福建省部分学校2023−2024学年高一下学期半期考试 数学试卷（含解析）

福建省部分学校2023−2024学年高一下学期半期考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．（

）A． B． C． D．2．复数的实部和虚部分别是（

）A．1，1 B．1， C．， D．，3．下列结论正确的是（

）A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点4．是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（

）A． B．4 C．8 D．5．在中，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的6．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（

）A．6 B． C．8 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，则（

）A． B． C． D．10．用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（

）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥11．对任意两个非零的平面向量和，定义：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（

）A．1 B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．一个棱台至少有个面．13．在中，分别在边上，且，若，则，线段与交于点，则．14．如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．16．如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积.17．在中，角，，的对边分别是，，，且，．(1)求的值；(2)若，，求的面积．18．如图.在正四棱台中，分别在棱上，且.

(1)证明：平面.(2)证明：直线交于同一点.19．在平面直角坐标系中，已知点．(1)①证明：．②证明存在点，使得，并求出的坐标．(2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标．

参考答案1．【答案】B【分析】利用向量加减运算法则计算即可得答案.【详解】易知.故选B.2．【答案】A【分析】由复数代数形式的运算化简即可.【详解】，所以复数的实部和虚部分别是1,1.故选A.3．【答案】D【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A；举反例即可判断BC；根据棱台特点即可判断D.【详解】对于A：底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误；对于B：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误；对于C：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，故C错误；

对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D.4．【答案】C【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.【详解】由题意，作出的图象可得，且，故.故选C.5．【答案】C【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算判断即得.【详解】在中，由正弦定理及，得，令，由余弦定理得，所以角为钝角，是钝角三角形.故选C.6．【答案】D【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得.【详解】对于A：，则或，故A错误；对于B：，则或，故B错误；对于C：，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故C错误；对于D：由线面平行的性质知命题正确，故D正确.故选D.7．【答案】A【分析】利用正弦定理求出，再求出边上的高即可.【详解】在中，由，得，，由正弦定理得，即，则边上的高为，所以该河流的宽度是米.故选A.8．【答案】B【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解.【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，，过点作，则，又，则，在中，，，则，此时线段中点到点的距离，即线段与相交，所以的最小值就是展开图中的长，点为与的交点，所以的最小值为.故选B.

9．【答案】BD【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断.【详解】因为，所以，故AC错误，BD正确.故选BD.10．【答案】BCD【分析】根据各几何体的特征及截面的可能情况逐一判断即可.【详解】对于A：用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件；对于B：圆柱的轴截面是四边形，则满足条件；对于C：用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则满足条件；

对于：如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以截面是四边形，则满足条件．故选BCD.11．【答案】AB【分析】由题意可得，，从而得，，分和分别求解即可.【详解】因为，设向量和的夹角为，则，由，得，则，所以，则，当时，，又，则，此时，，当时，，又，则，此时，，所以或．故选AB.【关键点拨】对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用.12．【答案】5【分析】根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解.【详解】由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有个面．13．【答案】9【分析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解.【详解】因为，所以．因为，所以，则，故．因为三点共线，所以可设．因为，所以，所以．因为三点共线，所以可设，所以，则，解得，则．14．【答案】【详解】设，则，由，得，显然，连接，由，，得，，因此的周长，显然，当，即时，，而时，，所以的周长的取值范围是.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；（2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围．【详解】（1）是纯虚数，故，解得.（2），因为在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，故的取值范围为.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积；（2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积.【详解】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.由球的表面积公式可得半球的曲面面积，由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，故该几何体的表面积；（2）由球的体积公式可得半球的体积.由圆柱的体积公式可得圆柱的体积.故该几何体的体积.17．【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；（2）由（1）的结论求出c，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，所以，而，即，又，所以；（2）由（1）知，，由余弦定理，得，整理得，而，解得，所以的面积.18．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）连接，交于，连接，利用面面平行的性质，线面平行的判定推理即得；（2）结合（1）中信息，利用平面的基本事实推理即得.【详解】（1）在正四棱台中，连接，交于，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，而，又，则，所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面；

（2）连接，依题意，，则，且，所以四边形是梯形，交于一点，令交点为，则，而平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，即直线交于同一点.19．【答案】(1)①证明见详解；②证明见详解，(2)【分析】（1）①分别求出，，，，利用向量夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，,可得，，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标；（2）