第11章代数学的解放

1、,数 学 史,主 讲 人 张跃辉,11、年轻人的事业 代数学的解放,从代数方程的解法到群论 代数学的扩张,11.1.1 问题的提出,al-Kitab almukhta sar fi hisab aljabr walmuqabala 还原与对消计算概要 （约 820）,al-Khowarizmi, 783-850,aljabr,algebra,系统地探讨了一次、二次方程的一般性解法，并给出了“代数学”这一名词，从此，解方程就成了“代数学”的中心内容,一元一次方程: 一元二次方程：,基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q 0)

2、,Tartaglia,1499-1557 Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q 0),A. M. Fior,1535,G. Cardano, 1501-1576,Ars Magna 大法 1545年,包含三次方程和四次方程的代数解法,根的个数,一元三次方程 经过适当的变量替换后化为如下方程：,三个根是(意大利数学家卡尔达诺大法1545年)：,其中 是3次单位根，,一元四次方程：,移项：,两边加上： 得：,令右边的判别式为零，求得 y 的一个三次方程，求其根，代入上式，求得根 x . (卡尔达诺学生-费拉里发现，记载于大法中),代数方程的可解性,18世纪后半叶，数

3、学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是： 微积分算法的逻辑基础问题 欧几里得几何中平行公理的证明问题 高于四次的代数方程的根式求解问题,一般四次方程的解法依赖于解一个相关的三次方程，能否继往开来，将一个一般高次方程的求解归纳为低一次的方程的求解。欧拉、拉格朗日、高斯等数学家都曾作过尝试，结果都失败了 格雷戈里（英，Gregory 1638-1675)和契尔恩森（德，Tachirnhausen 1653-1708)想化成二项方程来求解，结果次数增高了,基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。,即在n 5时，对

4、于形如 xn + a1xn1 + + a n1x + an = 0 的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。,代数方程的可解性,J. L. Lagrange 1736-1813,1770年： 关于代数方程解的思考 ，在数学史上最先明确宣布：,不可能用根式解四次以上的方程,“向人类智慧挑战”的难题,1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理,鲁菲尼定理 如果一个方程能用根式解出，那么这一根式必定是已知方程的根和单位根的有理函数（未证）,鲁菲尼 Ruffini,1765-1822,在拉格朗日的影响下致力于证明四次以上高次方程不可根式解，未果.

5、,高斯(联邦德国, 1955),1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理 每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根,高斯正17边形尺规作图法（1796） 数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献 近代数学奠基者之一 “宁可少些，但要好些”,高斯和正十七边形 (民主德国, 1977),高斯墓,F. Vieta, 1540-1603,韦达根据代数基本定理，得到了根与系数的关系,N. H. Abel, 1802-1829,自费出版 论代数方程，证明一般五次方程的不可解性,方程次数大于等于五时，任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。,1824

6、年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理,11.1.2 阿贝尔,阿贝尔,1908年维格兰(挪, 1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像,阿贝尔（Abel,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于挪威首都奥斯陆，是教区穷牧师的六个孩子之一。1815年进中学里读书 15岁时优秀的数学教师洪堡（Holmbo 1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。,在丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825）建议下，阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究，成为椭圆函数论的奠基人 1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂

7、安尼亚大学。 1823年，阿贝尔发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河 1824年，阿贝尔解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格廷根的高斯，但是高斯连信都未开封,1825年，阿贝尔去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物纯粹与应用数学杂志。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文 1826年，阿贝尔来到巴黎，他见到了柯西、勒让德、狄利克雷等人，但这些数学家并没有真正

8、认识到他的天才 撰写了关于一类极广泛的超越函数的一般性质的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“.已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待.。”,负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信 阿贝尔一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威，过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核 一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。 他原希望回国后能被聘

9、为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师,阿贝尔和雅可比（Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：“.这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向老爷们的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？.” 而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了,1829年4月，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世 作为命运捉弄

10、人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“.我国教育部决定招聘您为柏林大学教授.，一个月之内就能发出招聘书.。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出 克莱尔在他的学报中所写的纪念文章里这样赞扬阿贝尔：“阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势.。他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”,数学家们另有他法纪念他们中的伟人，因为我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛

11、判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起 阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理（鲁菲尼定理）：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数,阿贝尔方程,阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，1(x)，2(x)，n-1(x)其中i是有理函数 1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔方程 阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个

12、方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根，有 (x)=(x) 则该方程可用根式求解,几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了（高次方程可解的必要条件. 根据阿贝尔的思想，克罗内克(LKro-necker，18231891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明）. 阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究 阿贝尔不仅开创了“不可能性”证明的新的数学思想，而且第一个引入了数学结构的思想，“域”的概念就是最早的数学结构,数学奖,阿贝尔奖(2003- ),1898年挪威数学家李(S

13、. Lie，1842-1899)提议设立阿贝尔奖。 挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。,阿贝尔的塑像 (挪威, 1983),数学奖,阿贝尔奖(2003- ),2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖,塞尔 (法, 1926- ),确定哪些方程可用根式求解，或许比阿贝尔不可解性定理更有意义，即要寻找方程能用根式求解的充要条件 这一问题最终由另一位年轻的法国天才数学家伽罗瓦彻底解决,阿贝尔证明了

14、一般四次以上方程根式求解的不可能性，并没有排除特殊高次方程的根式可解性 高斯给出一类二项方程 能用根式求解,基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？,伽罗华 法 E. Galois, 1811-1832,置换群,伽罗瓦群,伽罗瓦证明了： 当且仅当方程的群满足一定条件（即它是可解群）时，方程才是根式可解的 也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件,11.1.3 伽罗瓦,伽罗瓦（法 E. Galois, 1811-1832 ）生于巴黎附近的布拉伦小城市，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿 12岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少

15、年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。 他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望，甚至说老师是笨蛋。他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”,15岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德的经典著作几何原理，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。学习拉格朗日的论数值方程解法和解析函数论，使他的思维日趋严谨。接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！” 1827年，16岁的伽罗瓦开始致力于方程论的研

16、究，这时，22岁的阿贝尔成功的消息传来，伽罗瓦大为振奋。但他觉得：虽然“阿贝尔的杰出成就轰动世界，但他还没有解决哪些方程可以用根式求解，哪些不能”。于是这个问题就成了伽罗瓦的主攻方向,伽罗瓦两次报考仰慕已久的巴黎高等工艺学校 第一次是因为他认为考官们问的问题太简单而拒绝回答 第二次是主考官无论如何也弄不明白伽罗瓦设法向他说明的十分简单的问题，气得伽罗瓦随手将擦黑板的抹布扔到了主考官的脸上 18岁伽罗瓦读预科时，施图姆（德裔法国数学家 Sturm 1803-1855）刚刚给出判断方程实根个数的方法，伽罗瓦的老师向学生讲述这个有趣的方法，但讲不出证明，因为施图姆的文章还未公开发表，伽罗瓦当场给出了

17、整个方法的漂亮证明,1828年，17岁的伽罗瓦遇到了一位杰出的数学教师查理德（1795-1849）。查理德不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们 在查理德的精心指导下，伽罗瓦非凡的数学才能被充分挖掘，并开始取得了具有划时代意义的成果，彻底解决了代数方程有根式解的条件问题。伽罗瓦为此欣喜若狂，他立即把自己的发现写成论文,伽罗瓦在查理德的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了“群”的思想。写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和泊松 柯西是当时法国首屈一指的数学家。他一向是

18、很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了无法弥补的损失：第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视；第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了,第二年18岁的伽罗瓦又取得了一些重要成果，再次写成论文寄交科学院。主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士傅立叶。然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了。人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文。就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了。但他并不灰心，又继续研究自己所得的新成果 第三次写成论文，即关于用根式解方程的可解性条件。1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院土泊松。总算幸运，这一次论

19、文没有丢失。但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像泊松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到泊松草率的评语：“不可理解”而被否定了,伽罗瓦在谈到他同时代的数学家时曾痛切地说：“他们落后了一百年！”直到伽罗瓦死后十四年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作 伽罗瓦所引入的“群”的概念，已发展成为近世代数的一个新的分支“群论”，而且在其他数学分支和近代物理、理论化学等科学上都是广泛应用的数学工具。这种理论，甚至对于20世纪的结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响。因此，伽罗瓦的工作的确是十九世纪数学的最突出的成就之一,伽罗

20、瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域群论他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来 群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进,伽罗瓦一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。在1831年法国的“七月革命”中，作为高等师范学校新生，伽罗瓦率领群众走上街头，抗议国王的专制统治，不幸被捕。 伽罗瓦在狱中，他染上了霍乱。即使在这样的恶劣条件下，仍然继续搞他的数学研究，并且写成了论文，准备出狱后发表。 “

21、妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学家。”,伽罗瓦出狱不久，反动派便设下了一个圈套，在爱情纠纷的名义下，迫使他参加“决斗”。在“决斗”的第二天早上，他便与世长辞了。他在临死前曾对自己的一生做了这样的总结：“永别了，我已经为公共的幸福献出了自已大部分的生命！” 伽罗瓦在告别人世的前夜的整个晚上，他把飞逝的时间用来焦躁地一气写出他的科学上的最后遗言，在死亡之前尽快地写，把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写一些出来。他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着涂写下一个极其潦草的提纲。他在天亮之前那最后几个小时拼命写出的东西，将使世世代代的数学家们忙上几百年。,伽罗瓦把他的

22、遗嘱委托给他忠实的朋友舍瓦利耶，全世界都应该感谢它被保留了下来。“我亲爱的朋友，”他开始写道，“我在分析方面作出了一些新的发现。”然后他在时间允许的情况下着手写出大纲。它们是划时代的。 他结束说：“请雅可比或高斯公开提出他们的意见，不是对这些定理的正确性，而是对它们的重要性。我希望以后会有人发现，辨读这一堆写得很潦草的东西，对他们是有益的。满怀激情地拥抱你。E伽罗瓦。”,对伽罗瓦死于决斗，科学史学家们常常感到遗憾。普里林在考察维苏威火山时，被突然爆发的火山灰掩埋；魏格纳考察格陵兰冰川于五十岁生日时丧身，利赫曼为揭开雷电的奥秘，被引下来的电流击毙这些死，是为了科学，为了人类的幸福 据说马克思也曾

23、受到过决斗的挑战，但马克思对此报以轻蔑的微笑 无论是科学家还是战士，他们的使命和责任，比个人的荣誉和一时的意气和冲动更为重要,也许伽罗瓦是太年轻了，他不被社会了解和尊重，自己也不珍惜自己的价值。他内心愤怒的激情的浪涛终于冲破了理智的堤坝，把它吞没了。不论怎么说，伽罗瓦参加决斗是犯了一个不可挽回的错误，但他那刻苦钻研、独立思考、不畏权威、勇于创新的精神却永远激励着后来者 1832年5月31日上午，伽罗瓦在他生命的第21个年头去世了。他被埋葬在南公墓的普通壕沟里，所以今天伽罗瓦的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作，共60页。,伽罗瓦(1811-1832) (法国, 1984),伽罗瓦一生的

24、遭遇和阿贝尔有着惊人的相似：同样地逆境成才，同样地研究五次方程，同样地受到老师的巨大影响，同样地研究成果受冷遇，同样地过早陨落，而且同样地在死后才得到荣誉,后来的一些数学家们认为： 伽罗瓦的死使数学的发展被推迟了几十年,在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念 伽罗瓦认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统 伽罗瓦从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论,伽罗瓦关于方程可解性的研究思想,1. 封闭性. 集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合 2. 结合性. 对于集合中任意三个元

25、素a,b,c, 满足结(ab)c = a(b c),3. 存在单位元 I, 使对该集合任意元素a， 有 Ia = aI = a,抽象群的定义：群是一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算（不妨称其为乘法，用 表示）满足如下的性质：,4. 对该集合中任意元素a，存在唯一的逆元素,使得,例如整数对加法的运算构成群,的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群 方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题 把与方程联系起的置换群

26、（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群 一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，亦即：对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变,对于有理系数n次方程,假设它的n个根,方程与群的联系：给定多项式 f(x),伽罗瓦群 ,其元素是 的所有置换,称为 f 的分裂域，,将一个n次方程,的n个根作为一个整体来考察，并研究它们的排列或“置换”,历史上最早的群的定义,n次方程n个根之间的置换全体构成的集合，如果其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”（置换群 ）,一

27、个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”，伽罗瓦称之为“方程的群”，即“伽罗瓦群”,群的定义中集合的元素本身的具体内容无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系,代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生,代数学不再仅仅是研究代数方程，而更多的是研究各种抽象的“对象”的运算关系,群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革,伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的创立,群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获

28、得了统一,19世纪以后这种抽象的对象曾出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础,有限置换群 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群,伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域,抽象化尝试,1873年李(挪 SLie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数,11.1.4 代数结构的思想,阿贝尔和伽罗瓦在数学中所引进的域与群是最基本的结构，域可以由它生成阿贝尔和伽罗瓦的成果开创了用结构思想处理问题的新方法，成为现代数学常用的处理问题的方法 “深刻的理解往往是将这些对象放在比较广阔的范围内时产生的”布尔巴基学派 在19

29、世纪末，一般群论已成为描写和研究其他数学和物理现象的普遍工具，被应用于晶体结构、基本粒子、量子力学等现代物理的研究中,1849年物理学家、矿物学家布雷威(ABravais，18111863)通过研究行列式为1的三个变量的线性变换 所组成的运动群，使他注意到晶体中可能出现32类对称的分子结构他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广,群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来 群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而

30、且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观,群的其它应用 1、化学分子对称群（分子对称群仅有32种）,研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识,氨分子：,(1个氮原子N和3个氢原子H),试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别：,1)、A为不动点,2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换,3)、习惯上记氨的分子对称群记为 ，由6个元素组成。,水分子对称群：水分子,水分子对称群习惯记为 , 由4个元素组成：,1)、恒等变换,2)、过O的轴的旋转180,3)、分子所在平面HOH的反射,4)、过O且垂直于H联线的平面的反射,2、晶体分类,各种晶体中原子排列模型表明，这是一

31、个有一定规则的多面体，可以利用空间格点加以表述。,例: 氯化纳(NaCl)晶体原子排列模型：,白：钠原子 绿：氯原子,19世纪后半叶，科学家发现： 晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共32种。 晶体内部构造一切可能的对称形式，称为空间群，230种,晶体分类的数学理论是由俄国数学家E.C.费多罗夫应用群的结构理论于1891年创立。1912年德国物理学家冯.劳厄利用X射线的衍射实验证实了晶体对称群的存在性，为此，他获得1914年度的诺贝尔物理奖。,随后英国科学家布拉格父子利用冯.劳厄方法和空间群的计算，给出了晶体中原子的固有排列形状，为此获得1915年诺贝尔物理学奖。,3、科学计算的重要方法,

32、例 设有一块正六边形的瓷砖，在六个顶点上分别染成三个白色和三个黑色，问有几种瓷砖图案？,图示如下：,计算结果：4种,它们是：,如何计算？,Burnside定理：设有限群G作用于有限集合M上，对G中每一个元素g，记g的不动元的集合为Fg, 则M在G作用下的轨道数是,1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初

33、世界数学的中心,克莱因 德, F. Klein，1849-1925,F克莱因的工作,克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量,1872年，F克莱因(德, 1849-1925)在爱尔朗根大学提出著名的爱尔朗根计划书中提出用变换 群对几何学进行分类,爱尔朗根纲领,变换群与几何学,平面上的几个变换群,K=平面上全体射影变换.,KA=平面上全体射影仿射变换.,KM=平面上全体射影正交变换.,A=

34、平面上全体仿射变换.,M=平面上全体正交变换.,射影平面,仿射平面,射影变换群K,射影仿射变换群KA,射影正交变换群KM,仿射变换群A,正交变换群M,上述5个变换群之间显然有下列关系：,在射影平面P上,在仿射平面PA上,Klein变换群观点,射影几何,射影仿射几何,射影欧氏几何,仿射几何,欧氏几何,绝对子几何关系,相对子几何关系,伴随关系,绝对形： l,变换群关系,变换群与几何学,并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。,1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论

35、了复数几何表示,1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示,11.2 代数学的扩张,1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位,1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在 1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)分别证明了e和是超越数，“化圆

36、为方”问题的不可能 欧拉常数 是否是无理数?,实数,复数,哈密顿（爱尔兰，18051865年 ），光学、力学和代数 自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童” 1820年已阅读牛顿自然哲学的数学原理，拉普拉斯的天体力学 1823年进入都柏林三一学院 1834年发表论文“一种动力学的普遍方法” 1843年10月16日定义了四元数“思想电路接通之火花” 18371845年任爱尔兰皇家科学院院长 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家,哈密顿 爱尔兰, 1805-1865,11.2.1 哈密顿与“四元数”,在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况如果作用

37、于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？ 1837年，哈密顿（Hamilton,1805-1865），首先引进有序实数对(a， b)来表示复数abi，通过有序实数对，他把复数的神秘性完全排除了通过有序偶，对于两个复数abi与cdi，他这样定义复数的运算： (a，b)(c，d)=(ac，bd)， (a，b)(c，d)=(ac-bd，adbc)，,这样，就成功地把复数的逻辑基础建立在实数的基础上，使复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一 既然有序实数对(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力他发现，要求三维复数具有当时

38、所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获,1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步： 一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k) 二是必须牺牲乘法交换律 他把这种新的数abicjdk (a，b，c，d为实数) 叫做四元数，写成有序数组的形式为(a，b，c，d),1843年

39、哈密顿定义了四元数,11.2.1 哈密顿与“四元数”,哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983),两个四元数a+bicjdk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数哈密顿通过有序偶给出了四元数的加法与乘法： (a，b，c，d)(e，f，g ，h) (ae，bf，cg，dh)， (a，b，c，d)(e，f，g，h) (ae bf cg dh，afbechdg，agcedf-bh，ahbgde-cf)， 四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如 jki，但kji；p32i6j7k，q46i8j9k，pq= -11124i72j35k，但qp=-11128i24

40、j75k 在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例,正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(GPeacock， 17911858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理： 1等量各加上第三个等量得到等量； 2(ab)ca(bc) (加法结合律)； 3abba (加法交换律)； 4等量加等量给出等量； 5等量加不等量给出不等量； 6a(bc)(ab)c (乘法结合律)； 7abba (乘法交换律)； 8a(bc)=abbc (乘法对加法的分配律) 那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的

41、试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，abba，这太与常识相悖了哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步,在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证 四元数的发明在方法论上也是富有启示的首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明 随之各种超复数如雨后春笋般涌现出来，另一个年轻人格拉斯曼(德 HGrassmann，18091877),也正在对复数进行着一个更大胆的推广,格拉斯曼出生于一个知识分子家庭，父

42、亲研究过神学、数学和物理学 18岁后在柏林大学学了三年神学和古典语言文学 格拉斯曼的数学成就远远走在他那个时代的前面他是一位自学成才的数学家，1832年就开始了一种新的几何演算法的研究他意识到自己工作的深远意义，到1840年已把全部精力集中到数学方面的研究1843年秋，他完成了名著线性扩张论 53岁以后逐渐离开数学，专门研究梵文,11.2.2 格拉斯曼等人的“扩张”,格拉斯曼 德 HGrassmann，18091877,1844年，格拉斯曼(HGrassmann，18091877),把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，xn)与一个x1e1x2e2xnen这样形式的结合代数相联系，

43、建立了该代数的基本单位e1，e2，en的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学 这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几乎与哈密顿齐名 1876年成了美国东方学会的成员蒂宾根大学哲学系授予他名誉博士学位,11.2.2 格拉斯曼等人的“扩张”,格拉斯曼1843年秋，他完成了名著线性扩张论的第1卷，于1844年发表可惜的是它的基本意义没有被当时人们所领会，因为其内容实在比当时的数学水平深得多，而且叙述抽象，在文中还夹杂着哲学理论和神秘的教义 1845年以后他又写了很多书和文章，将他的理论应用到物理及代数曲

44、线和曲面上，但也没有获得人们的理解 1862年他把线性扩张论修改加工，更名扩张论(Die Ausaenuangslehre)，于1862年在柏林出版,这是一种有n个分量的趋复数，下面用n=3的情况为例来说明他的思想设两个超复数=1e12e23e3，=1e1+2e2+3e3，其中i和i是实数，而e1，e2和e3是原始的或定性的单元和都是空间中的一个有向线段，i和i分别是和在各轴上的投影长度其加减法由下式定义， =(11)e1(22)e2(3+3)e3,对超复数的内积，他假设ei|ei=1，ei|ej=0，ij，和的内积 间的夹角，则 (a，b分别是，的线向量) 对超复数的外积P，他假设eiej=

45、-ejei=eij(1ij n)，eiei=0(1in)， P=(23-32)e2e3(31-13)e3e1(12-21)e1e2， 且有=-,格拉斯曼还发展了一项他称为“代数的”乘法，它遵守定律eiej=ejei，i=1，n，并导致了今天的多项式环 格拉斯曼与哈密顿(Hamilton)同时分别建立了超复数，格拉斯曼还引入了超复数的两类乘法(内积和外积)，从而建立了一种有n个分量的超复数几何学，所以他是复抽象几何学的奠基人 哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究,1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复

46、数,1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数，矩阵代数 不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数,麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析,11.2.2 格拉斯曼等人的“扩张”,就象罗巴切夫斯基的发现导致几何的解放一样，哈密顿、格拉斯曼的工作导致了代数的解放，打开了现代抽象代数的大门 在代数中，也可以像非欧几何那样，在一组人们几千年来认为是天经地义、不可动摇的代数公理系统中去掉几条或添上几条，就会得到新的代数 沿着哈密顿、格拉斯曼等人所开辟的方向，人们创建了形形色色的代数，代数学终于从传统的束缚中解放出来,布尔代

47、数,来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思维演算和逻辑的数学化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式逻辑首创关系逻辑研究,德 摩根,布 尔,施罗德,施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰,布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年和1854年布尔出版逻辑的数学分析和思维规律研究,布尔(英, 1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教科书，19世纪数理逻辑的最杰出代表 “自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理，拉格朗日解析函数论和拉普拉斯天体力学 1839年申请进剑桥大学，1844年发表“关于分析中的一般方法” 1849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，1857年英国皇家学会会员,布尔代数,代数数论,1801年高斯(德