第四章倒易点阵及晶体衍射方向

1、第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束0入射到晶体中面间距为 dhkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD n, 则达到TT 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。由图 4.1 可知，PA+AD =2dhkl

2、sin=n (4.1)此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成: (4.1a)因为 dhkl/n=dnh, nk, hl，故可把n级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 : (4.1a)还可以写成下述形式： (4.1b)只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 dhkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；为入射电子束的波长；为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义（1）倒易点阵：若已知晶体

3、点阵的单位矢量 a、b、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a*、b*、c*，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a、b和 c , 相应点阵的 6 个参数是a、 b 、 c 、和 。其晶体点阵的倒易点阵所具有的 3 个单位倒易矢量为a*、b*、c*。相应的倒易点阵的 6 个参数是a*、b*、c*、*、*和*。根据倒易点阵的定义可求出a*。其表达示为：式中的 h100 为晶体平行六面体单胞中垂直于

4、 (100) 面的高 OA。 设 OA 与 a 的夹角为。则以下两个同名基矢的标量积应有如下结果:（a） 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点乘积等于 1 （4.2）倒易基矢长度为: （4.3） （b） 正点阵与倒易点阵的异名基矢之间是相互垂直的, 即 a*b，a*c。正点阵与倒易点阵的异名基矢的点乘积等于零。a*b = a*c = b*a = b*c = c*a = c*b = 0 (4.4)（c）定义晶体正点阵的单位基矢 (a 、 b 和 c) 与倒易点阵的单位基矢 (a*、b*和 C* ) 之间有如下关系: （4.5） （4.6） 其中 V和V*分别是正点阵和倒易点阵单胞的体积。倒易基矢 a*

5、在正 点阵单胞基矢 b、c构成的平面法线方向, 它的长度等于这个平面族的面间距的倒数。同理，b*与 c、a构成的平面正交，c*与 a、b构成的平面正交, 它们的长度也分别等于这两个平面族的面间距的倒数。正倒点阵单胞的体积 V 和 V*分别等于 a 、 b 、 c 和 a*、b*、c*的三重标量积。 (4.7) (4.8)由倒易基矢a*、b*、C*组成的倒易矢量是 （4.9）它的端点是 hkl 倒易阵点。如 h、k、l 取遍所有整数值 , 即构成一个无穷尽的倒易点阵 , 正如在正空间中 的端点处的阵点构 成的一个正点阵一样。正点阵与倒易点阵有完全对应的倒易关系。(3) 正点阵与倒易点阵基矢之间的

6、定量关系假设它们基矢的列矩阵间存在矩阵因子M, 其关系式表示如下: (4.10)等式两边分别右乘以正点阵的行矩阵 a b c, 则有上述等式右方最后一个矩阵为单元矩阵，可求出M并表示如下： （4.11）式中、分别是晶体基轴b与c，c与a和a与b之间的夹角。将等式（4.10）两边同时左点乘以M的逆矩阵M-1，得到以下结果：等式两边同时右点乘以倒易点阵基矢的行矩阵，有 （4.12）进一步解得： （4.13）式中。表4.1 不同晶系的坐标变换矩阵M及M-12.2倒易关系从式 (4.2) 和式 (4.4) 可以看出, 正点阵单胞的基矢与倒易点阵单胞 的基矢是完全对称的, 两者互为倒易关系。倒易点阵在晶

7、体几何方面的重要意义就在于它与正点阵间存在有一系列的倒易关系。分别从a、b和 c 与的标量积得出:， ， （4.14）它们是正点阵矢量r与倒易点阵矢量r*的标量积: (n 为任意整数 )的几个特例, 表示 r 在r*上的投影为零。所有与r*正交的正 点阵矢量 r 都满足这一关系, 并都坐落在一个通过原点且与 r* 正交的平面上。根据倒易点阵矢量的定义 ,h、k、l均为整 数, 因此,(hkl) 点阵平面的指数也必定是整数。可将正点阵与倒易点阵之间的关系归纳如下 :(1) 正点阵与倒易点阵互为倒易, 即正点阵的倒易是倒易点阵。倒易点阵的倒易是正点阵, 这一点可以通过式 (4.5)、式 (4.6)

8、、式 (4.7) 和式 (4.8) 反映出来。(2)倒易点阵中的方向hkl*与正点阵中同名指数（hkl）正交（图4.3），倒易原点到倒易点的距离。同样，正点阵中的晶向uvw与倒易点阵中同名支书倒易平面（uvw）*正交，正点阵原点到uvw阵点的距离，是倒易面（uvw）*的面间距，如图4.4所示。图4.3 点阵平面（hkl）与倒易点 图4.4 点阵平面（uvw）*与点阵阵方向hkl*正交，且 方向uvw正交，且表4.2 正空间和倒空间的相互关系注意 , 只有在立方晶系情况下 , 正点阵中的晶向uvw才与正点阵中同名指数晶面 (uvw) 正交, 而其他晶系则不一定有这种正交关系 ( 见表 4.2)。

9、(3) 常见的七个晶系空间倒易关系见表 4.2 。如图 4.5 中以面心、体 心立方为例, 示意说明两者互为倒易情况。图中,(a)为正空间的面心立方, 其相应的倒空间为体心立方(b)；(c) 为正空间的体心立方, 其相应的倒空间为面心立方(d)；（a）、(c) 上圆点代表原子；(b)、(d)上的圆点是倒空间的倒易点, 从坐标原点到这些点的向量称为倒易矢量, 它代表正空间一族晶面。(4) 正点阵与倒易点阵的单胞体积互为倒易关系。由式 (4.4)、(4.5)、(4.6)、(4.7)、(4.8)和（4.11）不难得到如下结果：V2 = M VV* =1由此得 V* = 1/V =M图4.5 面心立方

10、、体心立方正空间与倒空间的相互关系3. 正点阵与倒易点阵的指数变换3.1 晶带及晶带定律晶体中的许多晶面族 (h k l) 同时与一个晶向 u v w 平行时 ( 见图 4.6), 这些晶面族总称为一个晶带 , 这个晶向称为晶带轴。常常用晶带轴 代表整个品带 , 如 u v w 晶带。图4.6 晶带的示意图既然这些晶面族都平行于晶带轴的方向 , 那么它们的倒易矢量就构成一个与晶带轴方向正交的二维倒易点阵平面 (u v w)*。易于证明 , 当 r 在 f 上的投影为零间 () 时 , 可得出晶带定律 （4.16）上式也可写成四轴形式 （4.17）它反映了正空间与倒空间一些 有特定关系的矢量与平

11、面指数间的关系 :(1) 说明了相互垂直的正空间 矢量u v w和倒空间矢量 h k l*之 间的指数关系或者理解为相互垂直的正空间平面 (h k l) 与倒空间平面 (u v w)* 之间的指数关系。（2）说明了正空间与倒空间各自的平面与平面上直线指数之间的关 系 , 即晶带平面 (h k l) 和晶带轴 u v w 之间以及倒易面(u v w)*和面上倒 易矢h k l*之间的指数关系。由晶带定律可很方便地用来求解下列几何命题。(1) 已知晶面 (h1 k1 l1) 和晶面(h2 k2 l2), 可求解它们的晶带u v w。由晶带定律式 (4.16) 可得到下列方程组:解出它们的晶带轴指数

12、u、 v、 w ：为了方便起见 , 通常写为下列便于记忆的形式:此即常用的由两个点阵平面指数求晶带轴的公式。点阵平面 (h1 k1 l1) 、 (h2 k2 l2) 、 (h3 k3 l3) 同属于同一晶带的条件是倒易点阵矢量,在一个倒易点阵平面上 , 即, 展开 得 :展开得：(2) 已知两个晶带指数u1 v1 w1 和u2 v2 w2, 求解它们所在平面的指数。根据式（4.16），应有解出他们所在平面指数h、k、l：或写成较易记忆的形式：同理，三个点阵方向（u1 v1 w1）、（u2 v2 w2）、（u3 v3 w3）应满足：（3）已知晶面(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)在一个晶

13、带u v w上，求解位于此晶带上介于二晶面之间的另一晶面(h3 k3 l3)。同样，根据式（4.16）有：由上式可得 此结果应满足或式（4.20）。图 4.7 是晶带定律的示意图 , 属于 u v w 晶带的晶面族的倒易阵点图4.7 晶带定律的示意图hkl都在一个二维倒易点阵平面上。根据倒易关系 , 正点阵的 u v w* 方向与倒易点阵的(u v w)*倒易平面正交 , 因此这些hkl倒易点构成的二维倒易点阵平面就是(u v w)*。这个倒 易点阵平面通过原点 , 满足关系式, 用(u v w)*0 表示。在它上面或下面并与之平行的第 N 层 (u v w)*倒易面不通过原点 :或（4.24

14、）这是广义的晶带定律。由于hkl及u v w 都是一些整数 ,N 当然也是整数 , 一般代表(u v w)*倒易面的层数。式 (4.24) 给出第 N 层(u v w)*倒易面上 倒易阵点hkl的指数。3.2 点阵的指数变换在讨论正点阵与倒易点阵互为倒易的关系时已经指出 , 正点阵的 (hkl) 晶面与倒易点阵的同指数倒易方向 hkl*垂直 , 正点阵的 u v w 晶向与倒易点阵的同指数倒易平面(u v w)*垂直 ( 见图 4.3 和图 4.4)o 在晶体及其衍射谱的分析工作中 , 还要知道 (u v w) 晶面的法线 u v w 的指数 , 或者反过来 , 与u v w 垂直的 (u v

15、 w) 晶面的指数。只有在立方晶系中 , 才有 h = u、 k = v 、 l = w 的简单指数关系。 对非立方晶系 , 不能认为电子束是垂直于正空间 (u v w) 面的。一般说来 ,( hkl) 晶面的法线指数u、 v、 w不一定是整数 , 与 u v w 晶向垂直的晶面的指数也如此。根据法线的定义 , 设 u v w 与 (hkl) 垂直。倒易坐标的原点与正点阵的坐标原点是相重的 , 根据倒易点阵与正点阵的倒易关系 , 在此倒易坐标中引出的、代表 (hkl) 面的倒易矢量 hkl* 也是垂直于 (hkl) 面的 , 即 u v w 和 hkl 势是同一矢量在正、倒空间的不同表示方式

16、, 可用数学式表达如下： （4.25）这就是说 , 在正点阵中的系数是u、 v、 w , 在倒易点阵中的系数是h、k、l。将式 (4.25) 分别乘以a*、b*、c*, 根据式 (4.2) 和式 (4.4) 则有: (4.26)整理以后写成矩阵形式： （4.27）这就是在 (hkl) 晶面为已知的情况下求法线 u v w 的公式 , 也是把一个倒易矢量改用正点阵坐标描述的公式。如果分别以 a、b、c 乘以式 (4.25) 两边 , 同理可以得出: （4.28）或写成矩阵形式： （4.29）由此可以得出与 u v w正交的(hkl)晶面的指数 , 这也就是正点阵矢量改用倒易点阵描述的系数。式 (

17、4.29) 和式 (4.27) 中的 M 和 M-1 即前述的正 、倒基矢转换矩阵和逆矩阵。图4.8 倒空间指数转换关系可以用图解的方法表示正倒空间指数的转换或对应的关系。图 4.8 中用斜方块表示平面 , 用箭头表示一维线的方向 , 用上角 餐 表示倒空间 所隶属的线或面 , 图中各行的意义在图右都作了相应的说明。正空间平面矢量转换成平行的倒易矢量 , 或者进行相反的转换 , 其指数不变。正空间的方向矢量转换成平行的倒易面矢量 , 或者进行相反的转换 , 其指数不变。正空间的方向矢量转换成平行的倒易矢量 , 其指数必须左乘以 M 矩阵 , 进行相反转换时 , 其指数必须左乘以 M-1 矩阵

18、。根据正倒点阵线面互应指数不变的规则 , 可推导出正空间平面转换成平行的倒易面必须左乘以 M-1 矩阵 , 进行相反转换时必须左乘以矩阵。归纳图 4.8 可以组合成一个综合的表示形式 , 如图 4.9 所示 , 由图中可以看出图解的上、下两行表示正倒空间线面之间是相互对应的 , 转换成指数不变；对角之间表示正倒空间平行方向 ( 线 ) 间或平行平面间指数的转换关系 , 从下一行转到上一行均需左乘以 M 矩阵 , 进行相反的转换 , 从上一行转到下一行均需乘以M-1矩阵。图4.9 正倒空间指数转换的图解图 4.9 中垂直的两行之间的意义是 : 左列是u v w平行于 hkl*的直线方向 , 而 hkl*垂直于 (hkl), 因此图 4.8 倒空间指数转换关系u v w也是垂直于 (hkl) 的。同理, hkl*是倒空间垂直于倒易面（u v w）*的倒易矢量的指数。显然 , 左右 两列中从下一行转到上一行同样需要乘以M矩阵。当然 , 进行相反的 转换需要乘以M-1矩阵。因此 , 从图 4.9 可一目了然地了解正倒空间 线面之间的各种平行或垂直关系指数转换的简单规则 , 并归纳如下 : (1) 正空间的垂线转换到其垂面 , 其垂线指数必须左乘以M矩阵 , 进