2023-2024学年河北省保定市六校联盟高一下学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题第页，共页六校联盟2024年4月期中联考高一数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量和的夹角为，，，则等于（）A.15 B.12 C.6 D.33.在中，，，，则角B的值为（）A. B. C. D.4.平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与夹角为45°，则的大小为（）A. B.5N C. D.5.灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米6.如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（）A B.C. D.7.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（）A B.4 C. D.8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.，B.若（a，），则C.若，，则最小值为1D.若是关于x的方程（p，）的根，则10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.的最大值为6C.若，则 D.若，则11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.正八面体内切球的表面积为B.正八面体外接球的体积为C.若点为棱上的动点，则的最小值为D.若点为棱上的动点，为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为纯虚数，则实数的值为_______．13.已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________.14.已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．（1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；（2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．16.如图，在四边形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的长度；（2）求BC的长度.17.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.（1）求A；（2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．19.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求角与；（2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；（3）若点为的重心，且，求的面六校联盟2024年4月期中联考高一数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C2.已知向量和的夹角为，，，则等于（）A.15 B.12 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积运算求解即可.【详解】∵向量和的夹角为，，，∴.故选：B3.在中，，，，则角B的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据正弦定理即可求解.【详解】在中，，，，由正定理得：，由于，所以故选：A4.平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（）A. B.5N C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可．【详解】由题意得，，所以，故选：C．5.灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【答案】B【解析】【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求．【详解】设米，在中，，则，在中，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B6.如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解.【详解】正三棱柱中，设，取AC中点D，连接BD，则BD⊥AC，BD＝，，正三棱柱的体积，平面ABC，BD平面ABC，则BD，又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面，，则四棱锥的体积．故选：B．7.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用三角形的面积公式、向量法求得边上的中线长度.【详解】设是的中点，连接.依题意，在中，，设，由余弦定理得，所以为钝角，所以，所以，，两边平方得，所以.故选：D8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求外接圆半径，将置于圆中，利用图形线段关系得到，结合数量积的运算律及已知求得，进而求最值．【详解】由题设，外接圆的半径，如下图，由，则，令，且，又，，所以，则，当，即时，有最小值.故选：D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.，B.若（a，），则C.若，，则最小值为1D.若是关于x的方程（p，）的根，则【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算，即可判断A；举反例即可判断B；设，根据复数的模的计算公式结合的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，列出方程组求解，即可判断D．【详解】对于A，，设复数，则，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，，，由得，，所以，，所以，由得，，故当时，的最小值为1，故C正确；对于D，因为是关于x的方程（p，）的根，所以，即，所以，解得，故D正确；故选：ACD．10.已知向量，，则下列说法正确是（）A.若，则 B.的最大值为6C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】由平面向量平行的坐标表示建立方程即可判定A；由模的坐标表示和三角函数的有界性可判断B；由平面向量垂直的坐标表示结合平方关系计算即可判断C；由平面向量数量积的运算计算可判断D．【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；对于B，，（其中，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，，所以，故D正确．故选：ABD．11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.正八面体内切球的表面积为B.正八面体外接球的体积为C.若点为棱上的动点，则的最小值为D.若点为棱上的动点，为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法求得正八面体内切球半径，即可判断A；利用正八面体的对称性得出正方体的中心即为外接球球心，即可判断B；通过将两个侧面翻折共面后即可得出当共线时，取得最小值；由向量数量积的运算律得出，根据的范围即可得出的取值范围．【详解】对于A，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，解得，故它的内切球表面积为，故A项正确；对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由题可知，四边形是正方形，，在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则，所以正八面体外接球的体积为，故B错误；对于C，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形，连接与相交于点，此时，则取得最小值为，故C正确；对于D，由A可知正八面体的内切球半径为，，由上述可知，，当为棱的端点时，取得最大值，即，当为棱的中点时，取得最小值，即，所以得取值范围为，故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为纯虚数，则实数的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.【详解】因为为纯虚数，则，解得.故答案为：.13.已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________.【答案】【解析】【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，设，由，得，故，即，故，故答案为：14.已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求得，和的关系式，继而根据三角形面积公式求得，进而表示出，然后利用基本不等式求得的最小值，根据的表达式求得其最大值．【详解】由余弦定理得，，由面积公式，，，，，即，又，当且仅当时取等号，的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分.需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．（1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；（2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【答案】（1）作图见解析，4；（2），．【解析】【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.【小问1详解】在直观图中，，，则在平面图形中，，，于是，所以平面四边形的平面图形如下图所示：

由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．【小问2详解】直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；圆锥的高为，母线长为，所以体积；所以表面积.16.如图，在四边形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的长度；（2）求BC的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用平方关系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【小问1详解】因为，，，，所以，，由于，又，∴，∴，则，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.【小问2详解】在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.（1）求A；（2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.【小问1详解】根据题意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，则，因为，所以.【小问2详解