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2024-2025学年第二学期期中教学质量监测高二数学本试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数,则().A. B. C. D.2.已知数列是等比数列,若,,则的值为()A.16 B.4 C.-2 D.-43.已知数列满足,则数列的最小项是第()项A.5 B.6 C.7 D.84.已知函数的导函数的图象如图所示,下列说法不正确的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数处取得极小值D.函数共有两个极小值点5.如图,雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为2,把图①,图②,图③,图④中图形的面积依次记为,,,,面积的改变量,,则()A. B. C. D.6.数列满足,,其前项积为,则()A.1 B.-6 C.2 D.37.函数,当时,恒成立,则k的取值范围是()A. B. C. D.8已知函数所有极小值点从小到大排列成数列,则()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.下列函数求导错误的是()A. B.C. D.10.以下关于数列的结论正确的是()A.若数列的前项的和,则数列为等差数列B.若数列的前项的和,则数列为等比数列C.若数列满足,则数列为等差数列D.若数列满足,则数列为等比数列11.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时,方程有且只有两个实根D.若时,,则t的最小值为2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数,则在处的导数是______.13.已知等差数列的前n项和为,且,.则数列的通项公式______.14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法,用“作切线”的方法求方程的近似解.如图,方程的根就是函数的零点,取初始值,在处的切线与轴的交点横坐标为,在处的切线与轴的交点横坐标为,一直继续下去,得到、、、、,它们越来越接近.若,取,则用牛顿法得到的的近似值______,______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项,且满足.(1)求证:是等比数列,并求出的通项公式;(2)设,求数列的前项和.16.设,,,两个函数的图象如图所示.(1)判断,的图象与,之间的对应关系;(2)根据,的位置关系,写出一个关于和的不等式,并证明.17.已知函数.(1)讨论函数单调性;(2)设,若函数有两个零点,求的取值范围18.已知函数.(1)若,且是增函数,求a的最小值;(2)证明:曲线是中心对称图形;(3)若当且仅当成立,求b的取值范围.19.若,都存在唯一的实数,使得,则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明:存源数列;(2)(i)若恒成立,求的取值范围;(ii)记的源数列为,证明:的前项和.
2024-2025学年第二学期期中教学质量监测高二数学本试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数,则().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的极限定义,结合求导公式计算即得.【详解】由可得,则.故选:B.2.已知数列是等比数列,若,,则的值为()A.16 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】【分析】设数列的公比为,利用条件求得,整体代入通项,即可求得.【详解】设数列的公比为,由,解得,则故选:A.3.已知数列满足,则数列的最小项是第()项A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根据给定的递推公式,探讨数列单调性求出最小项.【详解】数列中,由,得,由,得,则当时,;当时,,即,所以数列的最小项是第6项.故选:B4.已知函数的导函数的图象如图所示,下列说法不正确的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数在处取得极小值D.函数共有两个极小值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象,判断函数的单调性和极值,对选项逐一判断即得.【详解】由图知,当或时,,当或时,,即函数和上单调递减;在和上单调递增.对于A,由上分析可知,函数在上单调递减,故A正确;对于B,函数在上单调递减,在上单调递增,故B错误;对于C,因函数在上单调递减,在上单调递增,故当时取得极小值,故C正确;对于D,因函数在上单调递减,在上单调递增,故当时取得极小值,结合C项结果可知,函数共有两个极小值点,故D正确.故选:B.5.如图,雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为2,把图①,图②,图③,图④中图形的面积依次记为,,,,面积的改变量,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图①,②,③的雪花图形的作法规律,依次求出,即可求得.【详解】由图知,,,,故.故选:C.6.数列满足,,其前项的积为,则()A.1 B.-6 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,依次求出,进而确定数列的周期,再结合周期性求解.【详解】数列中,由,得,而,则,因此数列是周期数列,周期为4,且,所以.故选:C7.函数,当时,恒成立,则k的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】变形恒成立的不等式,分离参数构造函数,利用导数求出最大值即可.【详解】,,令函数,求导得,当时,;当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,,则,所以k的取值范围是.故选:D8.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求出函数的极小值点,可得出,再利用诱导公式可求得的值.【详解】因为,则,由,即,可得,由,即,可得,所以,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,函数的极小值点为,将函数所有极小值点从小到大排列成数列,则,,易知数列为等差数列,且数列的公差为,则,因此,.故选:D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.下列函数求导错误的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可.【详解】对于A:,A选项错误;对于B:,B选项错误;对于C:,C选项正确;对于D:,D选项错误.故选:ABD.10.以下关于数列的结论正确的是()A.若数列的前项的和,则数列为等差数列B.若数列的前项的和,则数列为等比数列C.若数列满足,则数列为等差数列D.若数列满足,则数列为等比数列【答案】AC【解析】【分析】对于A,B,根据数列的前项的和与通项的关系求得数列通项,即可判断;对于C,D,利用等差中项与等比中项的概念,结合数列的项的特征即可判断.【详解】对于A,由可得,当时,,因时满足上式,且,故数列等差数列,A正确;对于B,由可得,当时,,因时,,故数列不是等比数列,故B错误;对于C,由可知,是和的等差中项,故数列为等差数列,故C正确;对于D,由可知,当都不为0时,是的等比中项,此时数列为等比数列;但当,且中至少一个为0时,等式成立,但数列不构成等比数列,故D错误.故选:AC.11.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时,方程有且只有两个实根D.若时,,则t的最小值为2【答案】BD【解析】【分析】由,得到,可判定A正确;求得,得出函数的单调区间,可判定B错误;根据函数的最小值是,可判定C正确;由函数的单调性和极值,可判定时,,可判定D错误.【详解】对于A中,由,可得,解得,所以A正确;对于B中,由,令时,可得,当时,或,所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是,所以是函数极小值,是函数的极大值,所以B错误;对于C中,当时,,根据B可知,函数的最小值是,可得函数的大致图象,所以当时,方程有且只有两个实根,所以C正确;对于D中,由B知函数的单调递减区间是,单调递增区间是,其中,当时,即在区间时,可得,所以D错误.故选:BD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数,则在处的导数是______.【答案】##【解析】【分析】求导可得,则,求出即可求解.【详解】由题意知,,令,得,解得,所以在的导数为.故答案:13.已知等差数列的前n项和为,且,.则数列的通项公式______.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为,利用等差数列的基本量运算,结合条件列出方程组,求出,即得数列通项.【详解】设等差数列的公差为,由可得,即①,由可得,即②,由①,②联立,解得,,故.故答案为:.14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法,用“作切线”的方法求方程的近似解.如图,方程的根就是函数的零点,取初始值,在处的切线与轴的交点横坐标为,在处的切线与轴的交点横坐标为,一直继续下去,得到、、、、,它们越来越接近.若,取,则用牛顿法得到的的近似值______,______.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程,可求出的值,再利用导数求出曲线在处的切线方程,可求出的值.【详解】因为,,则,且,则,所以,曲线在处的切线方程为,即,由题意可得,解得,,,所以,曲线在处的切线方程为,即,由题意可得,解得.故答案为:;.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项,且满足.(1)求证:是等比数列,并求出的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析,(2)【解析】【分析】(1)由递推关系把拆到等号两边,变成后推出即可;(2)求出数列的通项,再用错位相减法求出即可.【小问1详解】证明:所以是以为首项,为公比的等比数列.所以,所以.【小问2详解】因为,所有,,,作差可得,所以.16.设,,,两个函数图象如图所示.(1)判断,的图象与,之间的对应关系;(2)根据,的位置关系,写出一个关于和的不等式,并证明.【答案】(1)答案见解析;(2),证明见解析.【解析】【分析】(1)分别求出函数,的导函数,利用导函数的符号及大小分别判断函数增长的快慢来判断图象.(2)结合图象及(1)的结论,写出不等式并利用导数证明即得.【小问1详解】函数,,求导得,,当时,;当时,;当时,,函数,在上都是增函数,在区间上,的图象比的图象要“陡峭”;在区间上,的图象比的图象要“平缓”,所以函数,的图象依次是图中的,.【小问2详解】由(1)及图象知,,设,求导得,当时,,当时,,函数在上单调递减,在上单调递增,,所以.17.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)设,若函数有两个零点,求的取值范围【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)求导,分和两种情况讨论,根据导数的符号,即可求出函数的单调区间;(2)函数有两个零点,即方程有两个不相等的实数根,即方程有两个不相等的实数根,即直线与函数的图象有两个交点,令,求出函数的单调区间,然后画出函数的简图,结合图像即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为,,当时,,所以在上单调递减;当时,当时,,当时,所以在上单调递减,在上单调递增;综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增;【小问2详解】,函数有两个零点,即方程有两个不相等的实数根,也即方程有两个不相等的实数根,即直线与函数的图象有两个交点,令,则,当或时,,当时,,所以函数在和上单调递减,在上单调递增,所以,,当时,,且,所以,函数的图象大致如图,则的取值范围是.18.已知函数.(1)若,且是增函数,求a的最小值;(2)证明:曲线是中心对称图形;(3)若当且仅当成立,求b的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)求导,分析可知,求出可求的最小值;(2)根据题意可证,即可得结果;(3)分析可知为的一个解,即可得,结合对称性可知原题意等价于在内恒成立,设,构建函数,可得在上恒成立,求导,结合恒成立问题分析求解即可.【小问1详解】若时,,可知的定义域为,且,若是增函数,即在内恒成立,因为,当且仅当,即时,等号成立,即,则,解得,所以的最小值为.【小问2详解】因为的定义域为,且,所以图象为中心对称图形,且对称中心为.【小问3详解】因为当且仅当成立,结合(2)所得对称中心,知为的一个解,即,可得,关于点对称,根据对称性可知:原题意等价于在内恒成立
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