插值计算与插值多项式

1、第6章插值计算与插值多项式,Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)；牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质;埃尔米特(Hermite)插值公式及余项；等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。,插值问题描述,设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。,y=f(x),y=p(x),简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x),6.1插值法的数学描述设函数y=f(x)在区间a,b上连

2、续,是a,b上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f(x)的一个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,R(x)=称为插值余项,区间a,b称为插值区间,插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插,插值的几何意义,6.2拉格朗日（Lagrange）插值为了构造满足插值条件(i=0,1,2,n)的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。6.2.1线性插值与抛物插值（1）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)在两个互异的点，的值，,现要求用线性函数近似地代替f(x)。选择参数a和b

3、,使。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。,线性插值,线性插值多项式,由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为它也可变形为显然有：,记,可以看出,的线性组合得到，其系数分别为，,称为节点,的线性插值基函数,线性插值基函数,满足下述条件,并且他们都是一次函数。,注意他们的特点对下面的推广很重要,于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合,例6.1已知,求,解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值,例6.2已知y=f(x)的函数表求线性插值多项式,并计算x=1.5的值,X13y12,解:由线性插值多项式公式得,这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3

4、个点的抛物线近似代替曲线,如下图所示。因此也称之为抛物插值。,（2）抛物插值抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式,使满足二次插值条件：,抛物插值函数,因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：求二次式,使其满足条件：,这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:是的两个零点。于是,再由另一条件确定系数,从而导出,P(x)的参数直接由插值条件决定，即满足下面的代数方程组：,该三元

5、一次方程组的系数矩阵,的行列式是范德蒙行列式，当时，方程组的解唯一。,类似地可以构造出满足条件：的插值多项式,及满足条件：的插值多项式,这样构造出来的称为抛物插值的基函数,取已知数据作为线性组合系数,将基函数线性组合可得,容易看出,P(x)满足条件,例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用抛物插值公式,求,(x0x1)(x0x2),(xx1)(xx2),y0,+,(x1x0)(x1x2),(xx0)(xx2),y1,+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),y2,p2(7)=,x0=1,x1=4,x2=9,y0=1,y1=2,y2=3,(14)(19),(74)(79),*1,+,(

6、41)(49),(71)(79),*2,+,(91)(94),(71)(74),*3,=2.7,p2(x)=,例6.4已知函数y=f(x)在节点上满足xx0 x1x2yy0y1y2求二次多项式p(x)=a0+a1x+a2x2使之满足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系数法,将各节点值依次代入所求多项式,得,解上述方程,将求出的a0,a1,a2代入p(x)=a0+a1x+a2x2即得所求二次多项式,我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x)。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn(x)，如下所

7、示：,已知n+1个节点处的函数值,求一个n次插值函数,满足,6.2.2拉格朗日插值多项式,构造各个插值节点上的基函数满足如下条件,与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式的插值问题,使其在各节点上满足,即:,由条件()知,都是n次的零点,故可设,其中为待定常数。由条件,可求得,于是,代入上式,得,称为关于基点的n次插值基函数(i=0,1,n),以n+1个n次基本插值多项式为基础,就能直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数都是n次值多项式,所以他们的线性组合,是次数不超过n次的多项式,称形如上式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为,例6.5求过点

8、(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式,解:由Lagrange插值公式,（给定的三个点在一条直线上）,例6.6已知f(x)的观测数据x0124f(x)19233构造Lagrange插值多项式,解四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为,Lagrange插值多项式为,为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式可改写成,例6.7已知f(x)的观测数据,x1234f(x)0-5-63,构造插值多项式,解:四个点可以构造三次插值多项式,将数据代入插值公式，有,这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项，但可以有缺项。,x0 x1xixi+1xn-1xn,y=f(x),y=p(x),a

9、,b,在插值区间a,b上用插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。,若记R(x)=f(x)-p(x)则R(x)就是用p(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。,6.2.3插值多项式的误差,定理设f(x)在a,b有n+1阶导数，x0,x1,xn为a,b上n+1个互异的节点,p(x)为满足p(xi)=f(xi)(i=1,2,n)的n次插值多项式，那么对于任何xa,b有插值余项,其中,ab且依赖于x,0，使得|x(a,b),由于(x)一般无法确定，因此式R(x)只能用作余项估计。如果,在区间(a,b)上有界，即存在常数,则有余项估计,对于线性插值，其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为,例6.8已知=100,=1