2023-2024学年河北省承德市高二下学期4月联考数学试题及答案

试题PAGE1试题河北省重点高中高二4月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章～第七章第2节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数在处的导数为2，则（）A． B．2 C． D．2．《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．9种3．已知随机变量X服从两点分布，且，则（）A． B． C． D．4．设是函数的导函数，则的图象可能是（）A． B． C． D．5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个数字a，b，c，d，e，记由这5个数字组成的无重复数字的五位数为，其中满足的五位数的个数为（）A．126 B．756 C．1260 D．75606．函数，则下列结论错误的是（）A．在区间上不单调 B．有两个极值点C．有两个零点 D．在上有最大值7．某机构拟对其所管辖的6个部门中的4个部门的负责人进行调整，被调整的4人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（）A．135种 B．200种 C．270种 D．360种8．设，，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．若B，C互斥，则B．C．若，则D．若，则10．2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A．若A与B相邻，则有48种不同站法B．若C与D不相邻，则有24种不同站法C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法11．已知函数的定义域为R，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．方程（且）的解为______．13．已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是______．14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G.Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”，由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知二项式（且a为常数）的展开式中第7项是常数．（1）求n的值；（2）若该二项式展开式中各项系数之和为1024，求展开式中的系数．16．（本小题满分15分）已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求函数的极值．17．（本小题满分15分）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为．（1）求小张第二天中午吃米饭的概率；（2）记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列．18．（本小题满分17分）设函数，其中e为自然对数的底数．求证：（1）当时，；（2）．19．（本小题满分17分）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”．经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数图象的对称中心．根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数．（1）当时，试求的对称中心；（2）讨论的单调性；（3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求m的值．河北省重点高中高二4月联考·数学参考答案、提示及评分细则1．A．故选A．2．D依题意，每个人选择方案都有3种，所以两个人不同的选择方案有种，故选D．3．B由随机变量X服从两点分布，得，又，所以．故选B．4．C由，得，或由，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，由图知，只有C选项的图象符合，故选C．5．B第一步：从9个数中任取5个数，有种取法；第二步：将取出的5个数中最大的放中间数位，从余下的4个数字中取2个排在一端，余下的排在另一端，共有种排法，所以符合条件的五位数有个，故选B．6．C，显然在和上，在上，故在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，为的极小值点，且，，时，，时，，所以有三个零点，所以ABD正确，C错误，故选C．7．A先从6人中选出不作调整的两个，有种，再把余下的4部门负责人调整到其他部门，假设4个部门为A，B，C，D，对应的4位原负责人分别为a，b，c，d，则a可以调整到B，C，D中的任一部门，有3种情况，假设a分到B部门，则b也有3种情况，剩下的两人有1种情况，故有种情况，所以调整方案共有种，故选A．8．D构造函数，则，令，，所以当时，，所以在上单调递减，故当时，，所以当时，，所以在上单调递增，所以，又，所以．故选D．9．AD若B，C互斥，则，A正确；条件概率的性质与其他概率的性质一样，概率范围应该为，B错误；若A，B互斥，则，此时，但不一定成立，C错误；若，则，所以，D正确，故选AD．10．ACD若A与B相邻，则有种不同站法，A正确；若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误；若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确；若A不在最左边，D不在最中间，则有种不同站法，D正确，故选ACD．11．BD令，所以，因为，所以，所以在R上单调递增，所以，即，故AC错误，BD正确，故选BD．12．2或4由题意，可知，，所以或．13．因为函数在定义域上单调递增，所以恒成立，即恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以实数m的取值范围是．14．因为，因此是展开式项的系数，而的展开式中项的系数为，所以．15．解：（1）二项式的展开式中第7项为，由题意得，解得．（2）令，得，所以或，解得，或（舍去）．该二项式展开式通项为，令，解得，故展开式中的系数为．16．解：（1）函数的定义域为R，，所以，又，故在点处的切线方程为，即．（2）令，则，解得，．所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极大值；当时，取得极小值．17．解：（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，，由题意可知与对立，与对立，由全概率公式，得，即小张第二天中午吃米饭的概率为．（2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2．则，，，所以X的分布列为X012P18．证明：（1）要证，只需证，令，，所以，所以在上单调递增，，所以，即当时，．（2）由（1）知当时，，即，要证，只要证，即证．令，，令，则．当时，，单调递减；当x∈(1,+∞)时，，单调递增，所以，所以．所以，所以．19．解：（1），，，令，解得，，故的对称中心为．（2），令，则，，当时，，恒成立，所以函数在R上单调递增；当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减；当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减