第六章 留数理论及应用

1、第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理： 设函数f(z)在点解析。作圆，使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分等于零。设函数f(z)在区域内解析。选取r，使0r1)。这就是说，在去掉中心的某一圆盘内（），其中在这个圆盘内包括解析，而且。在这个圆盘内，泰勒级数展式是：由此可见，因此问题转化为求泰勒级数展式的系数。如果容易求出的泰勒级数展式，那么由此可得；否则要采用其他方法求留数。显然，因此，我们也可根据下列公式计算：例6.1.2、函数在z=0有三阶极点，则因此由上述公式也可得：例6.1.3、函数在z=i有二阶极点。这时令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系数就是f

2、(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：当|t|1时因此当|t|1。解：令，那么。而且当t从0增加到时，z按逆时针方向绕圆C:|z|=1一周。因此于是应用留数定理，只需计算在|z|1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：及。显然。因此被积函数在|z|1，那么z=i包含在的内区域内。沿取的积分，则有其中表示上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。现在估计积分。我们有因此令，就得到从而注解1、我们计算所得的值是这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。注解2、应用同样的方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母

3、在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次。引理 设f(z)是闭区域上连续的复变函数，并且设是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段。如果当z在这闭区域上时，那么我们有证明：设M(r)是f(z)在上的最大值，则有因为当时，所以又因为，所以例6.2.3、 计算积分解：取r0，则有函数在除去有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积分区域如图，而只要取r1。于是我们有其中表示上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。现在应用引理3.1，取，那么在这引理中所设各条件显然成立。因此，令，就得到从而可见积分I收敛，并且。注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中f(x

4、)在上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足。注解2、上面求出的广义积分也是其柯西主值。注解3、如果函数f(x)在上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些积分，如下例：例6.2.4、 计算积分解：取，使，我们有函数只是在z=0有一个一阶极点。作积分路径如图，在上半平面上作以原点为心、为半径的半圆。于是我们有在这里沿的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。现在求当趋近于0时，的极限。当时其中h(z)是在z=0的解析函数。因此由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，| f(z)|有上界。于是当充分小时，从

5、而令，应用引理3.1，可以得到所求积分收敛，并且。第三节 辐角原理及其应用亚纯函数的零点与极点的个数、儒歇定理： 应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。儒歇定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，|f(z)|g(z)|，那么在D上，f(z)及 f(z)+g(z)的零点的个数相同。注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。注解2、选择f(z)及g(z)的原则是，f(z)在区域D内的零点个数好计算。例6.3.1、 求方程在|z|1内根的个数。解：令由于当|z|=1时，我