《轴对称》知识点归纳与对应练习

1、 轴对称知识点（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线

2、段被对称轴垂直平分 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。5画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平

3、分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合（四）用坐标表示轴对称1、 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；3、 点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。关于谁谁不变，关于原点都相反(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y x对称的点的坐标是（y，x）（6）

4、关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、 等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）（8） 等边三角形（9） 定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。1、 性质和判定：（1） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。（2） 三个角都

5、相等的三角形是等边三角形。（3） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（九）其他结论（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 作图题专练ACDOB1如图：已知AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到AOB两边的距离相等2已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M（1）如图，在l上求作一点M，使得 AMBM 最小；作法：（2）如图，在l上求作一点M，使得AMBM最大 作法：（3）如图，在l上求作

6、一点M，使得AMBM最小（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题变式练习1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且APMBPN 2如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQa，四边形APQB的周长最小4、已知：如图点M在锐角AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得PMQ的周长最小；5、已知：如图314，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小6

7、、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴毛有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对

8、称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合 轴对称变换由一个

9、平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点

10、的坐标是（x，y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y x对称的点的坐标是（y，x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）；等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别

11、的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2

12、）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合

13、一试试看。 练习试题考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识轴对称图形：如果_个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做_。轴对称：对于_个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做_1.下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有【 】A1个B2个C3个D4个2图中，轴对称图形的个数是【 】A4个 B3个 C2个 D1个3正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的_、_完全一样（2）经过轴对称

14、变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形4如图，RtABC，C90,B30,BC8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则APDP的最小值是 5已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若APPQ，求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线

15、的性质角是轴对称图形，其对称轴是_角平分线上的点到_相等6如图，ABC中，A90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。7如图，ABC中，ABAC，PBPC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC8如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC8厘米，AB10厘米，则EBC 的周长为【 】A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米9如图，BAC30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD30 , 则AM 10如图，在RtABC中，ACB 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CGAB于G，交AD于E. 过D点作DFAB于F.下列结论：C

16、EDCDE；ADF2ECD； ；CEDF. 其中正确结论的序号是【 】A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的两个_相等（简写成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（简称为“_”）特别的：（1）等腰三角形是_图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应_.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的_也相等（简称为“_”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形11如图，ABC中，ABA

17、C8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。12如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过D且EFBC，若AB 7，BC 8，AC 6，则AEF周长为【 】A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 13如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且ABBCCDEDEF,A20o,则FEB_度14已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_15ABC中， DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE20，则BAC等于 16从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将

18、其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 17已知，在ABC中，ACB90，点D、E在直线AB上，且ADAC，BEBC，则DCE 度.18如图：在ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DEDF。19如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DFEF，BDCE.求证：ABC是等腰三角形.20已知：如图，ABC中，ACB的平分线交AB于E，EFBC交AC于点F，交ACB的外角平分线于点G试判断EFC的形状，并说明你的理由21如图，ABC中，ABDC，ADDCCB，AD、BC的延长线相交于G，CEAG于E，CFAB于F.（1

19、）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）； （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由. 考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_22下列推理中，错误的是【 】AABC，ABC是等边三角形BABAC，且BC，ABC是等边三角形CA60，B60，ABC是等边三角形DABAC，B60，ABC是等边三角形23如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。24已知ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AECF，BE、AF交于点D，则BDF _度25如图，点P是等边ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边ABC的高为AD，求证：PEPFPGAD26