想变压器如图(2-2c)所示，其效果就如同将变压器

24、及其低压侧线路的阻抗都归算至高压侧，或将高压侧线路的阻抗归算至低压侧，从而实际上获得将所有参数和变量都归算在同一侧的等值网络，只要变压器的变比取的是实际变比，这一等值网络无疑是严格的。由图(2-2c)可见流入理想变压器的功率为，流出理想变压器的功率为，流入流出变压器的功率应该相等，可得： 式（2.5）从而有： 式（2.6）另外由图2-2c可以直接得到： 式（2.7）联立解方程组： 式（2.8） 可得： 式（2.9）即： 式（2.10）的成立体现了无源电路的互易特性，然后令，就可以作导纳支路表示的变压器模型如图(2-2e)所示以及以阻抗支路表示的变压器模型如图(2-2f)所示。其中，。以下利用图

25、2-2说明各种不同情况下等值变压器模型的应用，即多电压级网络中变压器和线路参数的计算，以及相应的理想变压器变比的取值。(1)有名值、线路参数都归算到低压侧。据以图2-2的情况，由图可见，此时线路阻抗分别为上图中，变压器阻抗则由；相应的理想变压器变比则为，这里所取得理想变压器的变比就是变压器实际变比。(2)有名值、线路参数都归算到高压侧。这种情况下的线路阻抗分别为从而理想变压器变比为： 2.3 电力网络的数学模型 有名制：所有参数和变量都以有名单位，如、S、kV(V)、kA(A)、MVA(VA)等表示。标幺制：所有参数和变量都以与他们同名基准值相对的标幺值表示，因此都没有单位。对多电压级网络，变

26、压器模型：采用等值变压器模型时，所有参数和变量可不进行归算；采用有名制或标幺制取决于习惯。在我国，电力工程界使用标幺值已有多年；但在国外，有名制的使用也很普遍。至于变压器模型的使用范围，则泾渭分明。手算时，都是用形或T型等值电路模型；计算机计算时，都是用等值变压器或型等值电路模型。 此外，在制定电力网络等值电路模型时，有时还同时作某些简化，常见的有：线路的电导通常都被略去；变压器的电导有时以具有定值的有功功率损耗的形式出现在电路中；100km以下架空线路的电纳被略去；100300km架空线路或变压器的电纳有时以具有定值的容性或感性无功功率损耗的形式出现在电路中。有时，整个元件，甚至部分系统都可

27、能不包括在等值电路中。例如，将某些发电厂的高压母线看作为可维持给定电压、输出给定功率的等值电源时，这些发电厂内部的元件就不再包括在等值电路中。2.4 节点导纳矩阵在电路原理课程中，已导出了运用节点导纳矩阵的节点电压方程 式（2.11）上式中，是节点注入电流的列向量，可理解为某个节点的电源电流与负荷电流之和，并规定电源流向网络的注入电流为正。因此，仅有负荷的负荷节点注入电流就具有负值。是节点电压的列向量。因通常以大地作参考节点，网络中有接地支路时，节点电压通常就指该节点的对地电压；网络中没有接地支路时，各节点电压可指各该节点与某一个被选定参考节点之间的电压差。是一个节点导纳矩阵，它的阶数n等于网

28、络中除参考节点外的节点数。 它可展开为 式（2.12）2.4.1 节点导纳矩阵的形成 根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点： (1) 节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。参考节点一般取大地，编号为零。 (2) 节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。 (3) 节点导纳矩阵的对角元素就等于该节点所连接导纳的总和。因此，与没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和的负值。 (4) 节点导纳矩阵的非对角元素等于连接节点i，j支路导纳的负值。因此，在一般情况下，节点导纳矩阵的对角元素往往大于非对角元素的负

29、值。 (5) 节点导纳矩阵一般是对称矩阵，这是网络的互易特性所决定的。从而，一般只要求取这个矩阵的上三角或下三角部分。 (6) 网络中的变压器。 2.4.2 节点导纳矩阵的修改 (1) 从原有网络引出一支路，同时增加一节点。 设i为原有网络中的节点，j为新增加的节点，新增加支路导纳为。则因新增一节点，节点导纳矩阵将增加一阶。 新增的对角元，由于在节点j上只有一个支路，将为=；新增的非对角元；原有矩阵中的对角元将增加。(2) 在原有网络的节点i、j之间增加一支路。这时由于仅增加支路不增加节点，节点导纳矩阵阶数不变，但与节点i、j有关的元素应作一下修改，其增量为: (3) 在原有网络的节点i，j之

30、间切除一支路。切除一导纳为的支路，相当于增加一导纳为的支路，从而与节点i、j有关的元素应作如下修改： (4) 原有网络的节点i、j之间的导纳由改变为。这种情况相当于切除一导纳为的支路，并增加一导纳为的新支路。从而与节点i、j有关的元素应作如下修改： (5) 原有网络节点i、j之间变压器的变比由改变为。这种情况相当于在i、j节点之间并联一个变比为的变压器，再并联一个变比为的变压器，即相当于修改变压器。修改前，i、j节点之间的自导纳和互导纳为：修改后，引用“理想变压器”的型等值电路，变压器变比由改变为时，原网中与节点i、j有关的元素应作如下修改： 2.5 潮流计算节点的类型 用一般的电路理论求解网

31、络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流(或电压)分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流(都是向量)的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率P和母线电压的幅值U，给出负荷母线上负荷消耗的有功功率P和无功功率Q。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然地把节点分成三类：(1) PQ节点 对这类节点，等值负荷功率、和等值电源功率、是给定的，从而注入功率、是给定的，待求的则是节点电压的大小和相位角。属于这一类节点的有按给定有功无功功率发电的发电厂母线和没有

32、其他电源的变电所母线。(2) PV节点 对这类节点，等值负荷和等值电源的有功功率、是给定的，从而注入有功功率是给定的。等值负荷的无功功率和节点电压的大小也是给定的。待求的则是等值电源的无功功率，从而注入无功功率和节点电压的相位角。有一定无功功率储备的发电厂和一定无功功率电源的变电所母线都可选作为PV节点。(3) 平衡节点 潮流计算时，一般只设一个平衡节点。对这节点，等值负荷功率是给定的，节点电压的大小和相位角也是给定的，如给定=1.0、=0。待求的则是等值电源功率、，从而注入功率、。担负调整系统频率任务的发电厂母线往往被选作为平衡节点。例如，为提高计算的收敛性。可以选择出线数多或者靠近电网中心

33、的发电厂母线作平衡节点。 进行计算时，平衡节点是不可少的；PQ节点是大量的；PV节点较少，甚至可能没有。 2.6 节点功率方程 节点电压向量可以表示为极坐标的形式，也可以表示为直角坐标的形式，与此相对应，在潮流计算中节点功率方程也有两种形式。节点功率可表示为： （i=1,2,n ） 式（2.13） 如果上式中电压向量表示为极坐标的形式： 式（2.14）导纳矩阵中元素表示为： 式（2.15）因此：= （i=1,2,n） 式（2.16） 又由 式(2.17)则可以得到： 式（2.18）式中： 为两个节点电压的相位差。将上式按实部和虚部展开，得到： 式（2.19）这就是功率的极坐标方程式。把上式中个

34、节点的电压向量表示为直角坐标： 式（2.20）， 式(2.21)代入式： 式(2.22)即可得到：（i=1,2,n） 式(2.23) 式中 式(2.24)这就是功率的直角坐标方程式。27 潮流计算的约束条件 通过方程的求解所得到的计算结果代表了潮流方程在数学上的一组解答。但是，这组解答所反映的系统运行状态在工程上是否具有实际意义呢 ？这还要进行检验。因为电力系统运行时还必须满足一定技术上和经济上的要求。这些要求构成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用约束条件有：（1）所有节点电压必需满足：(i=1,2,3n) 从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备必需运行在额定电压附近，P

35、V节点的电压幅值必需按上述条件给定。因此，这一约束条件主要是对PV节点而言。（2）所有电源节点的有功功率和无功功率必需满足： 由于PQ节点的有功功率和无功功率以及PV节点的有功功率属于扰动变量不可控，对它们没有约束。对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q应按上述条件进行检验。（3）某些节点之间电压的相位差应满足： 为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位差不超过一定的数值。因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解满足一定的约束条件，如不满足，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统运行方式，重新计算。3 牛顿拉夫逊法潮流计算基本原理3.1 牛顿-拉夫逊法的基本原理牛顿拉

36、夫逊迭代法是常用的解非线性方程组的方法，也是当前广泛采用的计算潮流的方法，其标准模式如下。设有非线性方程组 式（3.1）其近似解为。设近似解与精确解分别相差，则如下的关式应该成立： 式（3.2）上式中任何一式都可按泰勒级数展开，由此可得： 式（3.3） 以第一式为例， ，式子中：，分别表示以带入这些偏导数表示式时的计算所得，则是一包含，的高次方与的高阶偏导数相乘的函数。如果与精确解相差不大，则的高次方可以略去，从而也可以略去。由此可得： 式（3.4）或简写为： 式（3.5）式中：称函数的雅克比矩阵，为由组成的列向量，则称不平衡向量的列向量。将带入，可得中的各个元素。然后运用任何一组解线性代数方

37、程的方法，可求得，从而球的经第一次迭代后的新值。再将求得的代入，又可以求得的新值，从而解得以及。如此循环而已，最后可获得足够精确的解。运用这种方法计算时，的初值要选择比较接近他们的精确解，否则迭代过程可能不收敛。将这种情况简单说明如下。设函数的图像如图所示，运用这种方法解算时的修正方程式为按着修正方程式迭代求解过程就如图3-1中由求，的过程。由图可见，如的初值选择的接近其精确解，迭代过程将循序收敛；反之，将不收敛。正因为这样，某些运用牛顿拉夫逊计算潮流的程序中，第一、第二次迭代采用高斯赛德尔法，这是因为后者对的初值的选择没有严格要求。f(x)f(x(0)x(1)x(0)x(2)xx(0)x(1

38、)XY图3-1牛顿拉夫逊发的收敛过程与运用高斯赛德尔法时不同，运用牛顿法拉夫逊法时，可以直接用以求解功率方程。 式（3.6）而为此需将代入 式（3.7）并将实数部分和虚数部分分列 式（3.8a） 式（3.8b）此外，由于系统中还有电压大小给定的PV节点，还应补充一组方程式 式（3.8c）和分别表示迭代过程中求得的节点电压实部与虚部，为PQ节点和PV节点的注入有功功率，为PQ节点的注入有功功率，为PV节点的电压大小。对照式(3.8)、式(3.1)可见，式(3-8)的右端项、分别是给定的注入功率和节点电压大小的平方值，他们就对应于式(3.1)右端项；式(3.2)的左端函数分别是由迭代过程求得的节点

39、电压确定的注入功率和节点电压大小的平方值，它就对应于式(3.1)中的左端函数；于是，式(3.8)中的和就对应于式(3.1)中的。至于修正方程式(3.4)中雅可比矩阵的各个元素，显然就是迭代过程中求得的注入功率各个节点电压大小的平方值相对应的的偏导数。牛顿法的核心便是反复形成并求解修正方程。牛顿法当初始估计值和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快。3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算的修正方程牛顿潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解。为说明这一修正方程的建立过程，先对网络中个节点的编号作如下约定：(1)网络中共有n个节点，编号为1,2,3,n，其中包含一个平衡节点，编号为s；(2)网络中有m个

40、PQ节点，编号为1,2,3,m，其中包含编号为s的平衡节点；(3)网络中有n-m个PV节点，编号为m+1,m+2,n。据此，由式（3-8a）、(3-8b)、(3-8c)所组成的方程式组中共有2(n-1)个独立方程式。其中，式（3-8a）类型的有(n-1)个，包括除平衡节点为所有节点有功功率的表示式，即i=1,2,3,n，is；式（3-8b）类型的有(m-1)个，包括所有PQ节点无功功率的表示式，即i=1,2,3,n，is；式（3-8c）类型的有(n-1)-(m-1)=n-m个，包括所有PV节点电压的表达式，i=m+1,m+2,n。平衡节点s的功率和电压之所以不包括在这个方程内，是由于平衡节点的

41、注入功率不可能事先给定，从而不可能列出相应的 的表达式，而平衡节点的电压则不必求取。为此，就可以建立类似(3-4)的修成方程式如下： 式(3-10)式中的以及分别为注入功率的节点电压平方的不平衡量。由式(3-8)可见，他们分别为： 式（3.11a） 式（3.11b） 式(3.11c)式子中的雅可比矩阵的各个元素分别为： 式(3.12)为取这些偏导数，可将以及分别展开如下： 式（3.13a) 式(3.13b) 式(3.13c)当时，由于对特定的j，只有该特定节点的和是变量，由式(3.12)、式(3.13)可得： 式(3.14a)当时，为使这些偏导数的表示式更为简洁，先引入节点诸如电流的表示式如下

42、：然后由式(3-12)、式(3-13)和上式可得 式（3.14b）由式(3.14a)可见，如果，即节点之间无联系，这些元素都等于零。从而，将雅可比矩阵分块，把每个22阶子阵()作为分块矩阵的元素时，分块雅可比和节点导纳矩阵将有相同的结构，所以分块雅可比矩阵和节点导纳矩阵的结构相同是一个可以利用的特点。仔细分析该修正方程可以发现如下特点。（1）修正方程数目为个，在PV节点所占的比例不大时，修正方程的数目接近个。（2）雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。（3）分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应节点导纳矩阵元素是否为零。因此如

43、将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个22阶子阵(如)作为分块矩阵的元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有相同的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。（4）由于，所以雅可比矩阵不是对称矩阵。3.3 潮流计算的基本特点形成了雅可比矩阵并建立了修正方程式，运用牛顿-拉夫逊计算潮流的核心问题已经解决，已有可能列出基本计算步骤并编制流程图。显然，虽修正方程有两种不同表示方法，但是牛顿拉夫逊潮流计算的基本步骤却总不外乎如下几步：（1）形成节点导纳矩阵。（2）设个节点电压的初值。（3）将各节点电压的初值带入式中求修正方程式中的不平衡量以及。（4）将节点电压的初值代入式

44、（3.14b）求修正方程式的系数矩阵，即雅可比矩阵的各个元素、以及、。（5）解修正方程式，求各节点电压的变化量，即修正量、。（6）计算各节点电压的新值，即修正后值:（7）运用各节点电压侧初值自第三步开始进入下一次迭代。（8）计算平衡节点功率和线路功率。其中平衡节点功率为：式(3.15)线路功率为： 式(3.16) 式(3.17)从而，线路上的损耗功率为 式(3.18)图3-3 线路上流通的电流和功率3.4 节点功率方程本节主要讨论：复杂网络数学模型的建立，节点功率方程的计算。在2.4节中我们得到了电力网络方程的系数矩阵即导纳矩阵。建立了节点导纳矩阵，就可以进行潮流分布计算。但由于工程实践中通常

45、已知的是各节点的功率，实际计算时，几乎无一例外地要迭代解非线性的节点电压方程。故应用联系节点电流和节点功率的关系式：这就是潮流问题最基本的方程式，是一个以节点电压为变量的非线性方程组，并且通过迭代来求解本文中采用牛顿拉夫逊发来进行处理。再对系统中每一个节点规定运行状态，即确定节点类型，其中n各节点共有4n个复数方程式。对于以上的复数方程式，我们以直角坐标形式来进行处理，可以得到形式的潮流方程式。这两种形式的潮流方程统称为节点功率方程，是牛顿拉夫逊法的主要的数学模型。节点功率方程可以通过牛顿拉夫逊法来有效的解算。我们对于不同的类型的节点，根据以上两式子得到牛顿拉夫逊算法的修正方程。在一点运用泰勒

46、级数展开，略去二阶以上项可以得到雅可比矩阵个元素。最后反复迭代形成并且求解修正方程式，从而得到节点功率方程较为精确的解。4牛顿拉夫逊法分解潮流程序41 牛顿拉夫逊法分解潮流程序原理总框图图4-1 牛-拉法分解程序总框对于图4-1，相关的计算公式如下；(1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；。4.2 形成节点导纳矩阵程序框图及代码4.2。1 形成节点导纳矩阵程序框图图4-2形成节点导纳矩阵程序框图对于图4-2相关的计算公式如下:4.2.2 形成节点导纳矩阵的程序代码Y=zeros(n); e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n); O=zeros(1,

47、n);S1=zeros(nl);for i=1:n if A(i,2)=0; p=A(i,1); Y(p,p)=1./A(i,2); endendfor i=1:nl if B1(i,6)=0 p=B1(i,1);q=B1(i,2); else p=B1(i,2);q=B1(i,1); end Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B1(i,3)*B1(i,5); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(B1(i,3)*B1(i,5)2)+B1(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./B1(i,3)+B1(i,4)./2;end%求导纳矩阵disp(导纳矩阵Y=);disp(Y);G=real(Y);B=imag(Y);其中，B1=由各支路参数形成的矩阵:;% 它以矩阵形式存贮支路的情况, 每行存贮一条支路% 第一列存贮支路的一个端点% 第二列存贮支路的另一个端点% 第三列存贮支路的阻抗% 第四列存贮支路的对地导纳