山东省日照市2023−2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题（含解析）

山东省日照市2023−2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在内，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（

）A． B． C． D．3．函数的最小正周期是（

）A． B． C．1 D．24．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（

）A．3 B．2 C．1 D．5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．6．已知向量，，若，则（

）A．或 B．或 C．或3 D．或7．的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若存在，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为（

）A．506 B．507 C．508 D．509二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A． B．可以作为平面向量的一组基底C． D．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是以为周期的函数B．函数存在无穷多个零点C．D．至少存在三个不同的实数，使得为偶函数三、填空题（本大题共3小题）12．若角的终边与单位圆相交于点，则．13．如图，在中，，，为上一点，且，若，，则．14．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，．(1)若，求实数的值；(2)求向量与夹角的正弦值．16．已知向量，，函数．(1)求函数在区间上的最值；(2)求函数在区间上的单调递增区间．17．将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．(1)求函数的解析式和对称中心；(2)若对，当时，都有成立，求实数的取值范围．18．如图，已知是的外心，，，，，．(1)判断的形状，且求时的值；(2)当时，①求的值（用含的式子表示）；②若，求集合中的最小元素．19．已知函数，其中为常数．(1)当，时，若，求的值；(2)设函数在上有两个零点，①求t的取值范围；②证明：．

参考答案1．【答案】B【详解】，而其它项对应角都不满足.故选：B.2．【答案】B【详解】由弧长公式得.故选：B.3．【答案】D【详解】函数的最小正周期是.故选：D4．【答案】A【详解】∵､､三点共线，∴，解得.故选：A.5．【答案】C【详解】由题意可得，即，又，故，即定义域为.故选：C.6．【答案】A【详解】由，则有，即，则，即有，解得或.故选：A.7．【答案】D【详解】由题意可得：，即：，即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，结合有为等边三角形，故，故，则向量在向量方向上的投影数量为.故选：D.8．【答案】B【详解】函数，对，，都有，要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，，，且，在一个周期上的最大值为4，且，取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，，，，，，，，所以的最小值为.故选：B.9．【答案】AB【详解】对于A，，A正确；对于B，不共线，可以作为平面向量的一组基底，B正确；对于C，，因此，C错误；对于D，，D错误.故选：AB10．【答案】ABD【详解】由图可得，，，解得，故A正确；又函数图象经过点，则，即，因，故，解得，故.对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；对于C，，是奇函数，故C错误；对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11．【答案】ACD【详解】对A：，故是以为周期的函数，故A正确；对B：因为的周期为，所以只需研究在区间上的正负，当时，，由且，故在上恒成立；当时，，设，则，当时，有最大值，当时，，当时，，故的最小值为，综上所述，在上的取值均大于，没有零点，故在上没有实数根，即在上没有零点，故B错误；对C：，，故，故C正确；对D：由可得的图象关于直线对称，当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，结合的周期为，可知时，为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，可知当时，为偶函数，综上所述，当时，至少存在、、三个值，使得为偶函数，故D正确.故选：ACD.12．【答案】/【详解】由三角函数定义，及已知点坐标知.故答案为：.13．【答案】3【详解】根据题意，可得，由，则，设，则，，结合，可得，故，所以，故.故答案为：.14．【答案】【详解】如图，设,则,因对任意实数都有，成立，即对任意实数都有，成立，因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,即点在以为直径的圆上，设圆心为.则，而为向量在上的射影的长.过点作，交于点，交圆于点，因则，则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）则,不妨设,则于是，，因，则，而，即的取值范围为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因，，则有由可得，，解得，；（2）因，又，故.16．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)、.【详解】（1），当时，，可得，故当时，有最小值，当时，有最大值，综上所述，的最大值为，最小值为；（2）由，令，解得，所以在上的增区间为，故在区间上的单调递增区间为与.17．【答案】(1)，对称中心为(2)【详解】（1）将向左平移后得，由为偶函数，故，又，故，即，，令，解得，即的对称中心为；（2）由，故，即，即，令，由题意可知在上为增函数，当时，，则有，解得.18．【答案】(1)为等边三角形；(2)①②【详解】（1），，则，即，故为等边三角形，由题意知的中点为，且，，，故；（2）①由为等边三角形，为外接圆的圆心，故，，，，，，，，，又，故、、分别为，，的等分点，；同理，故；②令，由，故，可以看为自变量为的一次函数，在时取得最小值，同理，由，在时取得最小值，，在时取得最小值，，故的最小值为，即集合中的最小元素为.19．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）由，