山东省部分学校2025届高三3月模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省部分学校2025届高三3月模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合，得，所以.故选：C.2.设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；反之，当时，不一定为函数的极值点，比如，，满足，但在上单调递增，即不是函数的极值点，故是为函数的极值点的必要不充分条件，故选：B3.已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以在方向上的投影向量为．故选：C．4.已知，，则（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】依题意，，若，则，而，与矛盾，得到，，所以，则，即，故A正确.故选：A5.已知等比数列的前n项积为，若，则（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】根据题意，等比数列的前n项积为，则，所以.故选：B．6.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，点在圆锥的中截面圆上，它到平面距离的最大值即为该截面圆半径，而的面积，所以三棱锥体积的最大值为.故选：C7.在平面直角坐标系中，定义：，其中，.若，且，则下列结论错误的是（）A.若关于x轴对称，则B.若关于直线对称，则C.若，则D.若，，则【答案】C【解析】对于A，因关于x轴对称，且，，则，于是，，同理，，即，故A正确；对于B，因关于直线对称，且，，则，则，同理，.取函数，显然该函数在上为增函数，由，且，可得，则有，因，故有，即，故B正确；对于C，因，，由可得：，则有，若取，满足上式，但此时，，，则，由上分析，，故，故C错误；对于D，设点，则，即，而，因，故得，即点，即得，故D正确.故选：C.8.若为的任意排列，设，，则（）（已知表示中最小的数，表示中最大的数）A.排列总数为个 B.满足的排列有80个C.的概率小于 D.的概率为【答案】D【解析】对于A，的任意排列方法总数为个，故A错误，对于B，若，则先从中随机选出3个数，共有种不同的方法，再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法，则满足的排列有个，故B错误；对于C，D，因为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以共有10种不同的情况，则的概率为，故C不正确；而的情况有种，故的概率为，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，函数，则下列说法正确的有（）A.当时，函数为增函数 B.点为函数图象的对称中心C.存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D.函数至少有一个零点【答案】BD【解析】由题意，，，因为对，有，所以点为函数图象的对称中心，故B正确；函数的导函数，，当时，恒成立，此时函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；当时，，则方程有唯一解，当时，，当时，，所以函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；③当时，由，得，即，因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，此时，函数有两个极值点，又时，，时，，所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点；综上所述，当时，函数为减函数，故A错误，当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确；故选：BD.10.定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（）A.对任意，都有B.若是复数的共轭复数，则恒成立C.若，则D.对任意，结论恒成立【答案】BD【解析】对于A，根据定义，当时，，故A错误；对于B，由题意得，所以，故B正确；对于C，若，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到，故C错误；对于D，设，，，则，，，又，，所以，即，故D正确.故选：BD.11.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则数列是无界的B.若，则数列是有界的C.若，则数列是有界的D.若，则数列是有界的【答案】BCD【解析】对于选项A：因为，所以，所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故A错误；对于选项B：因为，所以，所以，所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故B正确；对于选项C：因为，所以当时，；当时，；所以，所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故C正确；对于选项D：因为，所以，又，所以，所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的极值点与的零点完全相同，则______.【答案】【解析】由辅助角公式得，由，得记为①，对于，由，得，依题意，所以记为②，由于函数的极值点与的零点完全相同，对比①②可得.故答案为：13.已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为______.【答案】【解析】如图（一），，.又，.如图（二），建立平面直角坐标系，则，，，设点.，化简得：（，）.则圆心为，，点关于BC的对称点.故答案为：.14.某棋手与机器人比赛，规则如下：棋手的初始分为20.每局比赛，棋手胜加10分，平局不得分，棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.在挑战过程中，棋手每胜局，获奖1万元.记局后比赛终止且棋手获奖2万元的概率为，则的最大值为_________.【答案】【解析】终止条件：

当棋手分数为0或30时，比赛终止.获奖2万元意味着棋手在局中赢了2局.得分计算：初始分20分，赢2局加20分，输局扣分，平局不影响分数.总分需为0或30：总分0分：

，平局次数为；总分30分：

，平局次数为.下面进行分析，并为方便起见用X表示棋手负，用Y表示棋手胜，用表示若干局的平局.第一类情况：总分0分后终止比赛.

赢2局，输4局，平局，但中间不能出现0分或30分，只能是的顺序，中间可以有若干局平，组合数为（).第二类情况：总分30分后终止比赛.

赢2局，输1局，平局，但中间不能出现0分或30分，只能是的顺序，中间可以有若干局平，组合数为().第一类情况中的每一种情况的概率：第二类情况中的每一种情况概率：.时，令,化简得.由于,所以上述不等式左边小于零，右边大于零，所以上述不等式恒成立.所以对于恒成立，所以时的最大概率：所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列各项均为正数，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.解：（1）因为，又，所以，即，由题意得，于是，而，即是以1为首项，1为公差的等差数列，从而，即，因此，而满足上式，故.（2）由（1）知，则，因此，则，显然数列单调递减，于是，则，故.16.已知双曲线，该双曲线的右顶点为，点在的渐近线上，过B的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点.（1）若的面积为，求的方程；（2）证明：线段的中点为定点.（1）解：首先，我们把记为①，显然直线的斜率存在，设的方程为记为②，①②联立得：．则有记为③，记为④，如图，设，则记为⑤，记为⑥，把⑤⑥代入：，所以，得到，解得．满足③④式，则直线的方程为．（2）证明：设，不妨设．则直线⑦，联立①⑦得：，则，则；同理：．而，，又三点共线，则有，则，得到，即，由中点坐标公式得的中点为定点．17.已知函数，.（1）判断的零点个数；（2）记的零点为，证明：.（1）解：首先，我们得到定义域为，当时，，所以在上无零点，当时，因为，所以在上单调递增，则在上至多一个零点，当时，有唯一零点1，当时，因为，，则，由零点存在性定理得函数有唯一零点，综上可得函数有唯一零点.（2）证明：由题意知，且，两边取自然对数，得，先证明：时，记为（***），设，则，所以当时，，单调递减：当时，，单调递增，则，当且仅当时，等号成立．由（***）式知，，则，得到，即，故．（***）式中，令，得，当且仅当，即时等号成立，而，则，即，得到，，当且仅当时等号成立．当时，在（***）式中，令，得，所以时，．当时，成立．故得证．18.为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分.（1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；（2）现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为.①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列；②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望.解：（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12，，，，，所以的分布列为04812.（2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12，，，，，所以的分布列为04812②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为，则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，在甲选手已通过测试的条件下概率如下：，，，，，，，，，，所以的分布列为04812141822242832由于甲选手通过测试的概率为，所以总得分的期望为.19.求三角形面积的最大值解：设,,,其中，，如图所示..设平面的法向量,则,令，则，所以平面的一个法向量为.平面的一个法向量为,.三角形面积公式：,设..记,则因为,所以,所以.当时，或，此时.所以设，则，所以函数在上单调递增，所以，所以当时三角形面积的最大值：.根据对称可知，当或时也同样取得最大值.20.证明：.证明：如图，在前侧