2024年上海中考数学试卷试题真题解读及答案详解

年中考真题完全解读（上海卷）本次“2024年上海市初中学业水平考试数学试卷”在整体设计上凸显了上海地区数学教育的综合性与创新性特征。全卷共分成选择题、填空题与简答题三大部分，满分为150分，作答时间100分钟，答题要求规范、试卷形式清晰。与往年相比，本卷命题更注重对学生多角度思维的考查，既有常规运算与几何证明，也融入了统计与概率的实际应用。题目在数学基本概念与运算技巧的考查之外，更强调了对阅读理解、逻辑推演及创新思维的培养。总体而言，试卷稳中求新，紧扣上海地区课标要求，能有效区分不同层次学生的思维水平，对教学与学生能力提升具有较强的指导价值。本卷包含25道试题。其中，前6题为单项选择题，每题4分，共24分；第7至第18题为填空题，每题4分，共48分；第19至第25题为简答题，共78分。题目分布合理，涵盖代数、几何、函数、方程、不等式、统计与概率等多个知识领域。选择题多为基础知识与概念辨析，填空题稍有提升，着重考查学生对关键知识点的应用能力。简答题题量适中，包含证明、计算与综合应用，体现了思维深度与广度的要求。这样的结构既保证了测试的广覆盖性，也在后半部分突出探究与综合的特点，为不同层次的学生提供了展示思维与能力的空间。从难易度来看，本卷中等难度题目占较大比重，易、中、难比例大致符合“金字塔”结构。基础题包括一次函数、不等式性质和常见几何性质；中档题多为综合应用与数形结合，如在矩形、平行四边形或梯形中融入相似三角形证题；难度较高的题目主要集中于二次函数平移、翻折与几何构造等部分，既要求学生有熟练的运算能力，也需一定的几何想象与逻辑推理能力。此外，概率与统计题契合真实情境，注重“方差”等指标的理解与应用。这些题型在上海地区近几年考试中日益受到重视，能反映学生对统计思维与数据分析方法的掌握程度。本卷全面覆盖沪教版课程标准中的主要知识点，引导教师在平时教学中要适度平衡代数与几何的教学时间，并注重将统计、概率、函数应用融入日常例题与实践探究。对于学生而言，要在夯实基础运算与几何推理的同时，学会灵活转化和数形结合，能够对新情境或实际问题做出有效分析。尤其在函数与几何的联动、统计与概率的真实背景应用上，学生需要提升阅读理解与综合思考的能力。该试卷为日常教学提供了导向性：关注思维含量和过程性评价，适度增加对探究能力和创新意识的培养，将有助于学生整体数学素养的提高。综上，这份试卷对进一步提升教师教学水平和学生核心素养具有重要的价值与启示。与往年相同，依旧由“选择题”“填空题”“简答题”三大部分构成，分值分布未发生明显变化：❆选择题共6题，每题4分，合计24分；❆填空题共12题，每题4分，合计48分；❆简答题共5题，分值分别为10分、10分、10分、12分、12分、14分，合计78分。总分仍为150分，考试时长100分钟，考试形式相对成熟，说明近两年在整体框架上未作大改动。❆部分选择题和填空题加入了科技创新、数据分析等情境；例如以“新型蓝光唱片容量”或“博物馆调研数据”为背景，侧重考查学生对真实信息的处理和数学建模思维。❆简答题融合了函数、几何、概率统计等多主题综合，强调同一题目下多知识点的运用，进一步考查学生的迁移与综合应用能力。❆对函数、几何、统计概率的知识交叉运用要求更高，题目逐渐突显对“数形结合”“坐标运算”等能力的综合考量。❆试题注重对学生逻辑推理、模型建立与概括归纳的思维要求，部分题目需要先理解背景，再进行简化求解，要求学生在掌握基本运算的同时具备更高层次的分析判断能力。❆需重视知识网络的整体构建和综合运用；单一知识点的记忆和练习已不足以应对多情境融合的综合题。❆建议考生加强对几何与代数、统计与函数的衔接练习，通过多角度、多步骤的分析，提升解决实际问题的能力。❆在做题时，注重运用图形辅助、数值试探与逻辑推断等多种方法，关注如何将数学知识与真实情境相结合。综上，本届试卷的题型形式虽未变，但在情境设置与知识融合度方面考查方向不断深化，要求学生在有限时间内具备更强的综合分析和灵活应变能力。结合往年真题进行针对性训练，注重思维过程、逻辑条理和表达完整性，才能更好地应对本类综合性考查。在本次模拟试卷中，我们可以看到对不等式、函数定义域、一次函数和二次函数、三角形与几何图形的性质、统计与概率等知识点的综合考查较为全面。以下从时间规划、专题梳理、题型攻略、心理调适及命题趋势五个方面，为同学们提出备考建议。第一阶段（考前1个月左右）❆梳理知识框架：系统复习教材中的所有章节，列好知识清单。如一次函数、反比例函数、二次函数的基本性质，几何中的平行线与相似三角形等。❆重点突破薄弱点：将平时错题按主题整理，对于易错知识点（如求函数的定义域、二次方程根的判别式、菱形与矩形判定等）集中攻克。第二阶段（考前2周）❆以真题和模拟题为主：模拟实战，计时答卷。针对选择题，要掌握快速排除的技巧；对填空题和解答题，要尽量完整列出每个步骤和理由。❆加强专题训练：如几何图形中的证明题、函数综合题、统计与概率题等，侧重于思路的归纳、常见陷阱与易混概念的辨析。第三阶段（临考前一周）❆查缺补漏：快速翻看错题，总结常见失误，尤其注意计算细节和几何辅助线的添加。❆保持做题手感：每天保持适度练习，但不宜疲劳作战。形成稳健的做题节奏与心态。1.不等式与方程❆不等式加减同一数时方向不变，乘以负数方向改变；一元二次方程根的判别式：当Δ>0有两个不相等实数根，Δ=0有相等实数根，❆易错点：有些同学忽视“除以负数时不等号反向”或遗忘二次方程判别式公式。2.函数与图像❆正比例函数y=kx，若k<0，则y随❆一次函数与二次函数：注意平移变换后对顶点坐标、对称轴以及“开口大小”的影响。3.几何图形与度量❆矩形、菱形与平行四边形的判定与性质：如菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线相等且平分。❆常用辅助线：遇到角平分线、翻折或外接圆问题，需谨慎使用平行线分割、相似三角形及全等三角形的判定和性质。4.统计与概率❆平均数、方差及其应用：方差越小，数据越稳定；概率题常见于排列组合或基本频率估计，在解答时要明确总数与事件发生数的关系。选择题❆快速排除：如遇干扰选项，可尝试带入特殊值或简单验证。❆保证准确：对概念题，要紧扣定义；对计算类选项，可进行简化运算或图像判断。填空题❆注意格式：遇到答案含字母、根号等，需确保写清完整的表达式，如x=2或❆重视答题思路：充分利用图表、数形结合来快速定位结果。解答题❆书写规范：陈述理由时要引用定理或性质，切忌只写结论。❆辅助线与整体思路：如几何题可适当作辅助点、垂线或延长线；函数题先确定解析式，再带入坐标考量。1.正确认识压力❆考前适度紧张有助于发挥潜能，但要避免过度焦虑。可以每天安排短暂的放松活动，保证良好睡眠。2.因难题丧失信心❆遇到难题时先搁置，集中精力解决中等题与基础题，确保核心分数，最后再攻克高难度部分。3.模拟实战心态❆每次模拟都要按照实考要求时间进行，在考场上遇到波动时仍能保持熟悉的答题节奏。结合近年来中考与本套模拟卷，可预见中考对综合能力的考查将持续提升：❆函数综合：二次函数平移、一次函数与反比例函数的综合求解，可能与几何图形结合。❆几何创新：利用翻折、旋转等方式考查全等或相似识别，多边形中常见的构造须引起重视。❆数据分析：方差、概率预估等与现实情境融合更紧密，需要灵活理解统计概念并做推断。同学们在最后阶段应紧扣课本与重要考点，通过专题训练与错题巩固，形成自己的知识体系与解题策略。不仅要提升运算和思维速度，更要在考场中保持自信、稳健，从容应对2024年上海市初中学业水平考试。祝大家旗开得胜，圆满取得理想成绩！2024年上海市初中学业水平考试数学试卷1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、选择题（每题4分，共24分）1.如果，那么下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键．【详解】解：函数的定义域是，解得，故选：D．3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A．，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B．，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C．，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D．，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．4.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.3232.83.1方差1.050.781.050.78A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类【答案】B【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B．5.四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案．详解】解：如图所示：四边形为矩形，，，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选：A．6.在△ABC中，，，，点在△ABC内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（）A.内含 B.相交 C.外切 D.相离【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，圆含在圆内，即，在以为圆心、为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，，圆与圆相交，故选：B．二、填空题（每题4分，共48分）7.计算：___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：，故答案为：．8.计算______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．9.已知，则___________．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．【详解】解：根据题意可知：，∴，解得：，故答案为：1．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）【答案】【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案为：．11.若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）【答案】减小【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小．【详解】解：正比例函数的图象经过点，，解得：，又，的值随的增大而减小．故答案为：减小．12.在菱形中，，则___________．【答案】##57度【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，故答案为：．13.某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．【答案】4500【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可．【详解】解：设，把，代入，得，解得，∴，当时，，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球．【答案】3【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．【详解】解：设袋子中绿球有个，∵摸到绿球的概率是，∴球的总数为个，∴白球的数量为个，∵每种球的个数为正整数，∴，且x为正整数，∴，且x为正整数，∴x的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15.如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）．【答案】【分析】本题考查了平面向量知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，．是上一点，，，，，故答案为：．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有__________人．【答案】【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案．【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为，由条形统计图可知：需要增强讲解的人数为人，∴需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为，∴在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人），故答案为：17.在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________．【答案】或##或【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．【详解】解：当在之间时，作下图，根据，不妨设，由翻折的性质知：，沿直线翻折至所在直线，，。，过作的垂线交于，，，当在的延长线上时，作下图，根据，不妨设，同理知：，过作的垂线交于，，，故答案为：或．18.对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________．【答案】4【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，，中存在一点，有，解得，则，抛物线“开口大小”为，故答案为：．三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19.计算：．【答案】【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：．20.解方程组：．【答案】，或者，．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．21.在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．（1）求k与m的值；（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．【小问1详解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；小问2详解】解：由（1）知：设l与y轴相交于D，∵轴，轴轴，∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．（1）直接写出：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．【答案】（1）等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为；（2）画图见解析．【分析】（）①解直角三角形即可求解；由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；（）根据题意画出图形即可；本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．【小问1详解】解：①如图，为等腰直角三角板，，则；如图，为含的直角三角形板，，，，则，；综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；由题意可知，∴四边形是矩形，由图可得，，，∴，故小平行四边形的底为，高为，面积为；【小问2详解】解：如图，即为所作图形．23.如图所示，在矩形中，为边上一点，且．（1）求证：；（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到；（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．【小问1详解】证明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小问2详解】证明：连接交于点，如图所示：在矩形中，，则，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．24.在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．【答案】（1）或；