微分方程历年试题

1、高数专题复习 公众号：MathXM95 微分方程微分方程 1616 年试题年试题 20已知定义在区间0,)上的非负可导函数 ( )f x满足 2 2 2 0 1( ) ( )(0) 1 x ft fxdt x t （1）判断函数( )f x是否存在极值,并说明理由； （2）求( )f x 20.（1）对条件等式两边对x求导得 2 2 2 2 1( ) 2 ( )( ), 1 1( ) 0,( )0 1 fx f x fx x fx fx x 即( )f x无驻点，故( )f x不存在极值 （2） 令( )f xy， 则由 （1） 式得 2 2 1 2 1 y yy x ， 且 0 0 x y

2、， 高数专题复习 公众号：MathXM95 即 22 21 11 y dydx yx 即 2 ln(1)arctanyxc 由 0 00 x yc 故 2arctan 1 x ye，因此 1 arctan 2 ( )(1)(0) x f xyex 1616 年试题年试题 17 已 知 函 数 2x ye是 微 分 方 程 20yyay的一个特解,求常数a的值,并求 该微分方程的通解 解： 2 2,4 xx yeye 由题意知 222 440, xxx eeae即 2 0,0 x aea 当0a 时微分方程为20yy 高数专题复习 公众号：MathXM95 其特征方程为 2 20rr，解得0,2

3、rr 所以，微分方程的通解为 2 12 x ycc e 1515 年试题年试题 1717求微分方程求微分方程250yyy满足初始条件满足初始条件 2 0 y x ，0 0 y x 的特解。的特解。 1717解解：微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 2 250rr， 解得解得12ri ， （2 2 分）分） 微分方程的通解为微分方程的通解为 12 (cos2sin2 ) x yeCxCx 12 12 (cos2sin2 ) ( 2sin22cos2 ) x x yeCxCx eCxCx 01012 2,20, xx yCyCC 解得解得 12 2,1CC 故微分方程的特解为故微分方程的特解

4、为 (2cos2sin2 ) x yexx （6 6 分）分） 高数专题复习 公众号：MathXM95 1515 年试题年试题 9 9微分方程微分方程0yxy 满足初始条件满足初始条件1 0 y x 的特解为的特解为y 。 1414 年试题年试题 8 8若由参数方程若由参数方程 lncos sec xt yat 所确定的函数所确定的函数 ( )yy x是微分方程是微分方程 x dy ye dx 的解，则常数的解，则常数 a 。 1414 年试题年试题 1818求微分方程求微分方程 22 (1)(sin)0 x dyxxy dx 满足初始条件满足初始条件 0 |=0 x y 的特解。的特解。 1

5、818解：将原方程变形为解：将原方程变形为 22 cos1 dyx dx yx 两边积分得：两边积分得： 22 cos1 dyx dx yx 即即 2 1 tanln(1) 2 yxC 高数专题复习 公众号：MathXM95 又又0 x 时，时，0y ，0C 故原方程的特解为故原方程的特解为 2 1 tanln(1) 2 yx 1313 年试题年试题 1818求微分方程求微分方程2(1)0yyk y （其中常数（其中常数0k ）的通解。）的通解。 1818由微分方程的特征方程由微分方程的特征方程 2 21=0rrk 解解 得得 1,2 244(1) 1 2 k rk ， 所以当所以当0k 时，

6、方程有两个不相等的实根时，方程有两个不相等的实根 1k和和1k； 当当0k 时，方程有唯一实根据时，方程有唯一实根据 1 1。 故当故当0k 时时， 通解为通解为 (1)(1) 12 k xk x yC eC e ； 当当0k 时，通解为时，通解为 12 () x yCC x e。 1414 年试题年试题 1010 微 积 分 方 程 微 积 分 方 程120yyy的 通 解 是的 通 解 是 y 。 1212 年试题年试题 高数专题复习 公众号：MathXM95 1616求微积分方程求微积分方程4130yyy满足初始条满足初始条 件件 0 1 x y ， 0 8 x y 的特解的特解 161

7、6解解：由微分方程的特征方程由微分方程的特征方程 2 4130rr 解得解得23ri（2 2 分）分） 所以此微分方程的通解为所以此微分方程的通解为 2 12 (cos3sin3 ) x yeCxCx （4 4 分）分） 因为因为 2 12 2 12 2(cos3sin3 ) ( 3sin33cos3 ) x x yeCxCx eCxCx 由由 01 1 x yC 及及 012 238 x yCC 解得解得 12 1,2CC， 故所求特解为故所求特解为 2 (cos32sin3 ) x yexx 1111 年试题年试题 1616求微分方程求微分方程2100yyy满足初始条件满足初始条件 00

8、0,3 xx yy 的特解。的特解。 1616解解：由微分方程的特征方程由微分方程的特征方程 2 2100rr 解得解得1 3ri （2 2 分）分） 所以此微分方程的通解为所以此微分方程的通解为 12 (cos3sin3 ) x ye CxCx 高数专题复习 公众号：MathXM95 （4 4 分）分） 2( sin33cos3 ) xx yC exex ， 由由 0 3 x y ，得，得 2 1C ， 故所求特解为故所求特解为sin3 x yex 1111 年试题年试题 2020若定义在区间若定义在区间(0, )内的可导函数内的可导函数( )yf x 满足满足( cot1)xyxxy 且且

9、 2 2 x y ， （1 1） 求函数求函数( )yf x的表达式的表达式； （2 2）证明证明：函函 数数( )yf x在区间在区间(0, )内单调递减。内单调递减。 2020 （1 1）解法一：）解法一： 1 (cot) dy xdx yx ， 11 (cot)dyxdx yx ， 即即 1 sin lnlnsinln, Cx yxxC y x 又又 2 2 |,1 x C yC 故所求函数为故所求函数为 sinx y x 。 （5 5 分）分） 高数专题复习 公众号：MathXM95 解法二：解法二： 1 (cot)0,yxy x lnsinln 1 (cot)sin xx xdxCx

10、 yCeCex x （2 2 分）分） 又又 22 ,1 2 C yC x 故所求函数为故所求函数为 sinx y x （5 5 分）分） （2 2）证：）证： 2 cossin ,( )cossin xxx yg xxxx x 令， （6 6 分）分） 则则( )cossincossing xxxxxxx 当当(0, )( )0,( )(0, )xg xg x时,所以在内单内单 调递减调递减， 因此因此， 当当(0, )x时,有有( )(0)0g xg （8 8 分）分） 由此可知，由此可知，(0, )x时, 2 ( ) 0 g x y x 高数专题复习 公众号：MathXM95 故函数故函

11、数 sinx y x 在区间在区间(0, )内单调递减内单调递减 1111 年试题年试题 8 8已知函数已知函数( )f x在在(,) 内连续，且内连续，且 2 0 1 ()2 (1( ) 2 x yft dtf x dx ， 则则y。 1010 年试题年试题 9 9微分方程微分方程5140yyy的通解是的通解是y 1010 年试题年试题 1616求微积分方程求微积分方程sin dyy x dxx 的通解。的通解。 1616解：解： 11 ( sin) dxdx xx yexedxC = = lnln ( sin) xx exedxC = = 1 (coscos)xxxdxC x = = si

12、n cos xC x xx 高数专题复习 公众号：MathXM95 0909 年试题年试题 1818求微分方程求微分方程60yyy满足初始条件满足初始条件 00 1,8 xx yy 的特解。的特解。 1818. . 【解析】因为微分方程的特征方程为【解析】因为微分方程的特征方程为 2 60,rr 解得解得 12 3,2rr . . 微分方程的通解为微分方程的通解为 32 12 xx yc ec e . . 32 12 32 xx yc ec e , , 有有 012 1 x ycc ， 012 328 x ycc ， 解得解得 1 2c ， 2 1c ， 故特解为故特解为 32 2 xx ye

13、e . . 0909 年试题年试题 1010已知函数已知函数( )f x满足满足( )( ) 1fxf x，且，且 (0)0f，则，则( )f x= =。 0808 年试题年试题 1818. .求微分方程求微分方程 sin cos x yyxe 满足初始条件满足初始条件 0 2 x y 的特解。的特解。 1818 【解析】【解析】 coscos sin xdxxdx x yeCeedx 高数专题复习 公众号：MathXM95 sinsinsinxxx eCeedx sinx eCdx sin () x eCx ， 由条件由条件 0 2 x y 有有 sin0 2(0)eCC ， 故满足初始条件

14、故满足初始条件 0 2 x y 的特解为的特解为 sin (2) x yex . . 0808 年试题年试题 1010. .微分方程微分方程 2 0 1 dyx dxx 的通解是的通解是。 0707 年试题年试题 9 9. .微分方程微分方程 2 2 40 d y y dx 的通解是的通解是y= = 0707 年试题年试题 1919. .若函数若函数( )f x在在(,) 内连续，且满足内连续，且满足 2 0 ( )2( ) x f xf t dtx ，求，求( )f x。 1919. .【解析】当【解析】当0 x 时，有时，有 0 2 0 (0)2( )0(0)0.ff t dtf 由题意知

15、由题意知( )f x可导，可导， 高数专题复习 公众号：MathXM95 等式等式 2 0 ( )2( ) x f xf t dtx 两边对两边对 x x 求导数得求导数得： ( )2 ( )2 .fxf xx 记记( )yf x，则有，则有 0 22 x yyx y =0.=0. 22 2 dxdx yexedxC 22 2 xx exe dxC 222 1 2 xxx exeeC 2 1 2 x xCe 0 11 0, 22 x yCC 故故 2 11 ( ) 22 x f xex . . 0606 年试题年试题 1818求微分方程求微分方程tanlnyxyy满足初始条件满足初始条件 6

16、x ye 的特解。的特解。 1818【解析解析】原方程可变形为原方程可变形为：cot ln dy xdx yy ， 高数专题复习 公众号：MathXM95 1 cotln lnln sin ln dy xdxyxc yy （说明：没写绝对值不扣分）（说明：没写绝对值不扣分） 化简得：化简得： sincx ye 将初始条件代入得：将初始条件代入得： 1 2 2 c eec 故所求的特解为故所求的特解为 2sin x ye. . 0606 年试题年试题 1010微分方程微分方程4450yyy的通解的通解 是是。 0505 年试题年试题 1010. .微分方程微分方程 2 22 x dx xyxe dy 的通解的通解 是是。 0505 年试题年试题 1919. .求微分方程求微分方程430yyy满足初始条件满足初始条件