2025年江苏省苏州市昆山市晨曦中学等多校中考数学第一次联考试卷

第1页（共1页）2025年江苏省苏州市昆山市晨曦中学等多校中考数学第一次联考试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×1032．（3分）下列运算结果正确的是（）A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x23．（3分）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．42° B．48° C．52° D．60°4．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（）A．16 B．20 C．24 D．285．（3分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、EA．π﹣1 B．π2-1 C．π-16．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定7．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABCA．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）8．（3分）已知二次函数y＝mx2+nx（m≠0），经过点A（c，4）．当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，则如下四个值中有可能为c的是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝．10．（3分）若单项式2xm﹣1y2与单项式13x2yn+1是同类项，则m11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为．12．（3分）如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．若AD=13AO，则△ABC与△DEF的位似比为13．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．14．（3分）若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是．15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为．16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．将抛物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则PA+55三、解答题（本大题共有8小题，共82分）17．（5分）计算：2sin60°+218．（5分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．19．（6分）解分式方程：3x20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE+BF＝BC．21．（6分）为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格50≤x＜55，良好55≤x＜60，优秀x≥60），下面给出了部分信息：10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．抽取的A、B型铁观音亩产量统计表B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图型号AB平均数5656中位数56b众数a57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝．（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？22．（6分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为，是事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=-6x的图象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（1）求一次函数解析式；（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤-6（3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标．24．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．25．（10分）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？（3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）点F是直线BC上方抛物线上的一动点，过点F作FD⊥BC，交BC于点D，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D作DG⊥EF，交EF于点G，求FG的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）问中FG取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．27．（10分）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断线段BD，EF，AB之间的数量关系并证明；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC=63，△ACD面积是△ABD面积两倍，则△AEF的面积为

2025年江苏省苏州市昆山市晨曦中学等多校中考数学第一次联考试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDABBAAA一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10870＝1.087×104．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2【分析】根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、2x3+3x3＝5x3，故A不符合题意；B、m2n与﹣2mn2不能合并，故B不符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，故C不符合题意；D、（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（3分）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．42° B．48° C．52° D．60°【分析】利用平行线的性质得出∠3＝∠1，再利用直角三角形的性质得出∠2即可求解．【解答】解：如图，延长AB交矩形纸片于D，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（）A．16 B．20 C．24 D．28【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：根据题意知4a解得a＝20，经检验：a＝20是原分式方程的解，故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．5．（3分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、EA．π﹣1 B．π2-1 C．π-1【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA=2∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积=90⋅π×2360-故选：B．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】表示出根的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况．【解答】解：由关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．7．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABCA．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）【分析】先求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解式为y=23x，设C(a，6a)，且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S▱OABC＝2【解答】解：∵反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y=6∵OB经过原点O，∴设直线OB的解析式为y＝mx（m≠0），∵OB经过点D（3，2），∴2＝3m，∴m=2∵直线OB的解析式为y=2∵反比例函数y=6x经过点∴设C(a，6a)∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC，∴点B的纵坐标为6a∵OB的解析式为y=2∴23∴x=∴B(9∴BC=9∴S△OBC∵平行四边形OABC的面积是18，∴S平行四边形OABC＝2S△OBC=2×1解得：a=32或∴点B的坐标是（6，4），故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（3分）已知二次函数y＝mx2+nx（m≠0），经过点A（c，4）．当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，则如下四个值中有可能为c的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，可得x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程mx2+nx+2＝0的两个根，则有n＝8m，再得c2+8c≤32，利用m的取值范围确定c的取值范围即可求解．【解答】解：当y≥﹣2时，mx2+nx≥﹣2，∴mx2+nx+2≥0，∵当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，∴x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程的两个根，∴-n∴n＝8m，∴y＝m（x+4）2﹣16m，∴x＝﹣4是函数的对称轴，且﹣16m≤﹣2，∴m≥1∴mc2+8mc＝4，∴m=4∴4c∴c2+8c＞0，∴0＜c2+8c≤32，∴﹣32＜c2+8c﹣32≤0，设抛物线y＝c2+8c﹣32，令0＝c2+8c﹣32，解得c1令﹣32＝c2+8c﹣32，解得c3＝0，c2＝﹣8，根据抛物线开口向上，∴c2+8c﹣32≤0的解集为-4-43≤c＜-8∴c的可能取值为2，故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝n（m+2）（m﹣2）．【分析】原式提取n，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），故答案为：n（m+2）（m﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若单项式2xm﹣1y2与单项式13x2yn+1是同类项，则m【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项；可列等式分别求出m，n的值，再代入求解即可．【解答】解：∵单项式2xm﹣1y2与单项式13∴m﹣1＝2，n+1＝2，解得：m＝3，n＝1，∴m+n＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键．11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．【解答】解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．12．（3分）如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．若AD=13AO，则△ABC与△DEF的位似比为3【分析】根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，得出OA与OD的比值，即可得出△ABC与△DEF的位似比．【解答】解：∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．AD=13∴OAOD则△ABC与△DEF的位似比为：32故答案为：32【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解决问题的关键．13．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为156【分析】解Rt△APC求出AC、PC，再解Rt△PCB求出PB即可．【解答】解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC=12PA∴PC=3AC=3×在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝153海里，∴BP=2PC=2×153故答案为：156【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．14．（3分）若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是﹣1．【分析】由题意得到a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：由题意可知：a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，∴a+b＝5，ab＝3，∴a+b﹣2ab＝5﹣2×3＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为y=12【分析】过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M，利用矩形的判定与性质可得MN＝CD＝4，设ME＝MF＝m，利用相似三角形的判定与性质求得m，进而求得NF，MF的长，利用S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF求得y与x之间关系，再利用二次函数的性质和x的取值范围解答即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，如图，过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M，∴DE=12BC=4，DE∴MN⊥DE，∴四边形CDMN为矩形，∴MN=CD=1∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°．∵FN⊥BC，∴∠NFB＝45°，∴∠EFM＝∠NFB＝45°．∴△MEF为等腰直角三角形，∴ME＝MF．设ME＝MF＝m，由题意得：PA＝x，则DP＝4﹣x，∵DQ＝DP，∴DQ＝4﹣x，∴QE＝DE﹣DQ＝4﹣（4﹣x）＝x．∵QF⊥CQ，∴∠DQC+∠MQF＝90°，∵∠DQC+∠DCQ＝90°，∴∠DCQ＝∠MQF．∵∠CDQ＝∠QMF＝90°，∴△DCQ∽△MQF，∴CDDQ∴44-x解得：m＝4﹣x，∴MF＝4﹣x．∴FN＝MN﹣MF＝x．∵S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF，∴y==1=24-8+2x-2x+1=1=1由题意：x的取值范围为：0≤x≤4，故答案为：y=1【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，等腰直角三角形，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，作出正确的辅助线是解答本题的关键．16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．将抛物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则PA+55PM的最小值为【分析】把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x=12于P′，设直线x=12交x轴于N，求出B（2，0），BN=2-12=32，M(12，-3)，MN＝3，可得BM=352，sin∠BMN=BNBM=5【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，解得c＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，∵y=x∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为(12，-如图，连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x=12于P′，设直线x=12交令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0），∴BN=2-1∵将顶点(12，-94∴M(12，-3)∴BM=B∴sin∠BMN=BN∴P′HP′M∴P′H=5∴P′A+5当P与P′重合时，PA+55PM∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH，∴AH=AB⋅MN故答案为：65【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，正确进行计算是解题关键．三、解答题（本大题共有8小题，共82分）17．（5分）计算：2sin60°+2【分析】利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝2×32+=3+1=-3【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（5分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．（6分）解分式方程：3x【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，移项合并得：﹣3x＝0，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了．转化的思想，解分式方程注意要检验20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE+BF＝BC．【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分线定义得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性质即可得出答案；（2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，证出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，证明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB=1∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°；（2）证明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，∴AD＝CD，∵∠EDF＝108°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A=∠BCD=36°AD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵CF+BF＝BC，∴AE+BF＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．21．（6分）为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格50≤x＜55，良好55≤x＜60，优秀x≥60），下面给出了部分信息：10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．抽取的A、B型铁观音亩产量统计表B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图型号AB平均数5656中位数56b众数a57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝55，b＝57，m＝40．（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型中“良好”等级占40%，“优秀”等级所占百分比为20%，可求出m的值；（2）比较A型、B型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；（3）用样本估计总量，即可得答案．【解答】解：（1）在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，∴众数a＝55，∵B型中“良好”等级有4个，占40%，∴“合格”等级占1﹣40%﹣20%＝40%，即m＝40，把B型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，∴b=57+57故答案为：55，57，40；（2）B款茶叶更好，理由：因为B款茶叶的中位数和众数都大于A款茶叶的，所以B款茶叶更好（答案不唯一）；（3）估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有4000×（40%+20%）＝2400（亩），答：估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩．【点评】本题考查样本估计总量，涉及众数、中位数、平均数，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．22．（6分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为14，是随机（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）直接利用概率公式，求解即可；（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，∴P=1故答案为：14（2）画出树状图如图：由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，∴P=1【点评】本题考查树状图法求概率，掌握树状图法求概率，是解题的关键．．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=-6x的图象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（1）求一次函数解析式；（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤-6（3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．（3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△AOB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵反比例函数y=-6x的图象经过点A（﹣1，m），B（∴m=-6解得m=6n=3∴A（﹣1，6），B（3，﹣2），把A、B的坐标代入y＝kx+b得-k+b=63k+b=-2解得k=-2b=4∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4；（2）观察图象，不等式kx+b≤-6x的解集为：﹣1≤x＜0或（3）连接OA，OB，由题意C（0，4），S△AOB设P（m，0），由题意12解得m＝±16，∴P（16，0）或（﹣16，0）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．24．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM=12OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴直线AD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM=12OA∴AM=OA2∴AE＝2AM＝2×53=103【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．25．（10分）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？（3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；（3）用图象法即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52），（2）w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴当x＜57时，w随x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为w＝﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640元，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；（3）∵利润不低于2250元，且44≤x≤52，w随x增大而增大，由﹣10（x﹣57）2+2890＝2250得x＝65或x＝49，∴49≤x≤52．∴纪念品的销售单价x的范围是49≤x≤52．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）点F是直线BC上方抛物线上的一动点，过点F作FD⊥BC，交BC于点D，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D作DG⊥EF，交EF于点G，求FG的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）问中FG取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设F(m，-38m2+（3）当BE是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当BE是边时，同理可解．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，6），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：6＝﹣16a，解得a=-3∴抛物线解析式为y=-3（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：6=b0=8k+b解得k=-3∴直线BC的解析式为y=-3∵B（8，0）C（0，6），∴OB＝8，OC＝6，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=O∴tan∠CBO=OCOB=如图1，直线EF与x轴交于点H，∵FD⊥BC，FH∥y轴，∴∠DFG＝∠CBO，设点F(m，-38m∴FE=(-3∴FD=EF⋅cos∠DFG=4∴FG=FD×cos∠DFG=16∵-b故当m＝4时，FG有最大值，为9625，此时点E（3）所有符合条件的点N的坐标为N(3，53)或（11，4）或(5，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，则新抛物线的对称轴为直线x＝7，设点M（7，m），如图2，图3，当BE为对角线时，存在两种情况，可得EM2+MB2＝EB2，∴（7﹣4）2+（m﹣3）2+（7﹣8）2+（m﹣0）2＝（4﹣8）2+（3﹣0）2，解得m1则M1EB的中点为(4+82，设N（s，t），则可得s+72解得s＝5，当M1(7，3-解得t1此时N1当M2(7，3+解得t1此时N2如图4，当BE为边时，存在两种情况，当M在EB下方时，，当x＝7时，y=-3∴P(7，3∵∠PBQ+∠QBM＝∠QBM+∠PMB＝90°，∴∠PBQ＝∠PMB，∴PBPM根据勾股定理可得PB=1∴PM=5∴M(7，-4根据中点公式可得N3如图5，当BE为边时，当M在EB上方时，可得∠EMP＝∠PBQ，根据勾股定理可得EP=3∴EPPM∴PM=15∴M（7，7），根据中点公式可得N4（11，4）；综上，所有符合条件的点N的坐标为N(3，53)或（11，4）或(5，【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．27．（10分）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断线段BD，EF，AB之间的数量关系并证明；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC=63，△ACD面积是△ABD面积两倍，则△AEF的面积为53或27【分析】（1）在AB边上截取AM＝EF，连接DM，根据题意证明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后证明出△BMD是等边三角形，得到BD＝BM＝DM，进而求解即可；（2）图②：在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，首先证明出△ABH是等边三角形，得到∠BAH＝60°，然后求出∠BAH＝∠