陕西省西安市莲湖区2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1陕西省西安市莲湖区2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题注意事项：1．答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（）A.9 B.20 C. D.【答案】D【解析】因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：．故选：D.2.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为，即．故选：C.3.已知函数的导函数为，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因为，即，所以.故选：C.4.被8除所得的余数为（）A.1 B.2 C.0 D.5【答案】A【解析】，因为能被8整除，所以被8除所得的余数为1．故选：A.5.在高台跳水运动中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水面的高度（单位：米）满足关系式，当时，的平均变化率是米/秒，则当时的瞬时变化率是（）A.米/秒 B.15米/秒 C.米/秒 D.25米/秒【答案】C【解析】由题意可得，解得，则，从而，故.故选：C6.从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（）A.60种 B.80种 C.90种 D.150种【答案】B【解析】当甲被选中时，不同的选派方案有种；甲没被选中时，不同的选派方案有种.故满足条件的不同的选派方案有种.故选：B.7.已知函数的部分图象如图所示，f'x为的导函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率，表示曲线在处的切线斜率，表示，两点连线的斜率，由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大，所以，对比选项可知，D正确.故选：D.8.在展开式中，形如的所有项的系数之和是（）A.256 B. C.1512 D.【答案】D【解析】形如的所有项，即展开式中所有项，令，得的所有项的系数之和是，故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数求导正确的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC.10.已知，若，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】令，得，解得，故A正确；所以，令，得，令，得，所以，故B正确；展开式的第项（且），所以，故C错误；令，则，设，则，令，得，又，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（）A.1 B. C.3 D.【答案】AB【解析】由题意可得，则.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.因，所以，当且仅当时，等号成立，则，故.故选：AB.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为______．【答案】10【解析】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为．13.已知函数，则______.【答案】3【解析】因为，所以，则，解得，则，故.14.某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有______种.【答案】59【解析】第一种情况：小明参加了足球兴趣班和篮球兴趣班，共有种方案.第二种情况：小明只参加了一种球类兴趣班，则小明参加的另一种兴趣班为美术或象棋中的一种，共有种方案.故小明参加兴趣班的不同方案有种.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种产品的加工需要经过6道工序．（1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序?（2）若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序?（3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序?解：（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法，再将其余4道工序全排列，有种不同的排法，由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．（2）先排这3道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法，由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序.（3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档，再将这3道工序插入空档，有种不同的排法，由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序.16.已知函数在定义域内不单调，（1）求a的取值范围；（2）若，求在上的值域．解：（1）函数的定义域为，求导得，由在内不单调，得关于x的方程在内有根，则，即a>0，所以a的取值范围是.（2）由及（1）知，得，，由，得；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，因此，而，所以在上的值域为．17.已知．（1）求；（2）指出，，，⋯，中最大的项．解：（1）令，得，令，得，所以；（2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大．展开式的通项，由，得，因为，所以或6．故中最大的项为．18.已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求经过点与曲线相切的切线方程．解：（1）由题意可得，①，所以，②由①②解得，经验证，当时，在左右异号，成立.（2）设切点为，则，①由导数的意义可得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程为，又点在切线上，所以，②联立①②，化简消去可得，解得或1，代入函数可得切点为，当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即，综上，经过点与曲线y=fx相切的切线方程为或.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：方程至多只有一个实数解．解：（1）因为函数，，所以，当时，，单调递减；当时，由，得，解得，单调递增；由，得，解得，单调递减；当时，由，得无解；由，得恒成立，单调递减；；当时，，单调递减；当时，由，得，解得；由，得，解得，综上：当时，在上单调递增；在上单调递减；当时，在R上是减函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，由于，故不满足恒成立；当时，单调递减，又，故不满足恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，要使得恒成立，则，即，所以，解得，综上，实数的取值范围为；（3）设，，则，①当时，恒成立，令得，则时，，单调递增；时，，单调递减，所以，此时函数无零点，即方程无实根；②当时，令得，，（i）当时，恒成立，所以在上单调递增，又，此时函数有唯一的零点，