精算师练习题有参考答案2024

精算师练习题有参考答案2024选择题

1.已知某保险产品的赔付额\(X\)服从正态分布\(N(1000,200^2)\)，则赔付额在\(800\)到\(1200\)之间的概率为（）

A.\(0.6826\)

B.\(0.9544\)

C.\(0.9974\)

D.\(0.5\)

答案：A。对于正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu=1000\)，\(\sigma=200\)，\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=P(1000-200<X<1000+200)=P(800<X<1200)\)，根据正态分布的性质，\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826\)。

2.某保险公司有\(10000\)份独立的人寿保险单，每份保险单在一年内的死亡概率为\(0.005\)，则一年内死亡人数不超过\(60\)人的概率近似为（）（利用中心极限定理）

A.\(\varPhi(2)\)

B.\(\varPhi(1)\)

C.\(\varPhi(1.414)\)

D.\(\varPhi(2.236)\)

答案：D。设一年内死亡人数为\(X\)，\(X\simB(n,p)\)，其中\(n=10000\)，\(p=0.005\)，\(\mu=np=10000\times0.005=50\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10000\times0.005\times(1-0.005)}=\sqrt{49.75}\approx7.05\)。\(P(X\leqslant60)\approx\varPhi\left(\frac{60-50}{7.05}\right)\approx\varPhi(1.414)\)。

3.已知损失分布的概率密度函数\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，则损失分布的均值为（）

A.\(\frac{1}{3}\)

B.\(\frac{2}{3}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

答案：B。根据均值公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，对于本题\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。

4.某保险产品的保费计算公式为\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，其中\(X\)为赔付额，已知\(E(X)=500\)，\(Var(X)=10000\)，\(k=0.2\)，则保费\(P\)为（）

A.\(520\)

B.\(540\)

C.\(560\)

D.\(580\)

答案：A。将\(E(X)=500\)，\(Var(X)=10000\)，\(k=0.2\)代入公式\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，可得\(P=500+0.2\times\sqrt{10000}=500+0.2\times100=520\)。

5.已知两个随机变量\(X\)和\(Y\)，\(Cov(X,Y)=-10\)，\(Var(X)=25\)，\(Var(Y)=16\)，则\(X\)和\(Y\)的相关系数\(\rho_{XY}\)为（）

A.\(-0.5\)

B.\(-0.4\)

C.\(0.4\)

D.\(0.5\)

答案：A。根据相关系数公式\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)，将\(Cov(X,Y)=-10\)，\(Var(X)=25\)，\(Var(Y)=16\)代入可得\(\rho_{XY}=\frac{-10}{\sqrt{25\times16}}=\frac{-10}{20}=-0.5\)。

6.设某险种的损失次数\(N\)服从参数为\(\lambda=3\)的泊松分布，则\(P(N=2)\)为（）

A.\(\frac{9}{2e^{3}}\)

B.\(\frac{4}{2e^{3}}\)

C.\(\frac{9}{e^{3}}\)

D.\(\frac{4}{e^{3}}\)

答案：A。泊松分布的概率质量函数为\(P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，当\(\lambda=3\)，\(k=2\)时，\(P(N=2)=\frac{3^{2}e^{-3}}{2!}=\frac{9}{2e^{3}}\)。

7.已知某风险的损失金额\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1-e^{-0.01x},&x\geqslant0\end{cases}\)，则\(P(X>100)\)为（）

A.\(e^{-1}\)

B.\(1-e^{-1}\)

C.\(e^{-0.1}\)

D.\(1-e^{-0.1}\)

答案：A。\(P(X>100)=1-P(X\leqslant100)=1-F(100)=1-(1-e^{-0.01\times100})=e^{-1}\)。

8.某保险公司承保了\(n\)份独立同分布的保险单，每份保险单的赔付额\(X_i\)的均值为\(\mu\)，方差为\(\sigma^{2}\)，则\(n\)份保险单赔付总额\(S=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的均值和方差分别为（）

A.\(n\mu\)，\(n\sigma^{2}\)

B.\(\mu\)，\(\sigma^{2}\)

C.\(n\mu\)，\(\sigma^{2}\)

D.\(\mu\)，\(n\sigma^{2}\)

答案：A。根据期望和方差的性质，\(E(S)=E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=n\mu\)，\(Var(S)=Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)=n\sigma^{2}\)（因为\(X_i\)相互独立）。

9.已知损失分布的矩母函数\(M_X(t)=\frac{1}{1-2t}\)，\(t<\frac{1}{2}\)，则损失分布的均值为（）

A.\(1\)

B.\(2\)

C.\(3\)

D.\(4\)

答案：B。对矩母函数\(M_X(t)\)求一阶导数\(M_X^\prime(t)=\frac{2}{(1-2t)^{2}}\)，令\(t=0\)，可得\(E(X)=M_X^\prime(0)=2\)。

10.若随机变量\(X\)服从参数为\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)的伽马分布，则\(E(X)\)和\(Var(X)\)分别为（）

A.\(6\)，\(18\)

B.\(6\)，\(6\)

C.\(2\)，\(6\)

D.\(2\)，\(2\)

答案：B。对于伽马分布\(X\simGamma(\alpha,\beta)\)，\(E(X)=\alpha\beta\)，\(Var(X)=\alpha\beta^{2}\)，当\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)时，\(E(X)=2\times3=6\)，\(Var(X)=2\times3^{2}=18\)。

11.某保险业务在某一年度的保费收入为\(1000\)万元，赔付支出为\(600\)万元，费用支出为\(200\)万元，则该业务的赔付率和费用率分别为（）

A.\(60\%\)，\(20\%\)

B.\(20\%\)，\(60\%\)

C.\(40\%\)，\(20\%\)

D.\(20\%\)，\(40\%\)

答案：A。赔付率\(=\frac{赔付支出}{保费收入}\times100\%=\frac{600}{1000}\times100\%=60\%\)，费用率\(=\frac{费用支出}{保费收入}\times100\%=\frac{200}{1000}\times100\%=20\%\)。

12.已知某风险的损失分布的分位数函数\(F^{-1}(p)\)，当\(p=0.9\)时，\(F^{-1}(0.9)=500\)，则意味着（）

A.有\(90\%\)的损失小于等于\(500\)

B.有\(10\%\)的损失小于等于\(500\)

C.有\(90\%\)的损失大于等于\(500\)

D.损失的均值为\(500\)

答案：A。分位数函数\(F^{-1}(p)\)的定义为，若\(F^{-1}(p)=x\)，则\(P(X\leqslantx)=p\)，所以当\(p=0.9\)，\(F^{-1}(0.9)=500\)时，有\(90\%\)的损失小于等于\(500\)。

13.设\(X\)和\(Y\)是两个相互独立的随机变量，\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，则\(Z=2X+Y\)服从的分布为（）

A.\(N(4,25)\)

B.\(N(4,13)\)

C.\(N(3,25)\)

D.\(N(3,13)\)

答案：A。若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)与\(Y\)相互独立，则\(aX+bY\simN(a\mu_1+b\mu_2,a^{2}\sigma_1^{2}+b^{2}\sigma_2^{2})\)。这里\(a=2\)，\(b=1\)，\(\mu_1=1\)，\(\sigma_1^{2}=4\)，\(\mu_2=2\)，\(\sigma_2^{2}=9\)，\(E(Z)=2\times1+2=4\)，\(Var(Z)=2^{2}\times4+9=16+9=25\)，所以\(Z\simN(4,25)\)。

14.某保险产品的纯保费是根据损失分布的均值来确定的，已知损失分布的概率密度函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5},&0<x<5\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，则纯保费为（）

A.\(2\)

B.\(2.5\)

C.\(3\)

D.\(3.5\)

答案：B。根据均值公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{5}x\cdot\frac{1}{5}dx=\frac{1}{5}\times\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{5}=\frac{25}{10}=2.5\)，所以纯保费为\(2.5\)。

15.已知某风险的损失金额\(X\)满足\(E(X)=100\)，\(Var(X)=25\)，采用标准差原理确定保费\(P\)，安全系数\(k=0.1\)，则保费\(P\)为（）

A.\(100.5\)

B.\(101\)

C.\(101.5\)

D.\(102\)

答案：A。根据标准差原理\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，将\(E(X)=100\)，\(Var(X)=25\)，\(k=0.1\)代入可得\(P=100+0.1\times\sqrt{25}=100+0.5=100.5\)。

填空题

16.若随机变量\(X\)服从参数为\(n=10\)，\(p=0.3\)的二项分布，则\(E(X)=\)____，\(Var(X)=\)____。

答案：\(3\)，\(2.1\)。对于二项分布\(X\simB(n,p)\)，\(E(X)=np=10\times0.3=3\)，\(Var(X)=np(1-p)=10\times0.3\times(1-0.3)=2.1\)。

17.已知某损失分布的分布函数\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{10},&0\leqslantx<10\\1,&x\geqslant10\end{cases}\)，则\(P(3<X<7)=\)____。

答案：\(0.4\)。\(P(3<X<7)=F(7)-F(3)=\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=0.4\)。

18.设随机变量\(X\)的矩母函数\(M_X(t)=(1-3t)^{-2}\)，\(t<\frac{1}{3}\)，则\(E(X)=\)____，\(Var(X)=\)____。

答案：\(6\)，\(18\)。先对\(M_X(t)=(1-3t)^{-2}\)求一阶导数\(M_X^\prime(t)=6(1-3t)^{-3}\)，令\(t=0\)得\(E(X)=M_X^\prime(0)=6\)；再求二阶导数\(M_X^{\prime\prime}(t)=54(1-3t)^{-4}\)，令\(t=0\)得\(E(X^{2})=M_X^{\prime\prime}(0)=54\)，\(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=54-36=18\)。

19.某保险业务的综合赔付率为\(80\%\)，费用率为\(20\%\)，则该业务的综合成本率为____。

答案：\(100\%\)。综合成本率\(=\)综合赔付率\(+\)费用率\(=80\%+20\%=100\%\)。

20.若随机变量\(X\)和\(Y\)的联合概率密度函数\(f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<1,0<y<x\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，则\(E(X)=\)____。

答案：\(\frac{2}{3}\)。\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dydx=\int_{0}^{1}x\left(\int_{0}^{x}2dy\right)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}\)。

21.已知某风险的损失次数\(N\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(N=0)=e^{-2}\)，则\(\lambda=\)____。

答案：\(2\)。因为泊松分布\(P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，当\(k=0\)时，\(P(N=0)=e^{-\lambda}\)，由\(P(N=0)=e^{-2}\)可得\(\lambda=2\)。

22.设损失金额\(X\)服从指数分布，其概率密度函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，已知\(E(X)=500\)，则\(\theta=\)____。

答案：\(500\)。对于指数分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta\)，已知\(E(X)=500\)，所以\(\theta=500\)。

23.某保险公司承保的一组风险中，每份保险单的期望赔付额为\(200\)元，标准差为\(50\)元，共承保了\(100\)份独立的保险单，则这\(100\)份保险单赔付总额的期望为____元，标准差为____元。

答案：\(20000\)，\(500\)。设每份保险单赔付额为\(X_i\)，\(E(X_i)=200\)，\(Var(X_i)=2500\)，\(n=100\)。赔付总额\(S=\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(E(S)=nE(X_i)=100\times200=20000\)，\(Var(S)=nVar(X_i)=100\times2500\)，\(\sqrt{Var(S)}=\sqrt{100\times2500}=500\)。

24.已知随机变量\(X\)和\(Y\)的相关系数\(\rho_{XY}=0.5\)，\(Var(X)=4\)，\(Var(Y)=9\)，则\(Cov(X,Y)=\)____。

答案：\(3\)。根据\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)，可得\(Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{Var(X)Var(Y)}=0.5\times\sqrt{4\times9}=3\)。

25.某保险产品的费率厘定采用纯保费法，已知纯保费为\(150\)元，附加费用率为\(20\%\)，则毛保费为____元。

答案：\(180\)。毛保费\(=\frac{纯保费}{1-附加费用率}=\frac{150}{1-0.2}=180\)元。

判断题

26.若随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立，则\(Cov(X,Y)=0\)。（）

答案：正确。根据协方差的性质，若\(X\)和\(Y\)相互独立，则\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0\)。

27.泊松分布的均值和方差相等。（）

答案：正确。对于泊松分布\(X\simPoisson(\lambda)\)，\(E(X)=\lambda\)，\(Var(X)=\lambda\)。

28.风险的度量指标只有方差和标准差。（）

答案：错误。风险的度量指标除了方差和标准差，还有半方差、在险价值（VaR）、条件在险价值（CVaR）等。

29.若损失分布是对称的，则均值和中位数相等。（）

答案：正确。对于对称分布，其均值、中位数和众数通常是相等的。

30.保险费率厘定中，纯保费只考虑了损失的期望。（）

答案：正确。纯保费是根据损失分布的均值（期望）来确定的，不考虑附加费用等其他因素。

31.随机变量\(X\)的矩母函数存在，则其概率分布唯一确定。（）

答案：正确。矩母函数和概率分布是一一对应的关系，若矩母函数存在，则可以唯一确定随机变量的概率分布。

32.二项分布的参数\(n\)越大，其分布越接近正态分布。（）

答案：正确。根据中心极限定理，当\(n\)足够大时，二项分布\(B(n,p)\)近似服从正态分布\(N(np,np(1-p))\)。

33.赔付率越高，说明保险公司的经营效益越好。（）

答案：错误。赔付率越高，意味着保险公司的赔付支出占保费收入的比例越大，通常经营效益越差。

34.若\(X\)和\(Y\)是两个随机变量，\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)一定成立，与\(X\)和\(Y\)是否独立无关。（）

答案：正确。期望具有线性性质，即对于任意两个随机变量\(X\)和\(Y\)，\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。

35.损失分布的分位数\(F^{-1}(p)\)是关于\(p\)的单调递减函数。（）

答案：错误。损失分布的分位数\(F^{-1}(p)\)是关于\(p\)的单调递增函数。

计算题

36.已知某风险的损失金额\(X\)服从参数为\(\theta=2\)的指数分布，求：

（1）\(X\)的概率密度函数和分布函数；

（2）\(P(X>3)\)；

（3）\(E(X)\)和\(Var(X)\)。

答案：

（1）指数分布的概率密度函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，当\(\theta=2\)时，\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)。

分布函数\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\begin{cases}0,&x\leqslant0\\1-e^{-\frac{x}{2}},&x>0\end{cases}\)。

（2）\(P(X>3)=1-P(X\leqslant3)=1-F(3)=1-(1-e^{-\frac{3}{2}})=e^{-\frac{3}{2}}\approx0.2231\)。

（3）对于指数分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta=2\)，\(Var(X)=\theta^{2}=4\)。

37.某保险公司承保了\(500\)份独立同分布的保险单，每份保险单在一年内的索赔概率为\(0.02\)，设\(X\)为一年内的索赔次数，利用中心极限定理近似计算\(P(8\leqslantX\leqslant12)\)。

答案：\(X\simB(n,p)\)，其中\(n=500\)，\(p=0.02\)，\(\mu=np=500\times0.02=10\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{500\times0.02\times(1-0.02)}=\sqrt{9.8}\approx3.13\)。

\(P(8\leqslantX\leqslant12)\approx\varPhi\left(\frac{12-10}{3.13}\right)-\varPhi\left(\frac{8-10}{3.13}\right)=\varPhi(0.64)-\varPhi(-0.64)=2\varPhi(0.64)-1\)。

查标准正态分布表得\(\varPhi(0.64)\approx0.7389\)，所以\(P(8\leqslantX\leqslant12)\approx2\times0.7389-1=0.4778\)。

38.已知随机变量\(X\)和\(Y\)的联合概率密度函数\(f(x,y)=\begin{cases}3x,&0<y<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求：

（1）\(E(X)\)和\(E(Y)\)；

（