黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三一模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三一模数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则.故选：D.2.已知，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为，所以，所以对应的点的坐标是，位于第一象限.故选：A.3.双曲线的渐近线方程为，则的关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，因为双曲线渐近线方程为，所以，所以.故选：A4.圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆柱的母线长为4，底面半径为2，所以圆柱的体积为.故选：C.5.如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（）A.3 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系，，，设，因为，所以，解得，所以，又，所以，所以，，所以．故选：C．6.为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表：分数区间人据表中的数据，下列结论中正确的是（）A.所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120B.所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过C.所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60D.所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间【答案】C【解析】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确；对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为，故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确；对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确；对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确，故选：C.7.已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，由轴于点，且，得，则，又点是曲线上的任意一点，因此，所以点的轨迹方程为.故选：A8.函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，两边取对数，可得，即，令，则，当时，，为减函数，当时，，为增函数，∴，∴，，的最小值为，故选：C.二、多项选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值C.与最小正周期不相同 D.与的图象存在相同的对称轴【答案】BCD【解析】因为，，对于A选项，对于函数，由，可得，对于函数，由，可得，故函数的零点为，函数的零点为，所以，函数、没有相同的零点，A错；对于B选项，的最大值为，的最大值为，故与的最大值相同，B对；对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，这两个函数的最小正周期不同，C对；对于D选项，因为，，所以，函数与的图象存在相同的对称轴，D对.故选：BCD.10.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A.点的轨迹方程是B.直线是“最远距离直线”C.圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为D.点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【答案】AC【解析】对于A，设，则有，整理可得，故点的轨迹方程是，故A正确；对于B，由点的轨迹方程是知，双曲线的渐近线为，可得直线为其一条渐近线，故直线与点的轨迹方程没有交点，则直线不是“最远距离直线”，故B错误；对于C，圆方程为：，其圆心，半径为，由点与圆的位置关系可知，，又即，根据点与双曲线的位置关系可得，故，故C正确；对于D，联立圆与点的轨迹方程，有，可得，，故点的轨迹与圆有交点，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.当时，函数有两个极值B.过点且与曲线相切的直线有且仅有一条C.当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则D.当时，若，则【答案】BCD【解析】由得，对于A，当时，则有，所以当时，，所以单调递增，此时函数没有两个极值，故A错误；对于B，设过点且与曲线相切于点，则斜率为，可得切线方程为，代入得，整理得，令，则，令得或，令得，所以和上单调递增，在上单调递减，又，，，所以函数只有一个零点，即方程只有一个解，所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故B正确；对于C，当时，，又因为是与的等差中项，所以直线即为直线，即，该直线过定点，且此点在曲线上，又，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减，由题意作出函数的示意图，设函数的对称中心为，则，即，整理得，所以，解得，所以函数图象关于点中心对称，设，则有，所以，故C正确；对于D，当时，，则，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，，作出作出函数的示意图所以在上单调递减，所以，即，令，当时，，则在上单调递减，所以，所以，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设数列满足，且，则____________．【答案】4【解析】由以及可得：，故，故答案为：413.在中内角的对边分别为，已知，则____________．【答案】3【解析】由可得,故,,由正弦定理可得，故答案为：314.在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______.11131315202223243132333541424244【答案】【解析】在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则所有的可能为：共24种可能；其中满足“选中方格中的4个数之和为”的可能为：，共3种可能；故所求为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为．（1）求函数的解析式；（2）中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？解：（1）由题知∴∵的最小正周期为，∴，∴∴（2）∵为锐角，∴∴，∴，∵，∴∴当且仅当时，取最小值416.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，则，所以所求切线方程为，即；（2），即，即，即对恒成立，令，则，当时，，当，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.17.如图，在直三棱柱中，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由题知平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四边形是正方形，得到，又，平面，所以平面.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，因为，则，得到平面与平面夹角为，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则：，令，则，所以平面的法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．ABC（新药）治愈率患者占比（1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；（2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）（3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：患者占比最多投入生产线条数123若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？解：（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，则，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的最大值点为.（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，则因此：所以.（3）设随机变量为生产药品产生的年利润①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，此时对应的年利润②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，年利润，当时，2条生产线运行，年利润，此时的分布列如下：7002000所以；③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，年利润，当时2条生产线运行，年利润，当时，3条生产线运行，年利润，此时的分布列如下：40017003000所以综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.19.如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过原点作斜率为1直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设．①令，求证：数列是等比数列；②数列的前项和为，试比较与的大小．（1）解：方法1：由题意知，点到原点的距离等