2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等比数列{an}中，a2=2，a5A.−12 B.−14 C.2.下列求导正确的是(

)A.(x+1x)′=1+1x2 B.(xsinx)′=sinx+xcosx3.平潭岛是祖国大陆距离台湾最近的地方，岛上的龙凤头海滨浴场(沙滩玩耍或观赏日出)、猴研岛(离台湾最近地方)、长江澳风车田(日落美景)、壳丘头遗址博物馆(了解南岛语族文化)自然风光优美、文化底蕴深厚，是游客喜欢的打卡景点.某天甲、乙、丙三位同学准备从这4个景点任选一个景点游玩，则不同游玩方案的种数为(

)A.24 B.36 C.64 D.814.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(

)

A.f(x)=1x2−1 B.f(x)=ln|x|5.已知函数f(x)=ax3+3(a2−2)x+2在x=1A.−2或1 B.2或−1 C.−2 D.16.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：出生时间1965年1月−4月1965年5月−8月1965年9月−12月1966年1月−4月…改革后法定退休年龄60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月…那么1970年5月出生的男职工退休年龄为(

)A.60岁5个月 B.60岁6个月 C.61岁5个月 D.61岁6个月7.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有(    )种．A.432 B.384 C.308 D.2888.已知a=ln24，b=1e2，A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知二项式(2x−1x)n的展开式中各二项式系数和为64A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项

C.展开式的常数项为120 D.展开式中各项的系数和为110.已知椭圆x24+y2=1的左，右焦点为F1，F2，A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点(PA.△PF1F2的周长为4+23 B.存在点P使得∠F1PF2=π11.对于函数f(x)=x⋅ex，下列说法正确的是A.f(x)的最小值为−1e

B.f(x)有两个零点

C.若点P是函数f(x)图象上的动点，则点P到直线y=x−1距离的最小值为22

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知C14x=C144x−113.如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为______cm时，这个纸盒的容积最大．14.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x=lnex，x=elnx(x>0)的变形技巧，已知函数f(x)=xex，g(x)=−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2−2lnx．

(1)求f(x)的极值；

(2)证明：f(x)≤17.(本小题15分)

如图，在四梭锥P−ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°且AB=2，E，F分别为PD，PB的中点．

(1)求证：PB//平面EAC；

(2)若PB与底面ABCD所成角的正切值为2，求平面CEF与平面ABCD所成角的余弦值．18.(本小题17分)

设函数f(x)=ex−(x−1)2+a(x−1)．

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若g(x)=f(x)+(x−1)2，讨论g(x)在(0,+∞)上的单调性；

(3)19.(本小题17分)

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”.如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列a，b，c经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为Pn，所有项的乘积记为Qn．

(1)给定数列1，2，−1，回答下列问题：

①写出该数列的第一次与第二次“J延拓”后得到的数列，并求出P2与Q2的值；

②将定数列1，2，−1经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为Pn，现将P1，P2，P3，…，Pn构成数列{Pn}，求i=1ni×(Pi−1)的值；

(2)已知数列a，b，c，其中a，b，参考答案1.A

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.35

13.1

14.1

15.解：(1)对一切正整数n，点(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，

可得Sn=n2+2n，

即有a1=S1=3，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，

上式对n=1也成立，

则an=2n+1，n∈N∗；

(2)若数列{bn}满足bn=2an=22n+1，

则数列{an+bn}的前n项和Tn=(3+5+...+2n+1)+(8+32+...+22n+1)

=n2+2n+8(1−4n)1−4=n2+2n+13(22n+3−8)．

16.解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

则当x=1时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(1)=1，无极大值；

(2)证明：要证f(x)≤x2+2x−2，即证−2lnx≤2x−2，即证lnx+1x−1≥0，

设g(x)=lnx+1x−1(x>0)，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，

易知当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

则g(x)≥g(1)=0，即lnx+1x−1≥0，即得证．

17.解：(1)证明：连接BD，交AC与点O，连接EO，

因为底面ABCD是菱形，所以点O是BD的中点，

又因为E为PD的中点，所以EO//PB，

因为EO⊂平面EAC，且PB⊄平面EAC，EO//PB，

因此PB//平面EAC；

(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD上的射影为AB，

所以∠PBA为PB与底面ABCD18.解：(1)当a=0时，f(x)=ex−(x−1)2，∵f(1)=e1−(1−1)2=e，即切点为(1,e)，

∵f′(x)=ex−2(x−1)，则切线的斜率k=f(1)=e，∴切线的方程为y−e=e(x−1)，即y=ex．

(2)依题意g(x)=f(x)+(x−1)2=ex+a(x−1)定义域为(0,+∞)，∴g′(x)=ex+a，

①若a≥0，则∀x∈(0,+∞)，g(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，

②若a<0，由g(x)=0，则x=ln(−a)，当−1≤a<0时，则ln(−a)≤0，g(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a<−1时，则ln(−a)>0，0<x<ln(−a)时，g(x)<0，x>ln(−a)时，g′(x)>0，

即g(x)在区间(0,ln(−a))上单调递减，在区间(ln(−a),+∞)上单调递增，

综上所述：当a≥−1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<−1时，g(x)在区(0,ln(−a))间单调递减，在区间(ln(−a),+∞)上单调递增；

(3)∵f(0)=e0−(0−1)2+a(0−1)=−a，依题意当x≥0时，f(x)≥f(0)，

整理可得ex−(x−1)2+ax≥0(∗)，当x=0时，e0−(0−1)2+a×0=0，

∴a∈R(∗)成立①，当x>0时，(∗)可变式为a≥(x−1)2−exx成立，

设ℎ(x)=(x−1)2−exx(x>0)，等价于a≥[ℎ(x)]max--②，

∵ℎ′(x)=[2(x−1)−ex]⋅x−[(x−1)2−ex]x2=(x−1)(x+1−ex)x2，

设g(x)=x+1−ex，∵g′(x)=1−ex，∵x>0，∴ex>1⇒−ex<−1⇒1−ex<0，g′(x)<0，

则g(x)在区间(0,+∞)上单调递减，g(x)<g(0)=0+1−e0=0，

因为0<x<1时，ℎ‘(x)>0，x>1时，ℎ′(x)<0，

∴ℎ(x)在区间在(0,1)单调递增，在区间(1,+∞)在单调递减，

则[ℎ(x)]max=ℎ(1)