工程力学扭转

1、第6章 扭转,6.1 扭转的概念和实例,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,6.3 纯剪切,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,本章主要内容,（1）扭矩和扭矩图；,（2） 切应力互等定理与剪切胡克定律；,（3） 圆轴扭转横截面上的应力；,（4） 圆轴扭转破坏与强度条件；,（5） 圆轴扭转变形与刚度条件,6.1 扭转的概念与实例,第6章 扭转,6.1 扭转的概念与实例,一、扭转的实例,第6章 扭转,6.1 扭转的概念与实例,受力特征：,变形特征：杆件的任意两个横截面都发生了绕着轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。,二、扭转的概念,第6章 扭转,6.1 扭转的

2、概念与实例,在杆件的两端作用的两个力偶大小相等、方向相反、而且力偶的作用平面垂直于杆件的轴线.,以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式，称为扭 转。凡是以扭转为主要变形的直杆称为轴，工程中常见的轴为圆 截面轴，它们或为实心或为空心。,6-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,一、外力偶矩的计算,Me作用在轴上的力偶矩( N m ),P轴传递的功率(kW),n轴的转速( r/min ),第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,取左侧为研究对象,二、内力的计算,1、求内力,截面法,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,在n n 截面处假想将轴截开,圆轴受扭时其横截面上的

3、内力偶矩称为扭矩。,扭矩（单位：Nm 或 KNm），用T 来表示。,取右侧为研究对象,采用右手螺旋法则,把扭矩表示为矢量，指向背离截面时扭矩为正，反之为负.,2、扭矩符号的规定,3、扭矩图（表示各截面的扭矩沿轴线变化的图形）,用平行于杆轴线的坐标 x 表示横 截面的位置；用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,扭矩图的做法：同轴力图,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,例题6-1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输入的功率为P1 =

4、 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,解:计算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 .假设 T 2为正值.,结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,Me1,Me3,Me2,同理，在 BC 段内,Me4,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,A,B,C,D

5、,同理，在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值，则 扭矩的实际符号与计算符号相同.,Me4,Me1,Me3,Me2,作出扭矩图,从图可见，最大扭矩 在 CA段内.,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,第6章 扭转,6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,6-3 纯剪切 薄壁圆筒的扭转,1.实验前,1）画纵向线，圆周线； 2）施加一对外力偶.,一、应力分析,2.实验后（变形规律）, 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间 距均未改变，只是

6、绕轴线转动了不同的角度；, 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,3、定性分析横截面上的应力,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.,4、推导公式,薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直， 指向与扭矩的转向一致.,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,二、切应力互等定理,1、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于 y 轴平行.,可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。,由平衡方程,其矩为( dy dz) dx,第6章 扭转,6.

7、3 纯 剪 切,2、 要满足平衡方程,在单元体的上、下两平面上必有大小 相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,( dy dz) dx,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,3、切应力互等定理,在相互垂直的两个平面上的切应力同时存在，且大小相等，方向共同指相（或背离）该两平面的交线.,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正 应力的状态称为纯剪切应力状态.,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,式中， r 为薄壁圆筒的外半经.,三、切应变 剪切胡克定律,由图所示的几何关系得到,纯剪切试验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，

8、切应变与切应力成正比。,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,该式称为材料的剪切胡克律.,G 剪切弹性模量,弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比的 关系,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,思考题：指出下面图形的切应变,2,0,第6章 扭转,6.3 纯 剪 切,几何方面,物理方面,静力学方面,6-4 圆轴扭转时的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,1、变形现象,1) 圆周线大小、形状

9、、间距不发生改变 ；,2) 纵向线倾斜了一定的角度，矩形网格 错动成了平行四边形网格；,一、变形几何关系,2、平面假设 变形前为平面的横截面 ，变形后仍保持为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线.,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,3、定性分析横截面上的应力,因为同一 圆周线上的切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向 ；,O1,O2,3、几何关系,倾角 是横截面圆周上任一 点A 处的切应变, d 是 b-b 截面相对于a-a 截面象刚性 平面一样绕杆的轴线转动的 一个角度.,经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度 ，它也就是横

10、截面半径上任一点E处的切应变,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,同一圆周上各点剪应力 均相同 ，且其值与 成正比， 与半径垂直.,二、 物理关系,由剪切胡克定律,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,实心圆轴,空心圆轴,三、静力关系,1、公式的建立,结论,代入物理关系中得到,式中：T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,IP 为横截面对圆心的 极惯性矩,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.,2、 的计算,r,O,T,dA,dA,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,整个圆轴上 - 等直杆：,公

11、式的使用条件：1）适用于等值的圆轴,2）弹性范围内工作,（1）实心圆截面,3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算,（2）空心圆截面,其中,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,例题6-2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.,(1) 画轴的扭矩图；,(2) 求轴的最大切应力，并指出其位置.,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,（1）画轴的扭矩图,BC段,T1+M2=0,T2+M2-M1=0,T2 =2kNm,AB段,（+）,最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kNm,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时

12、横截面上的应力,（2）求轴的最大切应力， 并指出其位置,max,最大切应力发生在截面的周边上 ，且垂直于半径.,max,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,四、强度条件,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,变截面圆轴：,等截面圆轴：,例题6-3 已知 T =1.5 KN m , =50 MPa ,试根据强度条件设计实心圆轴与=0.9的空心圆轴。,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,解：1. 确定实心圆轴直径,实心圆轴直径取54 mm,例题6-3 已知 T =1.5 KN m , =50 MPa ,试根据强度条件设计实心圆轴与=0.9的空心圆轴。,第6章 扭转

13、,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,2. 确定空心圆轴的内、外径,空心圆轴直径取77 mm,A,B,C,解：作轴的扭矩图,MA,MB,MC,分别校核两段轴的强度,例题6-4 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC 段的直径 d2=100mm. 扭转力偶矩为MA = 22 kNm，MB = 36 kNm ，MC =14 kNm . 已知材料的许用切应力 = 80 MPa，试校核该轴的强度.,因此，该轴满足强度要求.,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,例题 6-5 实心圆轴和空心圆轴（图a、b）材料、扭转力偶矩 m 和长度 l 均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之

14、比为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.,l,l,(a),(b),分析：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T .,已知：,d,d2,D2,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,因此,解得,两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比，,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.,第6章 扭转,6.4 圆轴扭转时横截面上的应力,1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的,6-5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,一、扭转变形,其中 d 代表相距为

15、 dx 的两横截面间的相对扭转角.,长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,(表示扭转变形与内力的计算式), 称作许可单位长度扭转角,3、刚度条件,2、单位长度扭转角,扭转角 GIP 称作抗扭刚度,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,扭转不变的等值轴,各段扭矩为不同值的阶梯轴,1）校核刚度,4、刚度条件的应用,2）设计截面尺寸,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,3）确定外载荷,例题6-6 图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的 剪切弹性模量G=80GPa，DB=1. 试求： （1）

16、AD杆的最大切应力； （2）扭转角 CA.,解：画扭矩图,计算外力偶矩M, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,（1）AD杆的最大切应力,（2）扭转角 CA,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,例,例题 6-8 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kNm, 材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ， 轴的许可扭角 = 2 /m . 试校核轴的强度和刚度.,第6章 扭

17、转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,解：轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内，外径之比,由强度条件,由刚度条件,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件,例 题6-9,已知：机床主轴箱内第4轴的传动示意如图，P 0.756kW， P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料为45钢，G=80GPa，=40MPa，=1.5 /m。 求: 设计轴的直径。,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件, 圆轴扭转时的强度和刚度设计,已知：机床主轴箱内第4轴的传动示意如图，P 0.756kW， P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料为45钢，G=80GPa，=40MPa，=1.5()/m。 求: 设计轴的直径。,解：1）计算外力偶矩,第6章 扭转,6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件, 圆轴扭转时的强度和刚度设计,4）刚度计算,选 D=30 mm。,第6章 扭转,6.5