2024年北京中考数学试卷试题真题解读及答案详解

年中考真题完全解读（北京卷）本套“2024年北京市初中学业水平考试·数学试卷”与往年本市或其他相近地区的中考数学试卷相比，其题量与结构上仍保持了相对稳定，共分为两部分、三大题、28个小题，满分为100分，总作答时间120分钟。整卷内容涵盖代数、几何、函数与图象、统计与概率等初中数学核心板块，既强调对基础知识与基本技能的考查，也注重学生在真实情境或综合任务中运用所学知识解决问题的能力。这在很大程度上体现了最新课程标准对“核心素养”及数学应用性的要求。第一部分为选择题，共8题，每题2分，合计16分；第二部分为非选择题，包括填空题与解答题，总计84分。试卷形式沿用了传统的“选择+填空+解答”三部分模式，但在知识覆盖、情境设置与思维深度的把握上更加精细精准。此外，命题要求考生在答题卡上分别使用2B铅笔和黑色字迹签字笔作答，并在规定位置填写姓名、准考证号等信息，规范性与安全性兼具。本卷设置了8道选择题，覆盖几何图形的对称性与性质（如“既是轴对称图形又是中心对称图形”的判定）、角度运算（如利用垂直概念和平角概念计算角的度数）、数轴与实数大小比较、概率初步（如用树状图分析两次抽球）、以及科学记数法等主干内容。这些题目偏重概念理解与基础技能，难度相对适中，适合绝大多数学生在较短时间内完成。共有8道填空题，合计16分，围绕二次根式的有意义范围、因式分解、分式方程求解、函数图象与性质（如反比例函数y=本卷的解答题分两大板块：一是若干小题（每题5分或6分），二是较大综合题（每题7分或6分）。涉及的知识面广：❆直线与函数综合（如一次函数、二次函数的图象与性质、分段讨论等）；❆几何综合（如三角形中位线定理、平行四边形判定与性质、正方形与特殊线段、旋转与对称等）；❆统计与概率（含平均数、中位数、众数、方差等概念的应用）；❆实际应用（如对排放量、体积、水杯设计、算力指标等生活或社会热点问题进行数学分析）。难度梯度明显：前几道以基础及中档题目为主，最后的综合题或探究题则要求学生具备较强的几何推理与代数演算相结合的能力，也需要一定的创新思维和综合运用水平。试卷遵循新课标对基础性、应用性和探索性的要求，基础知识如二次根式、方程、不等式、三角函数、几何定理齐全；同时创设真实情境（如汽车排放、数字经济算力、水杯设计等），考查学生在综合情境中解决问题的能力，体现数学与社会生活的融合。试题覆盖面广，题型多元，难度分布合理，能充分照顾到不同层次学生的数学学习现状。既有对核心概念和思维方法的直接考查，也有对应用实践与创新意识的需求。对于教学基础扎实的学校与学生而言，后面综合题能进一步发挥思维水平；而中等生也可在前面中小题取得足够分数，从而实现分层评价的目的。试卷对做题过程的逻辑性、严谨性，以及运算准确度仍有较高要求。学生在备考时既需牢记基础知识、熟练运算技能，也要着重训练几何推理、函数建模和代数综合等能力，注重审题与答题规范性，以应对纯计算、几何作图、应用场景分析等多样化题型。总之，本套试卷覆盖知识面广、难度稳中有升、注重应用与探究，充分体现了对学生数学素养与综合能力的考查。它具备较强的区分度和导向性，能有效引导教师关注学生的思维发展、注重数学与生活的联系，对初中数学教学和学生整体能力评估具有积极促进作用。特别是在后续教学与复习中，教师可据此加强对思维过程与解题规范的训练，培养学生分析与建模的意识，促进学生在理解“做数学”的过程中获得全面发展。★题量与结构基本保持不变，仍分为选择题、填空题和解答题三大板块，共28小题，满分100分；★★题型分布与前一年相似，8道选择题、8道填空题、12道解答题的比例未发生改变，但部分题目的情境和考查方式更贴近现实生活，如数字经济、环保排放等情境的应用题出现频率上升；★★★作图题与概率统计题仍出现在选择题和填空题中，难度保持稳定，但对数据理解和图表分析能力提出更高要求。★情境应用更丰富：多道试题与真实背景相结合，例如数字经济算力、环保排放标准、新材质设计等，考查学生综合运用数学知识解决实际问题的能力；★★知识融合度提高：部分题目综合了函数、几何、统计等多个知识点，要求学生在解题中灵活运用方程、不等式、三角几何以及统计分析等多方面思维；★★★数据分析与推理：如概率统计、样本估计总体以及函数图像的应用题，对数据分析与推理能力提出了更高要求，需关注图表、平均数、中位数、方差等概念的运用；★★★★转化与探索思维：旋转对称、平移映射以及新定义（如“可及点”）的几何问题比重增加，学生需具备较强的图形变换与推理能力。上述变化与前一年相比，虽题型结构未变，但在情境设置、考查深度及综合运用层面更突出，对学生的分析、建模与跨学科思维能力提出了更高要求。建议学生平时注重理解数学概念的内在联系，培养基于情境的综合解题和数据分析思维，以更好地应对新的挑战。以下为本套「2024年北京市初中学业水平考试数学试卷」的考情分析。试卷由两部分组成，共三大题、28小题，满分100分。其中，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。具体情况如下：❆第1～8题：单项选择题，共8题，每题2分，合计16分。❆第9～16题：填空题，共8题，每题2分，合计16分。❆第17～19题：解答题（每题5分），共3题，合计15分。❆第20～21题：解答题（每题6分），共2题，合计12分。❆第22～23题：解答题（每题5分），共2题，合计10分。❆第24题：解答题（6分），1题。❆第25题：解答题（5分），1题。❆第26题：解答题（6分），1题。❆第27～28题：解答题（每题7分），共2题，合计14分。❊选择题（共16分）：占全卷16%。❊填空题（共16分）：占全卷16%。❊解答题（共68分）：占全卷68%。下面以表格形式呈现试卷每道题的分值、题型、考查内容与难易分析。难度等级将分为“易”“中”“难”三个层次。题号分值题型考查内容难易分析12选择题轴对称与中心对称图形的判断易22选择题相交线与垂线、平角概念易32选择题数轴上实数的位置、绝对值与不等式的简单判断易42选择题一元二次方程实数根的判别式中52选择题简单随机抽样、概率计算（树状图或列表法）易62选择题科学记数法的应用易72选择题尺规作图与三角形全等判定（边边边、边角边、角边角等）中82选择题菱形与旋转综合，角平分线、边长距离综合分析中92填空题二次根式有意义的条件（被开方数≥0）易102填空题分解因式（提取公因式、平方差公式）易112填空题分式方程的解法与增根检验易122填空题反比例函数图象上点的坐标性质易132填空题样本估计总体、频率与总数关系易142填空题垂径定理、圆周角、几何综合中152填空题正方形性质、相似三角形或直角三角形求面积中162填空题候场时间与排列组合，最优顺序问题中175解答题实数混合运算、特殊角三角函数值、绝对值易185解答题一元一次不等式组的解法与解集易195解答题代数式化简求值、完全平方公式、分式化简中206解答题构造平行四边形与三角形中位线定理、勾股定理综合中216解答题列方程解应用题，汽车排放限值判断中225解答题一次函数与待定系数法，图象平行的条件及函数不等思想中235解答题统计与概率，平均数、中位数、方差概念在竞赛排名中的应用中246解答题圆与几何综合，切线、相似三角形或等腰三角形等综合中偏难255解答题函数应用题，实际测量记录、描点法画函数图像，估算水杯水面高度中266解答题二次函数的顶点及图象性质，分段讨论中277解答题旋转与全等、几何综合，三角形性质及辅助线中偏难287解答题新定义、对称变换与圆综合题，空间想象力强，需多次辅助线或分类讨论难（易：约40%；中：约45%；难：约15%）从整体来看，本试卷难度在中等偏上，注重对基础知识与综合运用的双向考查，既包含常规的代数、几何基础计算题，也包括考查综合思维、新定义和情境应用的题目。❆易题示例：第1题（轴对称与中心对称图形）、第2题（垂直概念）、第3题（数轴上的实数比较）、第9题（根式有意义条件）等。此类题目对概念要求直接，运算简单，考查学生对基本知识的掌握情况。❆中等题示例：第7题（尺规作图与三角形全等）、第22题（一次函数性质及图像平行标准）、第23题（统计量在竞赛排名中的应用）。此类题目多环节联动，既需要基本运算也需适当推理。❆难题示例：第28题（基于新定义的圆对称变换与几何综合），需灵活运用几何变换思想（对称、旋转），并运用坐标法或几何推理综合解决，思维量较大，属于拉开区分度的压轴题目之一。综合看来，试卷整体布局合理，区分度较好，能有效考查学生在代数与几何、函数与统计、应用与创新思维等多方面的学习水平与综合素养。试卷中的“易—中—难”梯度设置较合理，适合不同层次学生展示真实水平。试题内容紧贴教学大纲与日常生活实际，用较多情境化背景引导学生在具体问题中运用数学思想方法。通过本卷的练习，学生可以巩固基础知识、提升应用能力、培养探究意识。1.前期（1～2个月前）❆❆夯实基础：梳理教材知识结构和课本例题，重温一次函数、二次函数、几何基本性质（如相似、全等及圆的相关定理）等核心内容。针对选择题、填空题中常见的基础失误（如正负号、计算细节、特殊值代入等），可结合近三年真题积累错题本，重点排除运算性和概念性错误。❆❆专题训练：将代数与几何分别进行专题强化，如“函数与方程”“三角形与四边形性质”等，保证知识点覆盖全面。例如在函数部分，可多练习关于一次函数、二次函数图像性质的题；在几何部分，需重点掌握与平行线、圆常见性质有关的题型，及时总结出典型题解题思路。2.中期（考前30天左右）❆❆真题巩固：套卷练习要注重时限要求，模拟正式考试的流程。做完后自我批改与教师讲评结合，尤其关注填空题和选择题中的易错点，如对称图形判定、概率树状图、数据分析中众数、平均数与中位数等概念。❆❆查漏补缺：针对做题中仍反复出现的错误，如做不等式组时区间表达不准确、分式方程易出现增根等，要及时回归课本例题与笔记，用小范围测试来巩固修正。3.后期（考前10天左右）❆❆强调综合：多练习综合性较强的解答题，尤其留意几何题中“辅助线”的添加和证明思路的自然衔接。需熟悉常见证明思路（“全等或相似”“三角形中位线定理”“特殊三角形”）的使用场景，并养成分步、分层写出推理过程的习惯。❆❆保持状态：适度回归基础题，切忌盲目加大训练量，引发心理压力。保持做题手感，为考试做好节奏控制练习。1.选择题：❆❆学会“排除+检验”法，可用特殊值或边界值替代；对几何选择题，若选择备选图形时，可借助画草图或标记辅助线来排错。❆❆答题速度与准确度并重：先挑自己最有把握的题快速解决，再回头对可能存在陷阱的选项进行更细致的比较或运算验证。2.填空题：❆❆计算与表达并重：如涉及整式、分式或开方运算，要严格注意符号与运算次序；对几何中的角度、线段长度等答案，若可简化成根式或分数，应谨慎转换，保证形式正确。❆❆文字表述要简练：若填空题需写出结果推导过程，则先在草稿中清晰列出步骤，确认无误后再写到答题卡的答题区域。3.解答题：❆❆书写条理：按“已知—求证—推理过程—结论”顺序；若涉及方程求解，需明示“去分母”“移项”及检验过程；几何证明中，需体现每步结论的理由（如“同位角相等”“三角形全等”）。❆❆善用综合知识：二次函数常与几何面积、三角函数知识结合，注意先转化为熟悉的函数或几何模型，再配合数形结合求解。1.情绪管理：❆❆避免在模拟考或练习中过度关注一两次失误，应注重解题思路的提升。若遇到难题卡壳，可先总结规律，再逐步回顾人为失误点，保持自信，避免焦躁情绪影响后续复习效率。2.命题趋势与关注要点：❆❆关注数学文化与生活实际题：如圆柱圆锥的应用、函数与数据分析（频数分布直方图、线性回归思路）的考查往往贴近生活，熟悉《课程标准》中强调的“数学建模”思想。❆❆新定义新情景：与几何变换、统计推断等相结合，灵活度更高，通常出现于解答题末或综合应用题。备考时要反复练习灵活运用对称、旋转、平移、判定与性质等知识。3.考场节奏建议：❆❆三轮做题：1）快速浏览选择填空，先易后难；2）标记中等难度题目或第一轮未解完的选项再行突破；3）涂卡与审查：对标答题卡是否签到答题区，仔细核对计算结果与几何图示标注。❆❆保持审题到位：特别是几何大题，画图时保证标注整齐、辅助线明显，千万不要凭空假设。通过上述复习方案与心态调整，相信同学们能在接下来的考试中稳定发挥，祝各位取得优异成绩！2024年北京市初中学业水平考试数学试卷第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2.如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据得到，再由平角即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．3.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．故选：C．4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C.4 D.16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．5.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，两次都取到白色小球的概率为．故选：D．6.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．【详解】，故选D．7.下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.

上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（）A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.【详解】解：根据上述基本作图，可得，故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.8.如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可.本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.【详解】向两方分别延长，连接，根据菱形，，则，，∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，∴点一定在对角线上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可证，∵，∴，∴，∴，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确；根据题意，得，∵，，∴，∴该八边形各内角不相等；∴②错误，根据，∴，∴，∵，故，∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误，故选B．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得，解得：．故答案为：10.分解因式：___________.【答案】【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．【详解】．故答案为：．11.方程的解为___________.【答案】【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．【详解】解：，解得：，经检验：是原方程的解，所以，原方程的解为，故答案为：．12.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________.【答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入，求得和，再相加即可．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．13.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________.【答案】160【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解．【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，∴这200个工件中一等品的个数为个，故答案为：160．14.如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到，由得到，故．【详解】解：∵直径平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案为：．15.如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________．【答案】【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可.本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.【详解】解：根据正方形的性质，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴面积为；故答案为：．16.联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排【答案】①.60②.【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，故答案为：60；②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；②按照顺序，则候场时间为：分钟；③按照顺序，则候场时间为：分钟；④按照顺序，则候场时间为：分钟；⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，故答案为：．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）17.计算：【答案】【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．【详解】解：原式．18.解不等式组：【答案】【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．【详解】解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为．19.已知，求代数式的值.【答案】3【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．20.如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的长.【答案】（1）见详解（2）【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证；（2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵是的中点，，∴，∵，∴四边形为平行四边形；【小问2详解】解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中点，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴在中，由勾股定理得．21.为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.【答案】符合，理由见详解【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可．【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，由题意得：，解得：，∵，∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”．22.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．【小问1详解】解：由题意，将代入得：，解得：，将，，代入函数中，得：，解得：，∴；【小问2详解】解：∵，∴两个一次函数的解析式分别为，当时，对于每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，∴当直线与直线平行时，，∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，∴m的取值范围为．23.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息..教师评委打分：.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数教师评委学生评委根据以上信息，回答下列问题：①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.【答案】（1）①，；②（2）甲，【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；（2）根据方差的定义和意义求解即可；（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．【小问1详解】①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，所以，共有45名学生评委给每位选手打分，所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，故答案为：，；②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，，故答案为：；【小问2详解】，，，，丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，依题意，当，则解得：当时，此时∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，当时，此时∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲故答案为：甲，．24.如图，是的直径，点，在上，平分.

（1）求证：；（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证；（2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可.【小问1详解】根据题意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；【小问2详解】∵，，不妨设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中点M，连接，则∵，∴，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，解得，故半径的长为.25.小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：/mL040100200300400500/cm0

2.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．【答案】（1）1.0（2）见详解（3）1.2，8.5【解析】【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解；（2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可；（3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为．【小问1详解】解：由题意得，设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，解得：，∴，∴当时，，∴；【小问2详解】解：如图所示，即为所画图像，【小问3详解】解：①当时，，由图象可知高度差，故答案为：1.2；②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为，故答案为：．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线.（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．【小问1详解】解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；【小问2详解】解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；当时，和都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大，∵，∴如图，此时，∴，又∵，∴；当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧，∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵，∴，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．27.已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，