高一数学竞赛常用定理

1、 定理 1.1 等系数和线 我们熟知，若 =x+y，x+y=1 那么 C 点在 AB 上，即 A，B，C 三点共线. 类似地，若 x+y=m (m 为常数)，就可以写成 ，=1 不难发现，C 点在与 AB 平行的直线 AB上. 其中 A为向量的终点，B为向量的终点. 这样向量 问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题. 进一步探索，令 x = 0 或 y = 0 可以得到. 例题 1.1 在扇形 AOB 中，OA=OB=1，AOB=60，C 为(不包括端点)上的一点，且=x+y. (1) 求 x+y 的取值范围； (2) 若 t=x+y 存在最大值，求 的取值范围. 解 (1)如图 1，

2、C 所在的在 m=1 和 m=的两条等系数和线之间（包括 MN，不包括 AB） ，于是 x+y 的取值范围是. 图 1 图 2 (2)如图 2，将已知条件改写为 =x+y， 于是 t 所对应的等系数和线是一系列与直线 AP 平行的直线，其中 P 为向量的终点. 由于 t 有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此 P 位于线段 MN 上（不包括端点） ，其中 AM 与 B 处的切线平行，AN 为 A 处的切线. 从而易得 的取值范围是. 例题例题 2.2 已知 O 为锐角ABC 的外心，且=x+y，求 2x - y 的取值范围. 解 设 BD 和 CE 为圆 O 的直径

3、，则点 A 在劣弧 DE 上运动，于是=(-x)+(-y), 且 x, y 0. 方法一 考虑到问题涉及的代数式为 2x - y，为了利用向量分解的系数和的几何意义，将条件转化为 =2x+, 此时可知连接向量的终点 F 与向量的终点 E 的直线 EF 即等系数和线 2x-y=1， 如图. 依次作出其等系数和线，可得 2x-y 的取值范围是. 方法二 根据题意，有 ， 于是 ，且 x, yb，也就是说此结论对焦点在 x 轴和焦点在 y 轴上的椭圆均适用； 注三：双曲线的垂径定理中的斜率之积 定理定理 7.3 切线公式切线公式 在任意二次曲线上一点 P(x0, y0)处的切线方程为： 定理定理 7

4、.4 面积公式面积公式 由有向线段和围成的OAB 的有向面积 例题例题 7.1 设 a1, a2, a3, a4R，且=1, 记 f (a1, a2, a3, a4) = ，求 f (a1, a2, a3, a4)的 最小值。 解 设，记= | ， 则 2 . 定理定理 8.1 阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 动点 P(x, y)到定点 F1(-c, 0), F2(c, 0)的距离之比为 .(c, 为正数)，则 P 点的轨迹方程 讨论： 1. 当时，即, P 点轨迹为直线(F1F2的中垂线) 2. 当时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆 进一步， 对于圆锥曲线有: 动点 P 到动点 F 与定直线 l 的

5、距离之比为定值 . 则动点 P 的轨迹是二次曲线. 其中 即圆锥曲线的离心率 e. 快速判断直径，圆心的方法：过 P 作内外角平分线分别交直线 F1F2于 T，D，则根据角平分线性质容易 得到 TD 为直径. 即：在 F1F2上找到一对调和分比点 T，D(根据比例可以快速判断)，TD 中点即圆心. 另：角平分线性质： 例题例题 8.1 求满足条件 BC=2，的ABC 的面积的最大值。 解 SABC 其实不难发现通式 习题习题 8.1 已知两定点 A(-2,0), B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|=2|PB|，求点 P 的轨迹所包围的面积. 习题习题 8.2 已知共面向量 a, b, c

6、 满足| a |=3, b + c=2a, 且| b |=| b-c |，若对于每个确定的向量 b，记| b-ta |(tR)的最 小值为 dmin，则当 b 变化时，dmin的最大值为？ 定理定理 9.1 托勒密定理托勒密定理 平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四 边形的四个顶点共圆时两者相等. 例题例题 9.1 已知ABC 满足， 点 M 在ABC 外， 且 MB=2MC=2， 则 MA 的取值范围是？ 静态观察（解法一） 易知ABC 为等边三角形，如图，设 MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得 于是 1

7、x3. 由于两侧等号均能取得（如图） ，又根据图形连续变化，因此 MA 的取值范围是1,3. 动态探索（解法二） 如图，先固定 B，M，使得 BM=2，然后让 C 在半径为 1 的圆 M 上运动，观察 A 点的轨迹（暂时忽略 M 在ABC 外的条件）. 由平面几何知识容易得到 A 的轨迹是圆 M 绕点 B 旋转 60后得到的圆 N，据此容易求得 MA 的取值范 围是1,3（注意取得最值时 M 均在ABC 外部）. 例题例题 9.2 已知椭圆，P 在椭圆上，求 P 点到 G 点的距离的最大值. 解 根据托勒密定理有 |PG|2c2a|GF1| |PG| 当且仅当 P，F1，F2，G 四点共圆时等

8、号取得. 易知等号可以取得. 此时 PG 垂直过 P 的切线 l，且 PG 平分F1PF2，这里用到了一个二级结论： 圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线. 同时证明了取得最大值时, PG 总在 PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理. 进一步思考，当离心率为时，这种做法只适用于 G 点在短轴上时， （此时 GF1F2的外接圆与椭圆有交 点） ；若 G 在短轴所在直线上（不在短轴上） ，最大值为 P 点在远离 G 点的短轴端点时取到. 更一般的表述：这种做法只适用于 G 点在短轴所在直线上时， （且此时 GF1F2的外接圆与椭圆的另 半部分有交点）

9、 ；若 G 在短轴所在直线上（且此时 GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点） ，最大值为 P 点在远离 G 点的短轴端点时取到. 其中“椭圆另半部分”是指，当 G 在 x 轴一侧时，x 轴另一侧的椭圆 曲线被称为“椭圆另半部分”. 其他情况，利用二次函数最值求解. 阅读阅读 10.1 向量叉乘向量叉乘 在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及 在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便 问题的解决。 1.叉乘的定义 要确定一个向量，需要知道它的模和方向。 如图 1，对于给定的向量 a 和 b，

10、规定向量 c=ab，满足： （1）模：|c|=|a|b| sin （2）方向：向量 c 的方向垂直于向量 a 和 b，且符合右手定则：用右 手的食指表示向量 a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度 0,到 向量 b 的方向， 大拇指所指的方向就是向量 c 的方向。 这里的 也就是。 这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉 乘的结果仍是一个向量。给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。 2.叉乘的性质 （1）显然有 aa=0 （2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即 ab= ba，这是因为右手定则中 手指一

11、定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足 0，也就使得积向量反向。 （3）易得对数乘的结合律，即(a)b=a(b)=(ab) （4）可以证明分配律：(a+b)c=ac+bc 或 a(b+c)=ab+ac 3.叉乘的几何意义 如图，在平面上取点 O，作=a，=b，|ab|=|a|b| sin， 由三角形面积公式sin 可知|ab|表示以 OA, OB 为相邻 两边的三角形的面积的两倍，也就是以 OA, OB 为两边的平 行四边形的面积。 即|ab|=2SOAB=SOABC 4.叉乘的坐标表示 将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为 如果

12、能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得 到极大简化。 要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根 基单位正交基底出发。给定一组单位正交基底i, j, k，为满足运 算要求，应使 i, j, k 符合右手定则，即建立一个右手系，如图。这样一 来就有 从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。 可设 a=a1i+a2j+a3k=(a1, a2, a3), b=b1i+b2j+b3k=(b1, b2, b3) 则 ab=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)，由向量叉乘的分配律可知， 原式=a1b2ij+a1b3ik+a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2

13、kj = a1b2k+a1b3+a2b1+a2b3i+a3b1j+a3b2 =(a2b3a3b2)i +(a3b1a1b3)j +(a1b2a2b1)k =(a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1) c b a k j i z y x O C B A O OB OA 即(a1, a2, a3)(b1, b2, b3)=(a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1)， 这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。 5.叉乘的实际应用 （1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。 【例 1】已知空间内有一平行四边形 ABCD，且 A(

14、1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四边形的面积。 【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出 AB 和 AC 的夹角，再用sin 等相关公式 计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求|ABAC|，即为所求面积，从而使问题得到了极大简化，也减少了 运算量。 【解答】AB=(1,0,1)，AC=(4,3,1) ABAC=(3,5,3) | ABAC |= SABCD= （2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。 如图，对于给定的直线 l 和点 C，可在 l 上取点 A, B，则 d (C, AB) 这是因为表示平行四边形 ABCD 的面积，又等于d (C, AB)，整理即可得上

15、式。 【例 2】已知点 A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点 C 到直线 AB 的距离 【解答】 = d (C, AB) （3）求平面的法向量 由于向量叉乘运算 c=ab 中 ca 且 cb，由立体几何 知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它 们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。正是由 于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展 身手。 【例 3】ABCD 为边长为 4 的正方形，GC平面 ABCD， GC=2，E、F 分别是 AD、AB 的中点，求点 B 到平面 EFG 的距 离。 【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用 数量积求出平面 G

16、EF 的法向量， 再利用点到平面距离公式求解。 引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面 GEF 的法向量。下 面列出两种解法，以供比较。 【解法 1】A(4, 4, 0), B(0, 4, 0), D(4, 0, 0), E(4, 2, 0), F(2, 4, 0), G(0, 0, 2)。 设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x, y, z)，则 n=n=(x, y, z)( 2, 2, 0)=(x, y, z)(2, 4, 2)=0 3x=3y=z 令 x=1，则 y=1，z=3 (D) C B A F E D B A G x z y n=(1,1,3) d (B, EFG) 【解法 2

17、】空间直角坐标系的建立同解法 1. =( 2,2,0), =(2,4, 2) 平面 EFG 的法向量为 n=() d (B,EFG) .叉乘的物理意义 正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切 的联系，下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例作简要说明。 如图，在磁感应强度为 B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为 L 的导线通有电流强度为 I 的电 流，导线与磁场成角 。 由物理学规律可知 F=BILsin。 从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度 I 被定义为标量，但由于电流有方向，不妨把 I 理解为 矢量 I，则| F |=|

18、B | I |Lsin 。又 F 垂直于 B 和 L 所成的平面，且符合物理学中的“左手定则”（类似于前 面所提到的“右手定则”） ，故 F=L(IB) 这样， 就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起， 再一次体现出数学和物理紧密结合的特点， 表 现出科学世界的和谐与统一之美。 总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的视野，令人感 受到数学的无穷魅力。 I,L B 定理定理 11.1 巴普斯定理巴普斯定理 1、在一平面上取任一闭合区域，其面积为 S，使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个体积为 V 的立体， 那么这个立体图形的体积就等于质心质心所经路程 r 乘以区域面积。表达式为 V=Sr。 2、若有某一长为 L 的曲线段，使它沿着垂直于它所在平面的方向扫过一个面积 S，那么这个面积的大小 就等于线段移动的距离 r 乘以线段的长度。表达式为 S=Lr。 注：是质心，而不是重心，求半圆面质心，因为除非重力场是均匀的，否则同一物质（系统）的质心与重 心通常不在同一假想点上。 用法用法 11.1 求半圆面质心求半圆面质心 令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为 R，那么它的面积即为 所得球体体积