河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（五）（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（五）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是：.故选：A2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，则所以.故选：C3.已知向量，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量为.故选：C4.已知均为正数，则的最小值为（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均为正数，得，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：D5.同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（）A.64个 B.128个 C.196个 D.256个【答案】D【解析】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择.百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）.十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择.根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为种.故选：D.6.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C7.已知过原点且斜率存在的直线与圆交于，两点（为圆心），当的面积最大时，直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线l的方程为：，圆心到直线距离，弦长，所以，当时，面积S最大，这时，整理得，解得，所以直线的斜率为．故选：B8.已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由椭圆定义得，即，由双曲线定义得，即，所以.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（）A.中位数为90 B.分位数为92C.方差为58 D.代表队中高三同学有4人【答案】AC【解析】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，对于A，中位数为，A正确；对于B，由，得分位数为，B错误；对于C，平均数为，方差，C正确；对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误.故选：AC10.已知函数，则（）A.的最小正周期为2B.为图象的一条对称轴C.在区间上先单调递增后单调递减D.在区间上恰有8个零点【答案】BCD【解析】对于A，的最小正周期为，A错误；对于B，，则为图象的一条对称轴，B正确；对于C，当时，，函数在上递增，在上递减，因此在区间上先单调递增后单调递减，C正确；对于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整数值有8个，D正确.故选：BCD11.已知函数的定义域为，满足，则（）A.B.是奇函数C.当时，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，则，对；B：令，则，故，而且，若，则，错；C：当，则，若，，则，所以，即，即是首项为，公比为2的等比数列，故，所以，对；D：令，，则，即，所以，令，则，所以且，则，所以，即是首项为，公比为的等比数列，所以，则，所以，又且，则，，所以，对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线的焦点坐标为__________．【答案】【解析】抛物线化为：，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：13.在中，角所对的边分别为，且，则__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案为：14.光学是物理学的重要研究领域，点光源是抽象化的物理概念，指从一个点向周围空间均匀发光的光源.如图1所示，有一点光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出长方形的影像，此时点光源发光所形成的空间图形是以为顶点，以长方形为底面的四棱锥.已知，，，直线平行于屏幕边界.如图2所示，将图1的屏幕以直线为旋转轴向箭头方向旋转时，屏幕上映出的影像从长方形变成了梯形，则四棱锥的体积为______.【答案】72【解析】重新作出棱锥，如图，分别在上且，平面与平面所成二面角是，，因为，是矩形，则是中点，也是中点，所以，又因为平面，，所以平面，取中点，中点，连接，则，，，，又因为，平面，所以平面，而平面，所以，设，连接，所以是平面与平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，从而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中点，所以是的中位线，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，过作平面的垂直，则垂足在上，，所以，从而到平面的距离为，，所以，故答案为：72．四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．15.在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为．（1）证明：直线平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在等腰梯形中，由，得，而为的中点，则，四边形为平行四边形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，则，又平面，所以直线平面.（2）解：取的中点，连接，则，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，则，由为等边三角形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围.解：（1）当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为.（2）当时，的定义域为，，令，解得或（舍去），所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，解得，即；当时，的定义域为，，令，解得（舍去）或，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，解得，即.综上所述，的取值范围是.17.已知甲和乙配合做压轴题，从4道压轴题（每题均为2问）中随机选择3道，甲做第一问，乙做第二问.4道题中甲会做其中3道题的第一问，若甲能做出第一问，则乙做出第二问的概率是；若甲做不出第一问，则乙也做不出第二问．（1）求甲和乙配合做出2道题的概率；（2）记甲和乙配合做出题目的个数为，求的分布列和期望．解：（1）甲乙配合做出2道题的事件为，则需要抽中2个或3个甲会做的题，且乙做对其中2道，因此，所以甲和乙配合做出2道题的概率为．（2）依题意，随机变量可能的取值为，可得，，，．所以的分布列为0123数学期望.18.已知数列满足，且．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．（附：当时，）证明：（1）由题意可得.构造函数，则，在单调递增.所以，即任意时，.，，且，且，故.（2）下面用数学归纳法证明.①当时，成立；当时，成立；②假设当时，，，则当时，，且，所以，综合①②可知，对任意，成立.，，由，则，即，，数列为递增数列，，即.（3）要证，由，故即证.当时，成立；当时，由题附结论可知，当时，，所以，即，由，故在式两边同除以得，所以，即，，，由，可得数列是正项递减数列，又数列为正项递增数列，所以，则，又，，，综上所述，对任意，都有，故，得证.19.给定平面上一些点的集合D及若干个点若对于为定值，我们就称为一个稳定点集.（1）判断集合与点构成的是不是稳定点集，并说明理由；（2）判断集合以及点构成的是不是稳定点集，