高三数学（文）函数的奇偶性人教版 知识精讲（通用）

1、高三数学（文）函数的奇偶性人教版高三数学（文）函数的奇偶性人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的奇偶性 1. 概念 一般地，对于函数)(xfy （1）如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数x)()(xfxf 就叫奇函数。)(xfy （2）如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫x)()(xfxf)(xf 做偶函数。 注：注： 函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称 对于与应从数形两方面理解)()(xfxf)()(xfxf 点的对称性，即函数图象的对称性 值域的对称性 定义域的对称性 ),(yx P 与均在图象上 )(),( ),(),

2、()()( )(),( ),(),()()( afbafb baPbaPxfxf afbafb baPbaPxfxf P )(xfy 刻画的为函数的整体性质 2. 奇偶性的性质 （1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于原点 成中心对称图形，那么此函数是奇函数。 证（）设函数是奇函数，则，在函数图象上任取)(xf)()(xfxf)(xfy 一点 P（） ，则即也是图象上一点，而是 P 关于)(,afa)(,(afaP)(,(afaP P 原点 O 的对称点，所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在图y)(xf)(xfy 象上，即的图象关于原点成中心对称)(xfy

3、 （）设图象成中心对称，在图象上任取一点 P（） ，则)(xfy )(xfy )(,afa P 关于原点的对称点（）也在上 P )(,afa )(xfy 时，而函数值是唯一的， ax)()(afxf)()(afaf 由的任意性知，在的定义域内有，故为奇函数x)(xf)()(xfxf)(xf （2）偶函数的图象关于轴成轴对称图形，反过来，若一个函数的图象关于轴成yy 轴对称图形，则此函数是偶函数。证明略。 （3）如果和都是奇（偶）函数，则函数也是奇（偶）函数)(xf)(xg)()(xngxmf 证：证：设，都是奇函数，设)(xf)(xg)()()(xngxmfx 和都是奇函数 )(xf)(xg

4、)()()(xngxmfx)()(xngxmf)(x （都是偶函数同理可证）)()(xgxf、 推论：推论： 两个奇（偶）函数的和与差都是奇（偶）函数 奇（偶）函数与常数之积是奇（偶）函数 两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数 对设奇函数，偶函数，令)(xf)(xg)()()(xgxfxG （反证）若是奇函数，则是奇函数而与)()()(xgxfxG)()()(xfxGxg 是偶函数矛盾，若是偶函数，则是偶函数)(xg)()()(xgxfxG)()()(xgxGxf 与是奇函数矛盾，但非奇非偶函数的和、差、积、商可能是奇或偶函数，如)(xf ，偶，奇，偶1)( 2 xxxf1)( 2

5、xxxggf gf gf （4）奇偶性相同的两个函数之积（商）为偶函数，而奇偶性相异的两个函数之积（商） 为奇函数（证略） （5）函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是)(xfy 0)(xf 证：证：既奇又偶且)(xf)()(xfxf)()(xfxf)()(xfxf ，且定义域关于原点对称，非恒为 0 函数，是奇则必非偶，是偶则必非0)(xf)(xf 奇。 （6）如果定义在 A 上的奇函数存在反函数，则反函数)(xfy )( 1 yfx 也是奇函数)( 1 yfx 证：证：设的值域 B，则即的定义域，设，则有唯一的)(xfy B)( 1 yfx By 0 ，使得，从而有，又因是奇函数，所以Ax

6、0 )( 00 xfy )( 0 1 0 yfx )(xf ，从而有且有，即 000 )()(yxfxfBy 0 )()( 0 1 00 1 yfxyf 是奇函数。)( 1 yfx （7）定义在对称区间内的任何函数都可表示成一个偶函数与一个奇函数,aa)(xf 之和。 证明：证明：对于，令，)(xf)()( 2 1 )(xfxfxF)()( 2 1 )(xfxfxG 则，而，)()()(xGxFxf)()(xFxF)()(xGxG 即与分别为偶函数和奇函数，故命题得证)(xF)(xG （8）在复合函数中)(xgfy 若为偶函数，则为偶函数)(xg)(xgf 若为奇函数，为偶（奇）函数，则是偶（

7、奇）函数（证明略）)(xg)(xf)(xgf 3. 函数奇偶性的判定方法： （1）定义法：或，1（）)()(xfxf0)()(xfxf )( )( xf xf 0)(xf （2）图象法 （3）性质法 （1）定义法 例 1 判断下列函数的奇偶性，并予以证明。 （1） （2） 2 1 12 1 )( x xf 11 11 )( 2 2 xx xx xf 证明：证明：（1）的定义域，关于原点对称)(xf), 0() 0 , ( 不妨取两个特殊值，猜想是奇函数 2 3 ) 1 (f 2 3 ) 1(f)(xf 2 1 21 2 2 1 12 1 )( x x x xf 2 1 21 212 2 1 )

8、 1 21 2 ( x xx x x )() 2 1 12 1 (xf x 是奇函数)(xf 有时证明较繁，可变通证等价命题)()(xfxf0)()(xfxf 2 1 12 1 2 1 12 1 )()( xx xfxf1 12 1 21 2 xx x 1 12 21 x x 011 是奇函数0)()(xfxf)(xf （又如证为奇函数，利用简单）xxxf a 1log)( 2 0)()(xfxf 证（2）令，即两边平方得011 2 xx) 1(1 2 xx 经检验0121 22 xxxx021001 2 故方程在实数范围内无解，即对任意，于是定义域为 Rx011 2 xx （或利用）Rxxx

9、xxxx11|111 22 )1(1)1(1 ) 11)(11( 11 11 )( 22 22 2 2 xxxx xxxx xx xx xf x x x x xx xx 22 22 222 11 2 122 ) 1()1 ( ) 11( ，故是定义在 R 上的奇函数)( 1111 )( 22 xf x x x x xf )(xf 利用 11 11 11 11 )()( 2 2 2 2 xx xx xx xx xfxf 222 2 2 22 2 2 ) 11( ) 1(1) 1(1 xx xxxx 0 122 22 2 x xx ，即是奇函数)()(xfxf)(xf 例 2 判定下列函数的奇偶性

10、 （1） （2） )0( 12 )0(0 )0( 12 )( 2 2 xxx x xxx xf )0(1 )0( 1 )( xe xe xf x x 解：解：（1）定义域为 R，关于原点对称，当时，则0x0 x 121)(2)()( 22 xxxxxf)() 12( 2 xfxx 当时，0x)(0)(xfxf 当时，0x0 x 则121)(2)()( 22 xxxxxf)() 12( 2 xfxx 故，所以是 R 上的奇函数)()(xfxf)(xf （2）定义域为关于原点对称), 0() 0 , ( 当时，则0x0 x)() 1(1)(xfeexf xx 当时，则0x0 x)()1 (11)(

11、 )( xfeeexf xxx 综上，故是上的奇函数)()(xfxf)(xf), 0() 0 , ( 另法利用图象 例 3 已知函数满足 ， )(xf)()()2()2( 212121 xxfxxfxfxf ， ， （1）判断的奇偶性， （2）证明是周期函数， （3）2)(f0)0(f)(xf)(xf 求证，对，有恒成立。Rx2)(xf 分析：分析：类比三角中的和差化积公式，可猜想与相当，易知它为偶函)(xfxy2cos2 数，周期为，且22)cos2() 1cos2(22cos2)( 22 xxxxf 证明：证明：（1）令，则由（1）可得 2 1 x x 2 2 x x)()0()()(xf

12、fxfxf 又令，可得 0 21 xx 2 )0()0()0(fff0)0(f2)0(f 代入上式得，即，为偶函数)(2)()(xfxfxf)()(xfxf)(xf （2）令，由（1）得 （*） 2 1 x x 2 2 x x )(2)()(xfxfxf 再令，由（1）得 1 xxx 2 )2()2()()(xffxfxf 又由（1） ，即 2 )()0()2(xffxf2)()2( 2 xfxf ，即（*）22)()2( 2 ff 2 )()()(xfxfxf 由（*）和（*）可得，即是以为周期的周期函数)()(xfxf)(xf （3）由得得证2)()2( 2 xfxf22) 2 ()( 2

13、 x fxf 例 4 设函数定义在上且对任意都有)(xfy ), 0() 0 , ( 21,x x)()( 121 xfxxf （*） ，试证是偶函数。)( 2 xf)(xf 证明：证明：令，则（*）即xx 1 1 2 x) 1()()(fxfxf 再令，由（*）得1 21 xx) 1(2) 1() 1() 1 (ffff 令，由（*）可得即1 21 xx) 1 () 1 () 1 (fff0) 1 (f 所以，故得证0) 1(f)()(xfxf 例 5 对任意实数，有，则函数（ ）yx,)()()(yfxfxyf0) 1 (f)(xf A. 必是奇函数B. 必是偶函数 C. 可以是奇函数也可

14、以是偶函数D. 不能判定奇偶性 解：解：选 C 设，则1y) 1()()(fxfxf 令，得1 yx1) 1 ()1 () 1 ( 2 fff 令，得1 yx1) 1()1() 1 ( 2 fff 故或)()(xfxf)()(xfxf 例 6 对任意实数，有，则函数（ ）yx,)()()(yfxfyxf)(xf A. 必是奇函数B. 必是偶函数 C. 可以是奇函数也可以是偶函数D. 不能判定奇偶性 解：解：选 A 因对任意实数都成立，特别地对，取，得)()()(yfxfyxfyx,Rxxy ，若取，则 )()()0(xfxff0x)0(2)0(ff ，即为奇函数0)0(f0)()(xfxff

15、4. 函数奇偶性的应用 例 7 已知函数为定义在 R 上的奇函数，如果在上是增函数，)(xfy )(xfy ), 0( 则在上也是增函数。)(xf) 0 , ( 证明：证明：设，则0 21 xx0 21 xx 由在上单增，有 又由为奇函数)(xfy ), 0( )()( 21 xfxf)(xfy 所以 即，故函数在上是增函)()( 21 xfxf)()( 21 xfxf)(xfy ) 0 , ( 数 例 8 已知定义在 R 上的函数是奇函数，当时，。 （1）)(xf0x12 2 1 )( 2 xxxf 求在 R 上的解析式；（2）讨论函数的单调性。)(xf)(xf 解：解：（1）若，则0x0

16、x 1)(2)( 2 1 )()( 2 xxxfxf12 2 1 2 xx 若，则由，有0x)()(xx)0()0(ff 即，所以在 R 上的解析式为0)0(f)(xf 0, 12 2 1 0, 0 0, 12 2 1 )( 2 2 xxx x xxx xf （2）其图象如下 0, 1)2( 2 1 0, 0 0, 1)2( 2 1 )( 2 2 xx x xx xf 由二次函数性质可知在区间与上是增函数，在区间与)2,(), 2( )(xf)0 , 2( 上是减函数。)2 , 0()(xf 例 9 解方程013122 33 xxx 解：解：令，则原方程可化为tx 205352 33 ttt

17、即（*）)(5252 33 tttt 设，则为奇函数，从而（*）化为tttf 3 )()(tf)()52(tftf 即)()52(tftf 又由在 R 上为增函数，所以，即)(tftt52 3 5 t 又由，所以原方程的解为 3 5 2x 3 1 x 3 1 x 解法二： 令， 3 2xs 3 12 xt2 3 sx12 3 tx13 33 tsx 原方程 0 33 tsts0) 1)( 22 sttsts|2 22 stts ) 12(2xxts 3 1 x 例 10 已知函数是偶函数，且在上是增函数，试求函数)(xfy ), 0 的单调区间。)2( 2 xfy 解：解：令，则 2 2xt)

18、(tfy )()2( 2 xtfxf 由是偶函数且在上单增，则在上单减)(tfy ), 0 ) 0 , ( 又由在上单增，在上单减，以及 2 2xt) 0 , (), 0( 2020 2 xt ，或2 x20xt2x 列表如下 区间 单调性 函数 )2,() 0 , 2()2, 0(),2( )(xt + )(tf + )( xtf + + 所以由复合函数单调性结论知在与上是减函数，在)2( 2 xfy)2,()2, 0( 与上是增函数。) 0 , 2(),2( 注：注：是偶函数，如在上增，则必在上减)(xf), 0 ) 0 , ( 略证任取00 2121 xxxx)()()()( 2121

19、xfxfxfxf 故在上单减)(xf) 0 , ( 例 11 已知是定义在上的奇函数，且在上是的一次函数在)(xf6 , 6)(xf3 , 0x 上是的二次函数。当时，试求的解6 , 3x63 x3)5()( fxf2)6(f)(xf 析式。 分析：分析：由于在上是奇函数，故可以把定义域分为两个区间，6 , 6)(xf0 , 6 进行讨论，又由在上是分段定义的，即分为，故又要把分为6 , 06 , 03 , 06 , 36 , 0 两个区间讨论，再由奇函数概念，对也得分，两段讨论，因此对已0 , 63, 60 , 3 知区间应划分为四个区间讨论，考虑到函数分段定义，我们对划分的四个区间，都6

20、, 6 用闭区间讨论。 当时，因在上是的二次函数且63 x)(xf6 , 3x3)5()( fxf （5，3）是该二次函数图象的顶点坐标，设此二次式为3)5()( 2 xaxf 又由 2)6(f13)56(2 2 aa 故 由此可求得 3)5()( 2 xxf)63( x1)3(f 当时 在上为奇函数，故30 x)(xf6 , 60)0(f 又 及在上为的一次式1)3(f)(xf3 , 0x xxf 3 1 )(30 x 再由奇函数定义知，时，0 , 3xxxxfxf 3 1 )( 3 1 )()( 时，3, 6x3)5(3)5()()( 22 xxxfxf 综上， )3, 6, 3)5( )3 , 3, 3 6 , 3, 3)5( )( 2 2 xx x x xx xf 【模拟试题模拟试题】 1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例， 函数在上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为 0； ) 1,( 2 函数 F（x）（12/（2x1） ）f（x） （x0）是偶函数，且 f（x）不恒等于零，则 f（x） （ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3. 已知函数 f（x）x2lg（x） ，若 fA. M，则 f（a）等于（ ）1 2 x A. 2a2M B. M2a2 C. 2Ma2 D. a22M 4. 若对正常数 m 和任意实数