2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第22讲 正弦定理和余弦定理(含解析)

1、第22讲正弦定理和余弦定理考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考情分析考点考查方向考例考查热度利用正弦定理、余弦定理解三角形直接使用定理解三角形2017全国卷11,2017全国卷16,2016全国卷13,2016全国卷8,2013全国卷17与三角形面积有关的问题求三角形面积、已知面积求三角形元素2017全国卷17,2017全国卷17,2017全国卷17,2016全国卷17,2015全国卷17,2014全国卷4三角形中范围和最值问题角的三角函数以及面积的最值和范围2015全国卷16,2014全国卷16,

2、2013全国卷17真题再现 2017-2013课标全国真题再现1.2017全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.解析 B因为sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=.又由正弦定理=,得=,解得sin C=,所以C=.2.2016全国卷 在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A.B.C.-D.-解析 C如图3-22-

3、1所示,作ADBC交BC于点D,设BC=3,则AD=BD=1,AB=,AC=.由余弦定理得32=()2+()2-2cos A,解得cos A=-.3.2014全国卷 钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1解析 B根据三角形面积公式,得BABCsin B=,即1sin B=,得sin B=,其中CA.若B为锐角,则B=,所以AC=1=AB,易知A为直角,此时ABC为直角三角形,所以B为钝角,即B=,所以AC=.4.2017全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案 解析 因为2bcos

4、B=acos C+ccos A,由正弦定理有2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,得B=.5.2016全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案 解析 cos A=,cos C=,且A,C为三角形的内角,sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=. 由正弦定理得=,解得b=.6.2015全国卷 在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案 (-,+)解析 如图3-2

5、2-2所示.MBABEB,在BMC中,CB=CM=2,BCM=30,由余弦定理知MB2=22+22-222cos 30=8-4=(-)2,所以MB=-.在EBC中,设EB=x,由余弦定理知4=x2+x2-2xxcos 30,得x2=8+4=(+)2,所以x=+,即EB=+,所以-AB0,所以2sin B=sin A,再根据正弦定理得2b=a,故选A.2.2017北京卷 在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解:(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=. (2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2b

6、ccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=83=6.3.2017山东卷 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解:因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0AB解析 根据正弦定理知,在ABC中有sin A=sin Ba=bA=B,sin Asin BabAB.6.45解析 由正弦定理知=,则sin B=.又ab,则AB,所以B为锐角,故B=45.7.解析 易知c=,ABC的面积等于23=.8.直角三角形或等腰三角形解析

7、 由已知有cos C(sin A-sin B)=0,所以有cos C=0或sin A=sin B,解得C=90,或A=B.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A0得到cos B,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.解:(1)2c-a=2bcos A,根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,代入式,得2sin Bcos A=2sin Bc

8、os A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的内角,sin A0,2cos B-1=0,解得cos B=,B(0,),B=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2-(a+c)2,当且仅当a=c=2时取等号,a+c4,即a+c的最大值为4.变式题(1)A(2)解析 (1)(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,可化为b2+c2-a2=bc.由余弦定理可得cos A=,又A为锐角,A=.a=

9、,由正弦定理可得=2,b2+c2=(2sin B)2+2sin-B2=4+2sin2B-,B,2B-,sin2B-,1,可得b2+c2=4+2sin2B-(5,6.(2)设AB=a,AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,AD=a,BD=,BC=.在ABD中,cosADB=,sinADB=,sinBDC=.在BDC中,=,sin C=.例2思路点拨 设BAD=,DAC=,则由+C=90,可得+B=90,利用正弦定理得到关系式,再结合范围得到结论. 等腰三角形或直角三角形解析 设BAD=,DAC=,则由+C=90,得+B=90.在ABD中,由正弦定理得=,即=,同理得=.BD=DC,=,sin

10、sin C=sin sin B.+C=90,+B=90,sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,B,C(0,),B=C或B+C=90,ABC是等腰三角形或直角三角形.变式题等腰三角形解析 由已知等式得a=2c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC为等腰三角形.例3思路点拨 (1)利用同角三角函数的基本关系,余弦定理、正弦定理、两角和差的三角函数公式将已知条件进行化简整理;(2)利用正弦定理可求出b的值,进而根据三角形面积公式即可计算得解.解:(1)cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin2C+sin Asin

11、 B=sin2A+sin2B,由正弦定理得c2+ab=a2+b2,cos C=,0C,C=.sin(A-B)=cos(A+B),sin Acos B-cos Asin B=cos Acos B-sin Asin B,sin A(sin B+cos B)=cos A(sin B+cos B),sin A=cos A,由A为锐角,可得A=,B=-A-C=.(2)a=,A=,B=,由正弦定理可得b=,三角形ABC的面积S=absin C=.变式题解:(1)由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),即a2+b2-c2=ab.所

12、以cos C=,又C(0,),所以C=.(2)由(1)知a2+b2-c2=ab,所以(a+b)2-3ab=c2=7.又S=absin C=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5.所以ABC周长为a+b+c=5+.【备选理由】正、余弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换的综合(或其中两个知识点的综合)已经是高考中考查三角函数和解三角形最主流的方式,下面三例均为此种类型,可在相应考点选用.1配合例1使用 2017石家庄模拟 在ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且cos 2B-cos 2A=2sin C(sin A-sin C).(1)求角B的大小;(2)若b=,求2a+c的取值范围.解:(1)由cos 2B-cos 2A=2sin C(sin A-sin C),可得sin2A-sin2B+sin2C=sin Asin C.根据正弦定理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cos B=,0BB=,而,CDE只能为钝角,cosCDE=-,cosDAB=cosCDE-=cosCDEcos+sinCDEsin=-+=.3配合例3使用 2017大庆实验中学模拟 在ABC中,角A,B,C