山西省吕梁市2023−2024学年高一下学期期中质量检测数学试题（含解析）

山西省吕梁市2023−2024学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，若，则实数（

）A． B． C．6 D．3．已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（

）A． B． C． D．4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（

）A． B． C． D．5．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B．2 C． D．6．如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若V1=2V2，则ACBC=（

）

A． B． C． D．7．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知某圆台的体积为1423π，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（

）A． B． C．6 D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．一个多面体至少有4个面B．圆柱的母线与它的轴可以不平行C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱10．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（

）A．B．当时，C．面积的最大值为D．游览路线最长为11．已知两个非零向量，定义新运算，则（

）A．当时，B．对于任意非零向量，都有C．对于不垂直的非零向量，都有D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为．13．白银比例是指事物各部分间存在着一定的数学比例关系，其比值为，具有很好的美感，在设计与建筑领域有广泛应用．在矩形中，，从矩形中截取一个正方形，剩下的矩形的宽与长之比为白银比例，则．14．在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为，四面体ABCD的体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数满足为纯虚数，．(1)求以及；(2)设，若，求实数的值．16．在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，判断的形状并说明理由．17．如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．

(1)用向量表示；(2)求的大小．18．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．

(1)求挖掉的正三棱柱的体积；(2)求该几何体的表面积．19．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角．(1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；(2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长．

参考答案1．【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】由复数的运算法则可得，则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.2．【答案】D【详解】由，得，解得，故选：．3．【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则，所以，所以，故选：B．4．【答案】B【详解】由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，则，故选：B．5．【答案】D【详解】由，得，，向量在向量的投影向量为，则；向量在向量上的投影向量为，则，所以.故选：D.6．【答案】A【详解】分别过顶点向对边作垂线，垂足分别为点，如图所示，

设，，则CD=12b,AD=则形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，所以可得V1V2所以V1V2故选：A．7．【答案】C【详解】由，得，由，得，整理得，所以，则，设向量的夹角为，则．故选：．8．【答案】B【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径.故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，设圆台的高为，由圆台的体积为V=142得V=13r在梯形中，则BC=2-12+(2如图，由圆台性质，延长AD,BC,OO1交于点由与相似，得PCPC+BC=rR,设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则3α=2πr=2π，所以，连结，则从点到的最短路径为线段，又在中，PC=3,PA=6，∠CPA=12由余弦定理得A所以AC=6验证知，由PC=3,PA=6，得，PA2此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意.故选：B.9．【答案】AC【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确；对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误；对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确；对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误．故选：AC．10．【答案】ACD【详解】在中，由余弦定理得，所以正确；在中，由正弦定理，得错误；在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确；由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD.11．【答案】BD【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，，对于A，由上可知，则，又，所以，则，当为钝角时，，即，故A错误；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，设为非零常数，则，当时，，故C错误；对于D，因为，所以，所以，又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确，故选：BD．12．【答案】8【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，故原来的平行四边形的面积为，故答案为：8．13．【答案】/【详解】如图，由已知得，，由白银比例可知，所以，则，则，又，且，，所以.故答案为：.14．【答案】；1.【分析】勾股定理判断出为直角三角形，取BD的中点O，O为四面体ABCD的外接球的球心，可求得四面体ABCD的外接球的表面积；将四面体ABCD补成直三棱柱，根据求出体积.【详解】在四面体ABCD中，，，，，，因为，所以为直角三角形，因为，所以为直角三角形，取BD的中点O，则，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，则BD为四面体ABCD的外接球的直径，所以四面体ABCD的外接球的表面积为；将四面体ABCD补成直三棱柱，如图，，，，，所以，，所以，即，故四面体ABCD的体积为.故答案为：；1.【方法总结】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.15．【答案】(1)；(2)1或5【详解】（1）设，则，由为纯虚数，得①，且，由，得②，由①②解得，验证知，满足题意.所以.（2）由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故实数的值为1或5.16．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）在中，因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，由，所以.（2）因为，故，即，又，则，所以为等腰三角形.17．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由可知，，则，所以；又为边上的中线，所以．（2）由得，又，所以向量与的夹角为，则，由图形可知，的大小等于向量与的夹角，又，，，所以，又，所以．18．【答案】(1)(2)．【详解】（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，则，所以正三棱柱的体积．（2）在正三棱柱中，由（1）知，，，设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，有，即，令的中点为，连接，则，且，，，于是，解得，则圆锥的母线长，圆锥的底面圆面积，侧面积，三棱柱的表面积为，所以该几何体的表面积为：.

19．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设的内角的对边分别为，已