高考数学复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质配套理

第4讲直线、平面平行判定与性质1/31考纲要求考点分布考情风向标1.了解以下判定定理.◆假如平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆假如一个平面内两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.2.了解以下性质定理，并能够证实.◆假如一条直线与一个平面平行，那么经过该直线任一个平面与此平面交线和该直线平行.◆假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线相互平行.3.能利用公理、定理和已取得结论证实一些空间图形位置关系简单命题新课标Ⅱ第18题考查线面平行及几何体体积计算；新课标Ⅲ第19题考查线面平行证实及体积运算；新课标Ⅰ第6题考查线面平行判定1.在高考中，线、面平行关系考查仅次于垂直关系考查，是高考重点内容，在要求上不高，属轻易题，平时训练难度不宜过大，抓好判定定理掌握与应用即可.2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”相互转化，切记处理问题根源在“定理”2/31直线与平面位置关系在平面内无数个交点相交1个交点平行

0个交点定义若一条直线和平面平行，则它们没有公共点判定定理1aα，b⊂α，且a∥b⇒a∥α判定定理2α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l3/31平面与平面位置关系相交无数个交点平行

0个交点定义若两个平面平行，则它们没有公共点判定定理1a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β判定定理2a⊥α，a⊥β⇒α∥β性质定理1α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理2α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b(续表)4/311.设AA′是长方体一条棱，这个长方体中与AA′平行)C棱共有( A.1条

C.3条B.2条D.4条5/312.以下命题中，正确是()D

A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b任何平面

B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内任何直线平行

C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b

D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

解析：依据线面平行判定与性质定理知，选D.6/313.以下命题中，正确命题个数是()A

①若直线l上有没有数个点不在平面α内，则l∥α； ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都平行； ③假如两条平行直线中一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行； ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都没有公共点.A.1个B.2个C.3个D.4个7/314.已知直线l，m，n及平面α，以下命题中假命题是()DA.若l∥m，m∥n，则l∥nB.若l⊥α，n∥α，则l⊥nC.若l⊥m，m∥n，则l⊥nD.若l∥α，n∥α，则l∥n8/31考点1直线与平面平行判定与性质

例1：(1)(年新课标Ⅰ)在以下四个正方体中，A，B为正方体两个顶点，M，N，Q为所在棱中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行是()ABCD9/31

解析：由B图知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C图知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D图知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故选A.答案：A10/31

(2)如图8-4-1，A，B为正方体两个顶点，M，N，P分别为其所在棱中点，能得出AB∥平面MNP图形序号是________(写出全部符合要求图形序号).图8-4-111/31

解析：如题图①，∵MN∥AC，NP∥AD，∴平面MNP∥平面ADBC.∴AB∥平面MNP.如题图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP交线.∴AB∥NQ.∵N为AD中点，∴Q为BD中点.但由M，P分别为如题图③，∵BD与AC平行且相等，∴四边形ABDC为平行四边形.∴AB∥CD.又∵M，P为棱中点，∴MP∥CD.∴AB∥MP.从而可得AB∥平面MNP.如题图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD.∵M为BC中点，∴D为AC中点，显然与题设条件不符，∴得不到AB∥平面MNP.答案：①③12/31

【规律方法】证实直线a与平面α平行，关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b，假如没有现成平行线，应依据条件作出平行线.有中点常作中位线.13/31

【互动探究】

1.(年山东济南模拟)在如图8­4­2所表示三棱柱ABC-A1B1C1

中，过A1B1平面与平面ABC交于DE，则DE与)AB位置关系是( A.异面

C.相交图8-4-2 B.平行

D.以上都有可能14/31解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1

平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1

平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案：B15/31考点2平面与平面平行判定与性质

例2：如图8-4-3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC中点.求证： 图8-4-3 (1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.16/31证实：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB中点.∵E，F分别是SA，SB中点，∴EF∥AB.又∵EF平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理，FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，AF⊂平面SAB，且AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB⊂平面SAB，AF⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.17/31

【规律方法】证实平面与平面平行，就是在一个平面内找两条相交直线平行于另一个平面，从而将面面平行问题转化为线面平行问题.18/31

【互动探究】

2.(年浙江杭州模拟)设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出以下条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β条件是()A.①②B.②③C.②④D.③④19/31解析：①中条件得到两个平面α，β，也可能相交，故①不正确；②由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，故②正确；③中α⊥γ，β⊥γ，可得α与β相交或平行，故③不正确；④a⊥α，b⊥β，a∥b，得a⊥β，则α∥β，故④正确.故选C.答案：C20/31考点3线面、面面平行综合应用

例3：如图8-4-4，已知有公共边AB两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

图8-4-421/31

证实：方法一，如图8-4-5(1)，连接AQ并延长交BC于G，连接EG，则AQQG＝DQQB.又PQ平面CBE，EG⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.(1)(3)

(2)图8-4-522/31方法二，如图8-4-5(2)，分别过P，Q作PK∥AB，QH∥

∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ， ∴PK＝QH. ∴四边形PQHK是平行四边形. ∴PQ∥KH.

又PQ平面CBE，KH⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

23/31

方法三，如图8-4-5(3)，过点P作PO∥EB，交AB于点O，连接OQ，∴平面POQ∥平面CBE.又∵PQ平面CBE，PQ⊂平面POQ，∴PQ∥平面CBE.24/31

【规律方法】证实线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行.方法一是作三角形得到；方法二是经过作平行四边形得到在平面内一条直线KH；方法三利用了面面平行性质定理.25/31【互动探究】3.(年安徽)已知m，n是两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，则以下命题正确是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面26/31

解析：若α，β垂直于同一平面，则α，β能够相交、平行，故A错误；若m，n平行于同一平面，则m，n能够平行、相交、异面，故B错误；若α，β不平行，但平面α内会存在平行于β直线，如平面α中平行于α，β交线直线，故C错误；其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.故选D.答案：D27/31难点突破⊙立体几何中探究性问题一例题：在如图8-4-6所表示多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1

都为矩形.图8-4-6(1)若AC⊥BC，求证直线BC⊥平面ACC1A1；

(2)设D，E分别是线段BC，CC1中点，则在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证实你结论.28/31(1)证实：∵四边形

ABB1A1和

ACC1A1

都是矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.∵AB，AC为平面ABC内两条相交直线，∴AA1⊥平面ABC.∵直线BC⊂平面ABC，