山东省青岛市二中分校2024−2025学年高一下学期3月教学质量检测 数学试题（含解析）

山东省青岛市二中分校2024−2025学年高一下学期3月教学质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设，，则等于（

）A． B． C． D．2．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度3．将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（

）A．1 B．-1 C．2 D．-24．已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（

）A．0 B．1 C． D．5．在中，，且，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．87．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（

）A．， B．，C．， D．，10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．函数关于对称 D．函数在上是增函数11．下列说法正确的是（

）A．已知向量，，且，则B．向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件C．若，、分别表示、的面积，则D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形三、填空题（本大题共3小题）12．在中，若，，，则.13．已知，，则的最大值为.14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若（，），则的值为；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）15．设向量，满足，，.(1)求向量，的夹角；(2)求.16．在平面四边形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面积为，求AC；(2)若，，求.17．已知平面向量，且，(1)若，且，求向量的坐标；(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．

参考答案1．【答案】B【详解】．故选B.2．【答案】A【解析】根据图象平移的规则，即可判断.【详解】解：，要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度.故选A.3．【答案】B【详解】因为，且，所以.故选B.4．【答案】D【详解】由题意，得，由，得，即，∴

，解得.故选D.5．【答案】C【详解】由，得，所以；又，由正弦定理得，所以是等边三角形.故选C.6．【答案】A【详解】因为点是线段的中点，则，则，因为三点共线，所以.故选A.7．【答案】D【详解】设，则.由，可得，故以为邻边的平行四边形是矩形，且，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝,又，所以.故选D.8．【答案】A【详解】因为，所以，由于在递增，所以，又由可得：，由在上恰好取得一次最大值，则，所以综合上述可得：，故选A.9．【答案】ACD【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合；对于B，，故共线，所以B不符合；故选ACD.10．【答案】BC【详解】因为在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，所以函数的最小正周期T满足，由此可得，解得；得函数表达式为，又因为当时取得最大值2，所以，可得，因为，所以取，得，所以，故A错误；，故B正确；令，所以函数关于对称，故C正确；令，解得，令，则其中一个单调增区间为.故D错误.故选BC.11．【答案】ACD【详解】对于A，由，故，故，故A正确；对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则，解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，如图设，，由得，取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心，设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知，所以，则，故C正确；对于D，如图，作的内角平分线与相交于点，因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，所以，所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确.故选ACD.12．【答案】【详解】由正弦定理，即，解得.13．【答案】【详解】解：因为，，所以，其中、，因为，所以.14．【答案】【详解】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为，则，所以，，，，，，，，，，因为，则，所以，解得，，所以；设，则，，，则，所以，当点P在线段GH上时，取最小值．15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，，所以，又，所以；（2）.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.（2）设，则，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即..17．【答案】(1)或(2)【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.【详解】（1）设，，，又，，或，或.（2）由题意得，，设与的夹角为，故，，在方向上的投影向量为.【方法总结】向量的数量积的求法：求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键；(2)根据向量数量积的运算律求解，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.18．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，由正弦定理有，所以，而，故，又，所以.（2）由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.19．【答案