2025年山东省临沂市罗庄区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

2025年初中学业水平考试适应性训练数学2025.04（时间：120分钟总分：120分）注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作；2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合要求）1.下列各数：，，0，，其中比3大的数是（）A. B. C.0 D.2.剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.截至2025年3月31下午15时00分，中国电影《哪吒2》在全球票房成绩斐然，已斩获154.68亿的票房佳绩，成功跻身全球电影票房榜第五名．数据154.68亿元用科学记数法表示为（）A.元 B.元C.元 D.元4.不等式的解集是（）A. B. C. D.无解5.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A. B. C. D.6.如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（）A. B. C. D.7.为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集．训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为（）A. B. C. D.18.如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（）A. B. C. D.9.如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（）A.3 B. C. D.10.在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（）AB.若点P为“整点”，则点P的个数为3个C.若点P为“超整点”，则点P的个数为2个D.若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和小于10二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分）11.（1）因式分解：__________（2）菱形中，对角线，则菱形的高为__________（3）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值__________（4）直线：与x轴交于点A，将直线绕点A顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是__________（5）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是__________三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12.（1）计算：；（2）当时，求代数式值．13.如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点．（1）求证：是等腰三角形；（2）如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值．14.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米；③在点F处用测角仪测得，，；④用计算器计算得：，，，，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段和的长度：（2）求底座的底面的面积．15.某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）请按组距5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图：频数分布表：成绩分组____________________________划记____________________________频数____________________________（2）①这组数据的中位数是____________；②分析数据分布的情况（写出一条即可）____________；（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．16.如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．17.如图，在中，是直径，是弦，点是弧上一点，弧弧，，交于点，点为延长线上一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径长．18.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．19.在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．（1）求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；（2）时，的最小值为，求的值；（3）当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．

2025年初中学业水平考试适应性训练数学2025.04（时间：120分钟总分：120分）注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作；2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合要求）1.下列各数：，，0，，其中比3大的数是（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键．先求解，再比较即可．【详解】解：∵，∴，∴比3大的数为，故选：A．2.剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：、不是轴对称图形，该选项不符合题意；、是轴对称图形，该选项符合题意；、不是轴对称图形，该选项不符合题意；、不是轴对称图形，该选项不符合题意；故选：．3.截至2025年3月31下午15时00分，中国电影《哪吒2》在全球票房成绩斐然，已斩获154.68亿的票房佳绩，成功跻身全球电影票房榜第五名．数据154.68亿元用科学记数法表示为（）A.元 B.元C元 D.元【答案】D【解析】【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：154.68亿元元．故选D．4.不等式的解集是（）A. B. C. D.无解【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求不等式组解集的公共部分，先分别解两个不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得出答案．【详解】解：先分别解两个不等式为，其公共解为：．故答案为：C．5.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示．【详解】解：由题意，得：“卯”的俯视图为：．故选A．6.如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长．【详解】解：∵平分，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，在中，，即，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．7.为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集．训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查了概率公式，根据愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集，以及播放出表达高兴或悲伤情绪语音的结果有种，代入概率公式进行计算，即可作答．【详解】解：∵工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集．∴播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为，故选：B8.如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵半径，∴，∴，，∵，∴，∴，故选：C．9.如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（）A3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动，由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而，，∵，，∴的长度最小值为．故选：B10.在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（）A.B.若点P为“整点”，则点P的个数为3个C.若点P为“超整点”，则点P的个数为2个D.若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和小于10【答案】D【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．【详解】解：∵点在第二象限，∴，∴，故选项A错误；∵点为“整点”，，∴整数a为，，0，1，∴点P的个数为4个，故选项B错误；∴“整点”P为，，，，∵，，，∴“超整点”P为，故选项C错误；∵点为“超整点”，∴点P坐标为，∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D正确，故选：D．二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分）11.（1）因式分解：__________（2）菱形中，对角线，则菱形的高为__________（3）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值__________（4）直线：与x轴交于点A，将直线绕点A顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是__________（5）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是__________【答案】①.②.③.2④.⑤.①②【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可；（2）根据菱形的性质，利用勾股定理结合等积法求出菱形的高即可；（3）把代入方程，结合，求出的值即可；（4）根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．（5）由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②；当时，且时，最小，求出最小值即可判断③．【详解】解：（1）原式；故答案：；（2）设，的交点为，∵四边形是菱形，∴，且，∴，设边上的高为，则：，即：，∴∴菱形的高为．故答案为：．（3）∵关于x的一元二次方程的一个根是，∴，解得：；故答案为：2；（4）解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶设与y轴的交点为点B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直线绕点A顺时针旋转，得到直线，∴，∴，则点，设直线的解析式为，则，解得，那么，直线的解析式为，故答案为：．（5）由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，是等边三角形，点在边上，，，，，，，，故①正确；当时，，，，是等边三角形，，，故②正确；当时，且时，最小，，，，最小为，即能取到，故③错误；综上所述，正确的有①②，故答案为：①②．【点睛】本题考查了因式分解，一元二次方程的解，一次函数图象的变换，菱形的性质，二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，动点的图象问题等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12（1）计算：；（2）当时，求代数式的值．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，含特殊角的三角函数值的混合运算；（1）先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零次幂，再合并即可；（2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，得到化简的结果，再把代入计算即可．【详解】解：（1）；（2）；当时，原式．13.如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点．（1）求证：是等腰三角形；（2）如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线证明即可；（2）先证明是等边三角形，设，然后求出的长，再证即可求出的值．【小问1详解】解：由题意知平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴是等腰三角形；【小问2详解】解：由题意知垂直平分，∴．∵，∴为等边三角形．∴．∵，设，∴．∴．由（1）知，，，∴，．∴．∴．【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三解形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键．14.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米；③在点F处用测角仪测得，，；④用计算器计算得：，，，，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段和的长度：（2）求底座的底面的面积．【答案】（1）米；米（2）72平方米【解析】【分析】本题主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵，的长为8米，，∴，∴米；∵，∴米，∴米；【小问2详解】解：过点A作于点M，如图所示：∵，∴，∵米，∴米，∴米，∴底座的底面的面积为：平方米．15.某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图：频数分布表：成绩分组____________________________划记____________________________频数____________________________（2）①这组数据的中位数是____________；②分析数据分布的情况（写出一条即可）____________；（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．【答案】（1）见解析（2）①；②测试成绩分布在的较多（不唯一）；（3）估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．【解析】【分析】（1）根据极差和组距，可以判断组数，确定分点后，列频数分布表进行统计即可；再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来，最后从图表中观察整体的情况，得出结论；（2）①根据中位数的定义求解即可；②根据频数分布直方图即可解答；（3）用样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100最大值是100，最小值为81，极差为，若组距为5，则分为4组，频数分布表成绩分组划记频数4673频数分布直方图，如图；小问2详解】解：①中位数是；故答案为；②测试成绩分布在的较多（不唯一）；【小问3详解】解：（人），答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，求中位数等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3【解析】【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．17.如图，在中，是直径，是弦，点是弧上一点，弧弧，，交于点，点为延长线上一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即可证明是的切线；（2）连接，易得，根据直径所对的圆周角为直角，得到，勾股定理求出的长，再结合三角函数求出的长，即可解题．【小问1详解】证明：，，，，，即，，是直径，是的切线；【小问2详解】解：连接，，，，是直径，，，，，，，解得，的半径为．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角函数，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．【解析】【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）．如图，分别延长，相交于点P，∵四边形是平行四边形，∴，∴，,∵为的中点，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即为的中点，∴，∵，∴，∴，∴．（