第一节-数学期望

第四章随机变量数字特征第1页一、随机变量数学期望三、数学期望性质二、随机变量函数数学期望四、小结第一节数学期望第2页1.离散型随机变量数学期望一、随机变量数学期望

第3页关于定义几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一个加权平均,与普通平均值不一样,它从本质上表达了随机变量X取可能值真正平均值,也称均值.(2)级数绝对收敛性确保了级数和不随级数各项次序改变而改变,之所以这么要求是因为数学期望是反应随机变量X取可能值平均值,它不应随可能值排列次序而改变.第4页试问哪个射手技术很好?例1谁技术比很好?乙射手甲射手第5页解平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中9.1环.所以甲射手本事要高一些.第6页例2二项分布则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为第7页则两点分布b(1,p)数学期望为p.=np第8页例3泊松分布

则有第9页例4几何分布

则有第10页2.连续型随机变量数学期望定义定义3.2第11页

设用户在某银行窗口等候服务时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求用户等候服务平均时间?解所以,用户平均等候5分钟就可得到服务.例5用户平均等候多长时间?第12页例6

均匀分布则有结论

均匀分布数学期望位于区间中点.第13页例8指数分布

则有第14页例9正态分布则有第15页第16页例10设随机变量X服从求E(X)第17页例(书）设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为求E(X).解:

因为此积分不存在所以柯西分布数学期望不存在.第18页若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X函数则Y期望为1.离散型随机变量函数数学期望二、随机变量函数数学期望第19页2.连续型随机变量函数数学期望若X是连续型,它分布密度为f(x)则3.二维随机变量函数数学期望第20页第21页解例1

求:第22页例2设X～N(0,1),Y～N(0,1),X与Y相互独立,求解:

第23页三、数学期望性质(1)设C为常数，则有(2)设X是一个随机变量，C为常数，则有

（4）

设X，Y是相互独立随机变量，则有

（3）设X1，X2,…,Xn是n个随机变量，为实数，则有第24页解例11*第25页第26页四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一个加权平均,与普通平均值不一样,它从本质上表达了随机变量X取可能值真正平均值.2.数学期望性质第27页3.常见离散型随机变量数学期望第28页4.常见连续型随机变量数学期望第29页依据生命表知,某年纪段保险者里,一年中每个人死亡概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家眷可从保险企业领取元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1

你知道自己该交多少保险费吗?备份题第30页解设1年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金期望值应为若设每人一年须交保险费为a元,第31页由被保险人交“纯保险费”与他们所能得到赔偿金期望值相等知故每人1年应向保险企业交保险费4元.第32页解例2

某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩

X服从

N(75,9)正态分布,试求学生成绩期望值.第33页解例4第34页例5商店销售策略第35页第36页解第37页第38页到站时刻概率例5第39页解第40页第41页解例9设(X,Y)分布律为第42页因为第43页第44页例2怎样确定投资决议方向?

某人有10万元现金,想投资于某项目,欲