广东省珠海市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年第二学期期中教学质量监测高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）.A. B. C. D.2.已知数列是等比数列，若，，则的值为（）A.16 B.4 C.-2 D.-43.已知数列满足，则数列的最小项是第（）项A.5 B.6 C.7 D.84.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数处取得极小值D.函数共有两个极小值点5.如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（）A. B. C. D.6.数列满足，，其前项积为，则（）A.1 B.-6 C.2 D.37.函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D.8已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数求导错误的是（）A. B.C. D.10.以下关于数列的结论正确的是（）A.若数列的前项的和，则数列为等差数列B.若数列的前项的和，则数列为等比数列C.若数列满足，则数列为等差数列D.若数列满足，则数列为等比数列11.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则在处的导数是______．13.已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______.14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______，______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.设，，，两个函数的图象如图所示.（1）判断，的图象与，之间的对应关系；（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.17.已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）设，若函数有两个零点，求的取值范围18.已知函数.（1）若，且是增函数，求a的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当成立，求b的取值范围.19.若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.（1）证明：存源数列；（2）（i）若恒成立，求的取值范围；（ii）记的源数列为，证明：的前项和.

2024-2025学年第二学期期中教学质量监测高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得.【详解】由可得，则.故选：B.2.已知数列是等比数列，若，，则的值为（）A.16 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】【分析】设数列的公比为，利用条件求得，整体代入通项，即可求得.【详解】设数列的公比为，由，解得，则故选：A.3.已知数列满足，则数列的最小项是第（）项A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项.【详解】数列中，由，得，由，得，则当时，；当时，，即，所以数列的最小项是第6项.故选：B4.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数在处取得极小值D.函数共有两个极小值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象，判断函数的单调性和极值，对选项逐一判断即得.【详解】由图知，当或时，，当或时，，即函数和上单调递减；在和上单调递增.对于A，由上分析可知，函数在上单调递减，故A正确；对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，因函数在上单调递减，在上单调递增，故当时取得极小值，故C正确；对于D，因函数在上单调递减，在上单调递增，故当时取得极小值，结合C项结果可知，函数共有两个极小值点，故D正确.故选：B.5.如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图①，②，③的雪花图形的作法规律，依次求出，即可求得.【详解】由图知，，，，故.故选：C.6.数列满足，，其前项的积为，则（）A.1 B.-6 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，依次求出，进而确定数列的周期，再结合周期性求解.【详解】数列中，由，得，而，则，因此数列是周期数列，周期为4，且，所以.故选：C7.函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】变形恒成立的不等式，分离参数构造函数，利用导数求出最大值即可.【详解】，，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以k的取值范围是.故选：D8.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值.【详解】因为，则，由，即，可得，由，即，可得，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，函数的极小值点为，将函数所有极小值点从小到大排列成数列，则，，易知数列为等差数列，且数列的公差为，则，因此，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数求导错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可.【详解】对于A：，A选项错误；对于B：，B选项错误；对于C：，C选项正确；对于D：，D选项错误.故选：ABD.10.以下关于数列的结论正确的是（）A.若数列的前项的和，则数列为等差数列B.若数列的前项的和，则数列为等比数列C.若数列满足，则数列为等差数列D.若数列满足，则数列为等比数列【答案】AC【解析】【分析】对于A，B，根据数列的前项的和与通项的关系求得数列通项，即可判断；对于C，D，利用等差中项与等比中项的概念，结合数列的项的特征即可判断.【详解】对于A，由可得，当时，，因时满足上式，且，故数列等差数列，A正确；对于B，由可得，当时，，因时，，故数列不是等比数列，故B错误；对于C，由可知，是和的等差中项，故数列为等差数列，故C正确；对于D，由可知，当都不为0时，是的等比中项，此时数列为等比数列；但当，且中至少一个为0时，等式成立，但数列不构成等比数列，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2【答案】BD【解析】【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误.【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，令时，可得，当时，或，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以是函数极小值，是函数的极大值，所以B错误；对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，可得函数的大致图象，所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则在处的导数是______．【答案】##【解析】【分析】求导可得，则，求出即可求解.【详解】由题意知，，令，得，解得，所以在的导数为.故答案：13.已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算，结合条件列出方程组，求出，即得数列通项.【详解】设等差数列的公差为，由可得，即①，由可得，即②，由①，②联立，解得，，故.故答案为：.14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______，______.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值，再利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值.【详解】因为，，则，且，则，所以，曲线在处的切线方程为，即，由题意可得，解得，，，所以，曲线在处的切线方程为，即，由题意可得，解得.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可；（2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可.【小问1详解】证明：所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以.【小问2详解】因为，所有，，，作差可得，所以.16.设，，，两个函数图象如图所示.（1）判断，的图象与，之间的对应关系；（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.【答案】（1）答案见解析；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）分别求出函数，的导函数，利用导函数的符号及大小分别判断函数增长的快慢来判断图象.（2）结合图象及（1）的结论，写出不等式并利用导数证明即得.【小问1详解】函数，，求导得，，当时，；当时，；当时，，函数，在上都是增函数，在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”，所以函数，的图象依次是图中的，.【小问2详解】由（1）及图象知，，设，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数有两个零点，求的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间；（2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递减；当时，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】，函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，也即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，则，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以，，当时，，且，所以，函数的图象大致如图，则的取值范围是.18.已知函数.（1）若，且是增函数，求a的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当成立，求b的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值；（2）根据题意可证，即可得结果；（3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可.【小问1详解】若时，，可知的定义域为，且，若是增函数，即在内恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，即，则，解得，所以的最小值为.【小问2详解】因为的定义域为，且，所以图象为中心对称图形，且对称中心为.【小问3详解】因为当且仅当成立，结合（2）所得对称中心，知为的一个解，即，可得，关于点对称，根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立