山西省太原市2023−2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷（含解析）

山西省太原市2023−2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（

）A． B． C． D．2．已知，且∥，则实数（

）A． B．1 C． D．43．下列结论不正确的是（

）A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体4．在中，，则（

）A． B．2 C． D．5．已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（

）A． B． C． D．6．在中，点在线段上，且，则（

）A． B． C． D．7．已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（

）A． B． C． D．8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知非零复数，其共轭复数为，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数10．已知单位向量，下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则11．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A．若是直角三角形，则B．若是锐角三角形，则的取值范围是C．若，则有一解D．若有两解，则的取值范围是12．如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（

）A．直三棱柱的体积是6 B．三棱锥的体积为定值C．的最小值为 D．直三棱柱的外接球表面积是三、填空题（本大题共4小题）13．复数，则．14．已知三棱台的高为3,△ABC和分别是边长为2和4的等边三角形，则该棱台的体积为．15．已知向量，是单位向量，且，则向量在上的投影向量的坐标为．16．已知满足，则的最大值为．四、解答题（本大题共5小题）17．已知复数满足．(1)求的共轭复数；(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值．18．已知四边形中，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．19．已知单位向量的夹角是．(1)证明：点A，B，C共线；(2)求与夹角的余弦值．20．如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．(1)求此山的高OP的值；(2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．21．如图，在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，且．(1)求的大小；(2)设的平分线AD交BC于点，若，求周长的最小值．

参考答案1．【答案】B【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.故选：B.2．【答案】C【详解】因为，且∥，所以，得，故选：C3．【答案】D【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确；对于B，长方体是平行六面体，故B正确；对于C，正方体是直四棱柱，故C正确；对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形，四棱柱不一定是平行六面体，故D错误．故选：D．4．【答案】A【详解】由正弦定理可得：.因为，所以.故选：A.5．【答案】B【详解】正方形ABCD的边长为2，则原图面积S原由原图与直观图的面积关系得S直故选：.6．【答案】D【详解】因为，所以，.

故选：D.7．【答案】C【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，设内切球半径为，内切球球心为I，连接IP,IQ,IS.三角形PQS是边长为的等边三角形，由等面积法有，12×23+2故所求为V=4故选：C.8．【答案】A【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，，.故选：A.9．【答案】BC【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，设，则，故B正确；对于C，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是纯虚数，故C正确；对于D，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是实数，故D错误.故选：BC.10．【答案】ACD【详解】对于A，，故A正确；对于B，当时，不一定共线，所以不一定相等，故B错误；对于C，若，则，即，故C正确；对于D，，解得，故D正确.故选：ACD.11．【答案】BC【详解】对于A，当为直角时，，当为直角时，，所以A错误，对于B，，是锐角三角形，若为最大角时，则，所以，所以，当为最大角时，则，所以，综上，的取值范围是，所以B正确，对于C，，因为，所以，因为，所以是唯一的，所以有一解，所以C正确，对于D，，有两解，则，所以，由余弦定理得，所以，所以，解得，且，所以的取值范围是，所以D错误.故选：BC12．【答案】ABD【详解】A选项，直三棱柱中，，所以，直三棱柱的体积是，A正确；B选项，矩形的面积为，当是侧棱上运动时，为定值，又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示，连接，与相交于点，故的长即为的最小值，故最小值为，的最小值为5，C错误；D选项，将直三棱柱补形为长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球，故外接球的半径为，表面积为，D正确,故选：ABD13．【答案】【详解】复数，则.故答案为：.14．【答案】【详解】由题意得S△ABC因为棱台的高为3，所以棱台的体积为1=53故答案为：15．【答案】【详解】设，则，①，因为，所以，可得，，②，由①②解得，或，所以，或，当，向量在上的投影向量的坐标为，当，向量在上的投影向量的坐标为，综上，所以向量在上的投影向量的坐标为.故答案为：.16．【答案】【详解】因为，所以，得，因为，所以，设，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，设，则，因为，所以，所以，即，令，则点在以为圆心，为半径的圆上，令，则,因为，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上，由图可知当共线，且四点顺序依次为时，最大，最大值为，即的最大值为.故答案为：17．【答案】(1)(2)【详解】（1）．则，,.（2）由（1）得，是关于的方程的一个根，则，，，解得.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，则，，，．（2）由（1）得，∵，或，当时，则不是四边形，此时不符合题意，如图所示：当时，则是四边形，此时符合题意，如图所示：．19．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意得，，，且向量起点相同，故点A，B，C共线；（2）与夹角的余弦值为20．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，在中，因为，所以，同理，在中，，在中，由余弦定理得，所以，得，所以此山的高为．（2）由（1