计算机控制技术及应用教学课件王平谢昊飞蒋建春等编著第四章高级数字控制器分析与设计.ppt

1、网上教务指导网：请参考网上教务指导网上剩余的课件和动画材料中的教材，或直接输入以下地址：第4章高级数字控制器的分析与设计，数字控制器状态变量分析的理论基础，数字控制器的状态变量设计方法，用于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法相比，状态变量法具有以下优点：1 .使用状态变量法有利于直接使用计算机进行求解和分析。2.状态变量法不仅适用于单输入单输出系统，也适用于多变量系统。系统模型在各种条件下具有统一的形式。3.状态变量法也可用于非线性系统和时变系统的分析和设计。4.状态变量法有利于采用优化等现代分析方法，实现控制系统设计。4.1数字控制器状态变量分析的理论基础，4.1.1状态空间和状态方程。

2、通过适当的变换，上述N阶差分方程可以转化为由N个一阶差分方程组成的等价方程。后者可以用矩阵符号表示为一阶向量矩阵差分方程，从而大大简化了系统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，一方面，工程师和技术人员可以用给定性能指标的更一般的输入代替特定的典型输入(如脉冲函数、阶跃函数或正弦函数)，实现系统设计。另一方面，它还可以帮助工程师和技术人员在分析和设计系统时考虑系统的初始条件，这在经典方法中是不可用的。离散时间系统的运动可以用一个差分方程来描述：(1)。在描述系统运动的所有变量中，状态变量：必须找到最少数量的变量，这些变量足以描述物体的所有运动。(2)状态向量：如果需要N个状态变量来完全描述给

3、定系统的动态行为，由这N个状态变量形成的列向量x(k)称为系统的状态向量。(3)状态空间：状态向量X的所有可能值的集合被称为状态空间。(4)。状态方程描述系统状态变量和系统输入之间关系的一阶差分方程称为状态方程。状态方程的主要特点是：在所有被控变量中，只有一组状态变量被选择来表述方程，而其他被控变量不进入方程。(2)状态方程必须以标准形式书写。状态法的主要概念，线性稳态离散时间系统的状态方程被描述为：线性状态方程的标准形式是：输出方程的标准形式是：对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状态变量有关，因此它不是唯一的。(4.4)、(4.5)、(4.3)、(4.2)，例4.1离散时间系统用差分方

4、程描述。试着写出系统的状态方程和输出方程。选择状态变量x1(k)=y(k)，x2(k)=y(k 1)。显然，x1(k)和x2(k)满足关系x1(k 1)=x2(k)，x2(k 1)=y(k 2)，并且x1(k)和x2(k)是一组变量，其最小数量足以描述系统的整体运动。因此，它是系统的一组状态变量。从方程(4.4)和(4.5)中可以看出，系统的输入输出关系分为两个部分，即动态方程的一部分(方程4.4)描述了系统的输入和初始条件引起的系统内部状态的变化；一段代数方程(方程4.5)描述了系统内部状态变化引起的系统输出变化。4.1.2线性时不变离散系统的状态方程描述，(1)差分方程不包含输入函数的高阶

5、差分，高阶差分方程转化为状态方程y (kn) an-1y (kn-1).a1y (k1) a0y (k)=bu (k)，因此(4.6)、(4.7)，写成状态方程，如下：(4.9)、(4.8)、(2)差分方程包括输入的高阶差分因此，系统的状态方程被描述为状态方程，并且离散系统的脉冲传递函数被改变为状态方程，并且离散系统的脉冲传递函数被设置为：引入中间变量x(z)，以便期望：(4.16)、(4.19)、(4.20)、(4.21)，根据z变换的引导定理，(4.23)、(4.24)、(示例4.3)离散时间系统的脉冲传递函数是已知的，并且试图找到其状态根据方程(4.23)和(4.24)，可以立即得到它的

6、状态方程。描述是：4.1.3离散系统状态方程的求解。时域方法可以从x(0)获得，并以(4.26)、(4.25)的形式写成卷积和。使用输出方程，有系统输出。特别地，如果u0，那么方程(4.4)变成齐次状态方程：它的解是：表示，它是状态方程(4.4)的状态转移矩阵，它满足以下条件：(4.27)、(4.28)、(4.29)、(4.30)、(4.31)，并且可以被重写为方程(4.29)。状态方程改写为：系统输出为：从方程中可以看出，线性离散系统的解由两个项组成。即零输入响应零状态响应，(4.32)，(4.33)，(4.34)，2频域方法频域方法的思想是用z变换来求解状态方程(4.4)。对正方形程序(4

7、.4)的两边进行Z变换，得到：可由上述公式求解，在系统输出Z变换时，对两边进行Z逆变换，得到(4.35)、(4.36)、(4.37)、(5)，因此，有表达式4.39、(4.38)、(4.39)。对于齐次状态方程(4.28)，根据上述公式，可以计算出状态转移矩阵：x(k)=Akx(0)。本节讨论的离散系统状态方程的解是指其封闭形式的解。对于计算机求解，根据系统的初始条件和输入，利用状态方程本身可以迭代获得系统在每个时刻的状态值。这也是离散系统状态方程描述的优点之一。比较方程(4.40)和方程(4.29)，我们可以得到(4.40)、(4.41)、(4.42)，例4.4给出已知的离散系统状态方程，并

8、尝试分别用时域法和频域法求解x(k)。为了用时域方法求解上述状态方程，首先必须得到系统状态转移矩阵Ak。通过使用公式(4.26)，可以计算出x(k)。通过频域方法计算。首先，我们知道u(k)=1，k=0，1，那么它的z变换，那么，所以，从例4.4可以看出，用频域方法求离散系统状态方程的解一般比时域方法简单。4.1.4离散系统状态方程和脉冲传递函数之间的关系，如果系统有多个输入、多个输出，则每个输入和每个输出之间的关系可以用脉冲传递函数来描述，从而产生脉冲传递函数矩阵的概念。(4.43)、(4.44)，系统的状态方程分别经过z变换，由下列方程得到：(4.46)、(4.47)、(4.48)，因为脉

9、冲传递函数的定义要求初始条件为零，即x (0)=0，是，与4.50相比，得到系统脉冲传递函数矩阵。在线性代数中，我们知道(zI-a)的逆矩阵可以写成，其中det(zI-a)表示(zI-a)的行列式；Adj(zI-a)表示(zI-a)的伴随矩阵。(4.49)、(4.50)、(4.51)，系统的特征方程对应的脉冲传递函数矩阵G(z)可以从代理公式(4.51)、(4.52)、(4.53)中得到，例4.5离散系统状态方程表达式，其中，试着找出系统的脉冲传递函数矩阵。由于能控性和能观性，在状态空间的描述中，除了输入和输出，还引入了描述系统内部运动状态的状态向量。将状态向量作为系统的控制量，提出了状态能否

10、由输入量控制，能否由输出量观测的问题。实际系统的可控性和可观测性有四种可能的组合：可控观测、不可控观测、可控观测和不可控观测。可控性和可观性从两个方面揭示了控制系统的基本问题：系统的控制能力，1可控性。对于由状态方程描述的n阶系统，如果可以找到有界整数k个有限输入序列u(0)，u(1)，u(k-1)使系统从初始状态x(0)达到任何最终状态x (n)=xf，则由公式表示的系统可以被状态x(0)控制。如果系统能够控制任何初始状态，则系统在状态上被称为完全可控，或者(a，b)在状态上被称为完全可控，这被简称为系统可控性。可达性的定义：如果在一个有限的采样周期内有一个适当的控制序列，使得系统能够从任何

11、初始状态到达另一个任意指定的端点，则称该系统是完全可达的。可控性的定义：如果在一个有限的采样周期内有一个适当的控制序列，使系统能够从任何初始状态到达原点，系统就被称为完全可控。根据上面的定义，如果系统是完全可达的，那么它必须是完全可控的(可控性是通过将可达性定义中的任何指定端点指定为原点来定义的)。然而，可以反向控制的系统不一定是可以实现的。只有当状态方程中的系统矩阵A非奇异时，系统的可控性才等价于可达性。如果由公式表示的系统的阶是n，系统的初始状态是x(0)，那么在u(k)的作用下，根据公式(4.26)，Wc被称为系统的能控矩阵。控制序列的存在将系统从x(0)转移到任何终点x(n)，当左边的

12、x(n)取上述方程中的任何值时，这相当于解的存在。显然，满足这个条件的充要条件是，对于n阶系统，如果对应于n阶系统的能控性矩阵Wc的秩为n，则在控制序列u(k)的作用下，经过n个采样周期后，可以从初始状态x(0)到达任何端点，k=0，1，n-1。(4.56)，(4.57)，另一方面，对于n阶线性定常离散系统，如果它不能在控制序列下从x(0)开始并在n个采样周期后到达任何端点，则它不能在超过n个采样周期后到达端点。这是因为，如果取(n 1)个采样周期，就有，也就是说，根据凯莱-霍尔米顿定理，有，其中是特征多项式的系数.可用，也就是说，由此可以得出，AnB的每一列都是中列的线性组合，因此，显然，如

13、果没有控制序列将系统从x(0)转移到x(n)=xf，也没有序列将系统从x(0)转移到。综上所述，我们得到以下结论：线性定常离散时间系统(或系统(a，b)完全可控的充要条件是公式成立，即可控性矩阵Wc是满秩的。例4.6中已知系统状态方程x (k1)=ax (k) bu (k)。当a和b分别为下列值时，确定系统(a，b)的可控性。(1)如果，那么，因为RankWC=2，系统可以被控制；(2)如果Rankwc=12，系统无法控制。那么，2可观性。对于由状态方程(4.4)和(4.5)描述的线性时不变离散系统，如果系统的任何初始状态x(0)可以根据输出y(k)唯一地确定，k=0，1，在一个有限的采样周期内，系统被认为是完全可观测或可观测的。是系统(a，c)。系统的可观测性是讨论系统的输出y(k)与状态变量x(k)之间的关系，与输入u(k)无关。因此，u(k)0可以与输入信号无关。因此，只能研究下面的状态方程和输出方程(4.58)、(4.59)，根据方程(4.58)和(4.59)，可以得到，用矩阵表示为、(4