抛物线性质.ppt

1、抛物线的简单几何性质（一）,M是抛物线y2=2px（p0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是,焦半径及焦半径公式,抛物线上一点到焦点的距离,P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,1、抛物线的范围:y2=2px,y取全体实数,X0,抛物线的几何性质：,2、抛物线的对称性y2=2px,关于x轴对称,没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线。而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线,定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点只有一个顶点,3、抛物线的顶点y2=2px,所有的抛物线的离心

2、率都是1,4、抛物线的离心率y2=2px,基本点：顶点，焦点,基本线：准线，对称轴,基本量：焦准距p（决定抛物线开口大小）,5、抛物线的基本元素y2=2px,例1：已知抛物线y2=2x(1)设点A的坐标为(，0)，求曲线上与点A距离最近的点P的坐标及相应的|PA|的值；,(2)若题中A(2,0)，则结果如何？,例2：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.,6、焦点弦和通径,通径是焦点弦中最短的弦，通径|AB|=2p,设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,B,M分别

3、向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则,A(x1,y1),(1)|AB|x1+x2+p,(2)x1x2=,y1y2=-p2,(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切,y2=2px(p0),AM1B=Rt,A1FB1=Rt,N,练习1：已知抛物线方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k.则k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。,提出问题过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为，求证：.（焦点弦的其中一条性质）,探究1过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线AB与抛物线的两个交点A，B的纵坐标为，且，那么直线AB是否经过焦

4、点F呢？,探究2既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢?,探究3设抛物线上两动点，且满足，问AB是否恒过某一定点？,探究4设抛物线上两动点，且满足，求AB中点P的轨迹方程.,探究5设抛物线上两动点，O为坐标原点，OAOB，则直线AB是否过定点？求AB中点P的轨迹方程.,探究6设抛物线上两动点，M为该抛物线上一定点，且MAMB，则直线AB是否过定点？,探究7若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且(r为非零常数)，求证：直线AB过定点。,将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线M

5、A与直线MB的倾斜角之和为900”，即，r=1,直线AB过定点.,将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线MA与直线MB的倾斜角之和为1800”，直线AB不过定点，但可得到：,探究8若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且直线MA与直线MB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。,设计意图：培养学生研究数学问题的一般思想方法，一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。,问题(2004年北京卷理)过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于.当PA与PB的

6、斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率为非零常数.,变式1过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，若直线AB的斜率为定值，证明直线PA与PB的倾斜角互补.,设动直线AB：y=-x+b与抛物线相交于两点，问在直线MN：x=2上能否找到一定点P（坐标与b的值无关），使得直线PA与PB的倾斜角互补？,变式2,变式3如图，抛物线，过点P(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化时，探究点Q是否为定点？,练习1：如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，设线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离。,练习2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，求这个三角形的边长。,变式：已知在抛物线y=x2上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形，且顶点B是直角顶点，(1)设直线BC的斜率为k，求顶点B的坐标；(2)