2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义

2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义专题解读二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.解题方法二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等典例、（2024南京中考25题）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上．(1)当取最小值时，____________．(2)用含的代数式表示．(3)已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)（且）(3)【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键．（1）将顶点代入函数中，将函数转化为，求出的最小值；（2）将代入，得出的代数式；（3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论．【详解】（1）解：∵二次函数的顶点在上，∴，∴设二次函数为，当取最小值时，，，二次函数的图象经过点，，故答案为：；（2）∵图象经过点，∴，化简得：；（3）①当开口向上时，，∴，∴，∴∵，∴，解得：，∵，∴；②当开口向下时，∴或．当时，此时，，不合题意，当时，此时，，不合题意，综上所述：．变式、（2024南京模拟预测）已知函数．(1)若函数图象经过点，求m的值；(2)若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标；(3)若函数满足时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为，．求证：．【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，正确理解题意，化简计算是解题的关键．（1）将代入即可求解；（2）分类讨论，若是一次函数，求出解析式，再令求解；若是二次函数，求出解析式，再令求解；（3）由题意得，对称轴为，解得：，则函数为，当，则，则，，，，再代入化简证明即可．【详解】（1）解：由题意得，把点代入得，解得：；（2）解：当时，，则当，解得：，∴；当时，则，解得：，∴函数，则当，，解得：∴，综上：或；（3）证明：由题意得，对称轴为，解得：，∴函数为：，∵图象与x轴的两个交点为，∴当，则，则，∴，∴，∴，同理，∴，∵，∴，∴，∴．1．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．(1)的值为______；(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．2．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数．(1)直接写出该函数图象的对称轴．(2)求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴．(3)点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围．3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）．(1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)设该函数图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m的值．4．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数过点．(1)用含m的代数式表示n；(2)求证：该函数的图像与x轴总有公共点；(3)若点在该函数图像上，且当时，总有．直接写出m的取值范围．5．（2025·江苏南京·模拟预测）数、形二法“战”不等式！(1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②．解不等式组①，得，解不等式组②，得．所以，不等式的解集是．(2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是．6．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．(1)；(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为．7．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数．(1)如果直线经过二次函数图象的顶点，求此时的值；(2)随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由；(3)将该二次函数以为对称轴翻折后的图象过点（a未知，b为常数），求原函数与轴的交点纵坐标．8．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）．(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．9．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数）(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数）(1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点；(2)该函数一定经过两个定点，分别是，；(3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围．11．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．(1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标；(2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围．12．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．(2)已知二次函数（为常数）．①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．13．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）．(1)当时，求该函数的图象的顶点坐标；(2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；(3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．14．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)已知点．①若函数图象恰好经过点，求的值；②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．15．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（a为常数且）．(1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．①直接写出a的取值范围；②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．16．（2024·江苏南京·模拟预测）在二次函数中．(1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个公共点(2)当时，的最小值为，则的值为________．(3)当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是________．17．（2024·江苏南京·一模）已知二次函数．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且，求证(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．18．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？【理解a的几何意义】（1）图①是二次函数（a，h，k为常数，）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：

（2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则．（用只含s，t，p，q的式子表示）【运用a的几何意义】（3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示）参考答案1．(1)1；(2)见解析；(3)或．【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系；（1）由图像过点，得，即可求解；（2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解；（3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解；掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系：是解题的关键．【详解】（1）解：图像过点，，；故答案：；（2）解：由（1）得，，，，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，；（3）解：由（1）得，整理得：，方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根，，令，画出图象如图所示：由图象得：或，∵方程有一个正根和一个负根，∴，则有同理由图象求得，或，综上：a的取值范围为：或．2．(1)对称轴为直线；(2)见解析(3)当或时，；或时，．【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意得，抛物线对称轴是直线，即可得解；（2）依据题意，令，从而可得或，故该函数图象与轴的两个交点为，，又，则，从而，进而可以判断得解；（3）依据题意，对称轴是直线，又点、在该函数图象上，故可得，，进而再根据和分别讨论计算可以得解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）证明：由题意，令．或．该函数图象与轴的两个交点为，．，．．，．．该函数图象与轴的两个交点均在正半轴；（3）解：由题意，对称轴是直线，又点、在该函数图象上，，．①当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远，．若，．．此时．若，．．此时．综上，时，．当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近，．若，．．此时．若，．．此时．综上，或时，．②当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远，．此时，，不合题意．当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近，．此时，．时，．综上所述，当或时，；或时，．3．(1)见解析(2)或【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键．（1）令，则，根据，作答即可；（2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可．【详解】（1）证明：令，则，∴，∴该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）解：令，则，即，∵，∴，∵的面积与的面积相等，∴，即或，解得或，∴或．4．(1)(2)见详解(3)或【分析】（1）把点代入得，，化简即可；（2）令，则，解得：，即可证明；（3）先求出抛物线的对称轴，然后确定一定也在抛物线对称轴的左侧，取和关于抛物线对称轴的对称点，，则，，当在抛物线对称轴左侧时，；当在抛物线对称轴右侧时，，分别求解即可．【详解】（1）解：把点代入得，，化简得：；（2）解：令，则，即，，解得：，∴此方程必有实数根，∴该函数的图象与x轴总有公共点；（3）解：抛物线的对称轴直线为：，，在抛物线对称轴的左侧，，，一定也在抛物线对称轴的左侧，取和关于抛物线对称轴的对称点，，，，当在抛物线对称轴左侧时，有：，，当在抛物线对称轴右侧时，有：，，综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点与坐标的关系，函数图像与x轴交点问题，二次函数的性质，对称点，以及解一元一次不等式和不等式组，难度较大，熟练掌握知识点，借助于数形结合的思想是解题的关键．5．(1)，，或(2)或【分析】本题考查了本题考查二次函数与不等式（组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．（1）解不等式组即可得到结论；（2）根据函数图象可以直接写出不等式的解集．【详解】（1）解：①，解第一个不等式得，解第二个不等式得，则解不等式组①，得，②，解第一个不等式得，解第二个不等式得，解不等式组②，得．所以，不等式的解集是或；故答案为：，，或；（2）解：由图象知，不等式的解集是或，故答案为：或．6．(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得；（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证；（3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：将代入得：，将代入得：，∴，∴，故答案为：．（2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为，∴这个一元二次方程没有实数根，∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点．（3）解：由（1）已得：，∴，将点代入得：，∴，二次函数化成顶点式为，∴其对称轴为直线，顶点坐标为，设点关于对称轴的对称点为点，则，∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．则分以下两种情况：①如图，当点在点左侧时，，即，此时在图形内，随的增大而减小，∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，∴，即，令，则当时，，解得或，∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），∴此时的取值范围是；②如图，当点在点右侧时，，即，此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，∴，即，令，则当时，，解得或，∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），∴此时的取值范围是；综上，的取值范围是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．(1)或2；(2)顶点是在抛物线的图象上(3)原函数与轴的交点纵坐标为【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把一般式化为顶点式，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先把化为，则．再把代入，进行计算即可作答；（2）根据顶点的坐标为，可设，故，得出，据此即可作答；（3）先根据原抛物线的顶点的坐标为，且为对称轴翻折后的图象过点，所以，据此求解即可．【详解】（1）解：，点．又点在直线的图象上，，解得或2；（2）解：顶点是在抛物线的图象上．理由如下：顶点的坐标为，可设，故，，二次函数图象的顶点是在抛物线的图象上；（3）解：原抛物线的顶点的坐标为，又为对称轴翻折后的图象过点，，解得，原函数与轴的交点纵坐标为．8．(1)见解析(2)，且【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质．（1）证明判别式即可；（2）先求出坐标，求出，再根据二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，得出抛物线的顶点到轴的距离小于2，解不等式即可．【详解】（1）证明：，，，，∴不论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个公共点；（2）令，则，，，，，，，∴到轴的距离为2，∵该二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，∴二次函数的顶点到轴的距离小于2，即，解得，且，∴的取值范围为，且．9．(1)①③(2)或【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据

得对称轴是直线，判断②；③令，则，，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③；（2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，，，解得，或当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，，，解得，或当时，得，解得，即可．【详解】（1）①∵二次函数（m为常数），∴当时，该函数的图像开口向上，正确．②∵

∴该函数的图像的对称轴是直线，不正确．③令，则，∴函数的图像一定经过，∵，两点关于对称轴对称，∴函数的图像一定经过，两点，正确．故答案为：①③．（2）解：∵点在函数图像上，∴的对称点为，若，∵当时，y随x增大而增大，∴，∵，∴当时，，∴，，∴，∴；或当时，，∴，不合；若，∵当时，y随x增大而减小，∴，∴当时，，∴，，∴，∴；或当时，，∴，不合．综上，或．10．(1)证明见解析；(2)，；(3)的取值范围为或．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（）根据二次函数与一元二次方程的联系即可求解；（）先令，然后解一元二次方程即可；（）根据图象分情况即可；【详解】（1）证明：由，∵，∴，∴该二次函数图像与轴有两个公共点；（2）解：，当时，都有，∵，∴或，该函数一定经过两个定点，分别是，，故答案为：，；（3）解：如图，时，不少于两个交点，如图，当经过时，，解得：，∴当时，不少于两个交点，综上可知：的取值范围为或．11．(1)，顶点的坐标为(2)或【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．（1）把点代入，即可求解；（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：将点代入得：，解得：，，图象顶点的坐标为．（2）解：一次函数的图象经过点，，，，点在一次函数的图象上，．点在二次函数的图象上，，，，即，令，当时，，解得：，，抛物线与轴交点为和，抛物线开口向上，的解为：或，的取值范围是或．12．(1)任意值(2)①或；②或【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、一次函数与二次函数交点问题、二次函数的图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．（1）联立函数解析式与函数解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式，即可获得答案；（2）①联立直线解析式与抛物线解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式可得，然后根据函数的图像与性质，即可获得答案；②联立抛物线解析式与，可得关于的一元二次方程，解该方程可得，，结合抛物线与线段只有一个公共点，易得或，求解即可获得答案．【详解】（1）解：联立函数解析式与函数解析式，可得，整理可得，∵，∴方程有两个不相等的实数根，即无论取何值，均有函数的图像与函数的图像有两个不同交点，∴取值范围为任意值；（2）①联立直线解析式与抛物线解析式，可得，整理可得，∵，令，解得，，对于函数，∵，∴该函数图像开口向上，∴当或时，可有，∴若直线与抛物线有两个不同交点，则取值范围为或；②联立抛物线解析式与，可得，整理可得，解得，，∵抛物线与线段只有一个公共点，∴可有或，解得或．13．(1)(2)(3)或或【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.（1）把代入，求出顶点坐标即可；（2）把变形为,即可求出定点坐标；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围.【详解】（1）解：当时，，∴函数的图象的顶点坐标；（2）解：，∴当时,，当时,,当时,,∴该函数的图象总经过点和；（3）∵二次函数的对称轴为，∴点的对称点坐标为，当时,∵二次函数的对称轴为，∴点在线段上，即，∴；当时,点在抛物线内，即时,,则满足题意，此时,解得，故；若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根，∴解得，综上所述，m的取值范围为或或．14．(1)对称轴为(2)①；②或【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键．（1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解；（2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解．【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则，∵点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上，∴，∴该函数图象的对称轴为，∴对称轴为；（2）解：①∵二次函数图象的对称轴为，∴，∵二次函数图象过点，∴，∴，∴，解得，；②根据题意，，∴二次函数解析式为，∴当时，，即顶点坐标为；当时，，即二次函数与轴的交点为；当时，，解得，；∴当时，如图所示，

∴点在二次函数图象上，∴，解得，，∴当时，二次函数与线段只有一个交点；当，如图所示，

∴点在二次函数图象上，∴，解得，，∴当时，二次函数与线段只有一个交点；综上所示，的取值范围为：或．15．(1)见详解(2)①或；②当时，当时，函数的图像与函数没有交点；当时，函数的图像与函数有1个交点；当或时，函数的图像与函数有2个交点；当时，函数的图像与函数有3个交点；当时，函数的图像与函数有4个交点．当时，当时，函数的图像与函数没有交点；当时，函数的图像与函数有1个交点；当或时，函数的图像与函数有2个交点；当时，函数的图像与函数有3个交点；当时，函数的图像与函数有4个交点．【分析】（1）令，得到一元二次方程，证明即可；（2）①当，，则与x轴交于，由或，得或；②讨论和的情况，逐个画图，找临界状态即可，重点在于画出函数的图像．【详解】（1）解：当，则，，∵，∴，∴不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）①当，，∴与x轴交于，∵或，∴或；②当时，第一种情况，直线经过时，得，∴时，函数的图像与函数有一个交点，如图示：

第二种情况：时，函数的图像与函数没有交点；第三种情况：直线经过时，则，此时有3个交点，如图示：

第四种情况：当时，有2个交点，如图示：

当直线与函数相切时，有2个交点，如图示：

联立直线与函数得，∴，由得：，∴第五种情况：时，直线与函数有2个交点；第六种情况：当，有4个交点，如图示：

第七种情况：当时，有2个交点，如图示：

综上，当时，当时，函数的图像与函数没有交点；当时，函数的图像与函数有1个交点；当或时，函数的图像与函数有2个交点；当时，函数的图像与函数有3个交点；当时，函数的图像与函数有4个交点．当时，同理可求：当时，函数的图像与函数没有交点；当时，函数的图像与函数有1个交点；当或时，函数的图像与函数有2个交点；当时，函数的图像与函数有3个交点；当时，函数的图像与函数有4个交点．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴交点问题，与直线的交点问题，与不等式的关系，题目综合性强，难度大．16．(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用方程的来证明即可；（2）分“当时”、“当时”、“当时”，三种情况计算讨论，得出答案即可；（3）根据二次函数对称轴公式，结合点，两点纵坐标相等可知，对称轴，结合，，列不等式求出的各