北京市第五十中学2024−2025学年高二下学期3月检测 数学试卷【含答案】

北京市第五十中学2024−2025学年高二下学期3月检测数学试卷一、单选题（本大题共10小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．与向量平行的一个向量的坐标是（

）A． B．C． D．4．若函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．5．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．6．曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（

）A． B． C． D．7．设，其中为自然对数的底数，则（

）A． B．C． D．8．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（

）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点9．函数f（x）=x2–xsinx的图象大致为（

）A． B．C． D．10．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）11．如图，直线是曲线在点处的切线，则．

12．函数，则.13．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是．14．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间为.15．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．16．已知函数，下列命题正确的有．（写出所有正确命题的编号）①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.三、解答题（本大题共5小题）17．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极值．18．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.19．已知函数，其中为常数，且．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．20．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”.(1)若函数是二次函数，证明：是“等差函数”.(2)判断函数是否为“等差函数”，并说明理由.(3)判断函数是否为“等比函数”，并说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】.故选：A.2．【答案】A【详解】由，则，所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限.故选：A3．【答案】B【详解】对于A，，A不是；对于B，，B是；对于C，，C不是；对于D，，D不是.故选：B4．【答案】B【详解】由函数的定义域，可得，令，解得，即函数的单调递增区间为.故选：B.5．【答案】A【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设异面直线与所成角为，则，故选：A6．【答案】A【详解】由，可得，又，，故在点处的切线方程为，即.令得，令得，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.故选：A.7．【答案】A【详解】令，则，当时，，单调递增，所以，即，令，则，当时，，单调递减，所以，即所以.故选：A8．【答案】C【详解】由题设，，则，又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，所以的两个零点为，由图知：存在使，综上，有三个不同零点，由图：上，上，上，上，所以在上递减，上递增，上递减，上递增.故至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.9．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项；，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，，任取，则，所以，，所以，所以函数在上为增函数，故排除C,D选项.故选A.【关键点拨】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域，奇偶性，单调性，函数零点，以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项.10．【答案】A【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A.11．【答案】1【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，根据导数的定义，可得.故答案为：1．12．【答案】【详解】令，，则，故.故答案为：13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．14．【答案】【详解】由题意，令，则其在区间上的解集为，所以f(x)的单调递增区间为.故答案为：.15．【答案】2【详解】由题可得.故答案为：2.16．【答案】①②④【详解】根据题意，依次分析四个命题：对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的；对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于③中，，令，令可得，，即方程有一根，，则方程有一根之间，所以是错误的；对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.17．【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为(2)极大值16，极小值【详解】（1）函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连接，交于点，由分别为和的中点，得，而平面平面，所以平面.（2）由直线平面，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系.则，设平面的法向量n=x,y,z则令，得，设直线与平面所成角的正弦值，则.（3），设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离19．【答案】(1)(2)答案见解析(3)（答案不唯一）【详解】（1）当时，函数．令，得，即切点坐标为．导函数．令，得，即切线斜率．故切线方程为，即．（2）函数的定义域为．导函数．讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为．②当时，令，解得．0所以函数的单调增区间为，单调减区间为．综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．（3）结合（2）的结论可知，，要使函数在上单调递减，则有，解得，任取一个值，比如.20．【答案】(1)(2)存在定点，【详解】（1）由题知，椭圆C过点和，所以，解得所以椭圆C的方程为．（2）假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，由，得，∴，∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，∴∴恒成立∴，解得∴∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．21．【答案】(1)证明见解析(2)函数不是“等差函数”，理由见解析(3)函数不是“等比函数”，理由见解析【详解】（1）令.设，，是曲线上三个不同的点.直线的斜率，因为，所以曲线在点处的切线斜率，直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”.（2）假设函数为“等差函数”.因为，且，，成等差数列，所以.直线的斜率，因为，所以曲线在点处的切线斜率