7.2平行线 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第七章相交线与平行线7.2平行线人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025平行线的概念（第一课时）1.理解平行线的定义；2.掌握平行线的画法及平行线的基本事实和其推论.2022年2月18日，在北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，谷爱凌成功夺冠，为中国代表团赢得第八枚金牌，这也是她本届冬奥会继自由式滑雪女子大跳台夺金后的个人第二枚金牌。你知道滑雪运动最关键的是什么吗？知识点1 平行线的概念思考

如图，将两根木条a,b分别与木条c钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线，固定木条b和c，转动木条a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交.

想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？abcabc如下图，在木条a转动的过程中，存在直线a与b不相交的位置.在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作“a∥b”.“∥”表示平行，读作“平行于”.前提条件没有公共点知识点1 平行线的概念例1

下列说法正确的是（

）A.两条直线不平行则相交B.在同一平面内，没有公共点的两条射线必平行C.在同一平面内，若两条线段平行，则它们不相交D.在同一平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行C缺少前提条件“在同一平面内”.知识点1 平行线的概念跟踪训练

如图，把教室中墙壁的棱看作直线的一部分，那么下列位置关系表示不正确的是（）A.AB⊥BC

B.AD//BCC.CD//BF

D.AE//BFC知识点1 平行线的概念在实际生活中，平行线随处可见，你还能举出其他例子吗？知识点1 平行线的概念知识点2 平行线的画法aP如图，直线a外有一点P，请你画出经过这一点的直线b，使得a∥b.怎么画呢？aA一“落”把三角尺的一边落在已知直线上.二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边.三“推”按着直尺不动，沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点.四“画”沿三角尺过已知点的边画直线.b知识点2 平行线的画法例2

如图，点P为三角形ABC内一点，请你过点P画PD∥AC，交BC于点D，过点P画PE∥BC，交AC于点E.一“落”二“靠”三“推”四“画”D知识点2 平行线的画法例2

如图，点P为三角形ABC内一点，请你过点P画PD∥AC，交BC于点D，过点P画PE∥BC，交AC于点E.一“落”二“靠”三“推”四“画”DE知识点2 平行线的画法知识点3 平行线的基本事实I及其推论思考

(1)在下图转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行？abc解：(1)只有一个位置.一般地，有如下关于平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.知识点3 平行线的基本事实I及其推论思考

(2)如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？过点C呢？aBCbc解：(2)如图所示.那直线b和直线c的位置关系是怎么样的？b∥c.知识点3 平行线的基本事实I及其推论一般地，有如下关于平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.由以上基本事实，可以进一步得到如下结论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.知识点3 平行线的基本事实I及其推论例3

下列说法：①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③如果a∥b，c∥d，那么a∥d；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.其中正确的个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4A一条直线的平行线有无数条.若这个点在已知直线上，则过这个点无法画出已知直线的平行线.因为b,c关系不明确，所以不能判断a与d的关系知识点3 平行线的基本事实I及其推论跟踪训练

下面推理正确的是()A.因为a//b，b//c，所以c//dB.因为a//c，b//d，所以c//dC.因为a//b，a//c，所以b//cD.因为a//b，c//d，所以a//cC知识点3 平行线的基本事实I及其推论1.读下列语句，并画出图形:(1)如图①，过点A画直线MN//BC；解:(1)MN如图①所示.MN1.读下列语句，并画出图形:(2)如图②，过点C画CE//DA，交AB于点E，过点C画CF//DB，交AB的延长线于点F.解：(2)相同的方法作出CF//DB，CE，CF如图②所示.EF2.读下列语句，并画出图形：(1)点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直；ABPCDEF解：(1)如图所示.2.读下列语句，并画出图形：(2)直线AB，CD交于点O，点P是直线AB，CD外的一点，直线PE与直线CD平行，且与直线AB相交于点E.解：(2)如图所示.PEOABCD画法基本事实I的推论定义平行线在同一平面内，不相交的两条直线基本事实I一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行第七章相交线与平行线7.2平行线人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025平行线的判定（第二课时）1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.复习回顾

过直线外一点画已知直线的平行线的方法是什么？aAbab思考在刚才利用三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用？Ac12∠1和∠2是什么关系？它们相等吗？∠1和∠2是同位角.∠1=∠2.这说明，如果同位角∠1=∠2，那么a∥b.一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实：判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.abc4231∵∠1=∠4，∴a∥b.符号语言：此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”例1

如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB//CD的是（）A.∠2=35°

B.∠2=45°C.∠2=55°

D.∠2=125°C跟踪训练

如图，若∠1=∠2，则_____//_____；若∠2=∠3，则_____//_____.ABDEBCEF问题

两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.

由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？探究

如图，直线a，b被直线c所截.(1)内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b?abc4231如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b.理由如下：因为∠1=∠2，而∠2=∠4，所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.（对顶角相等）遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题.这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法：判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.abc4231∵∠1=∠2，∴a∥b.符号语言：例2

如图，能判定EB//AC的条件是(

)A.∠C=∠1

B.∠A=∠2C.∠C=∠3

D.∠A=∠1D跟踪训练

如图，将两块含30°角的直角三角尺的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB//CD，依据是________________________.内错角相等，两直线平行探究

如图，直线a，b被直线c所截.(2)同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b?abc4231如果∠1+∠3=180°，能得到a∥b.理由如下：方法一：（由判定方法1）因为∠1+∠3=180°，所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.∠4+∠3=180°（邻补角互补），探究

如图，直线a，b被直线c所截.(2)同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b?abc4231方法二：（由判定方法2）因为∠1+∠3=180°，

∠2+∠3=180°所以∠1=∠2，即内错角相等，从而a∥b.（邻补角互补），这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法：：判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.abc4231∵∠1+∠3=180°，∴a∥b.符号语言：例3

如图，下列条件能判定直线l1//l2的是()A.∠1=∠2

B.∠1+∠3=180°C.

∠4=∠5D.

∠3=∠5B跟踪训练

如图，∠1=∠2=60°，ED平分∠BEF，AB与CD平行吗?请说明理由.解：AB//CD.

理由如下：∵ED平分∠BEF，∠1=∠2=60°(已知)，∴∠BEF=2∠2=120°(角平分线的定义).∴∠1+∠BEF=60°+120°=180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).例4

在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行.bca12解：这两条直线平行.

理由如下：如图，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴

∠1=∠2.又

∠1和∠2是同位角，∴

b∥c.______________________________bca12(同位角相等，两直线平行)你还能利用其他方法说明b∥c吗？解：这两条直线平行.

理由如下：如图，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴∠1=∠2.又

∠1和∠2是内错角，∴

b∥c.______________________________bca1(内错角相等，两直线平行)2解：这两条直线平行.

理由如下：如图，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴

∠1+∠2=180°，又

∠1和∠2是同旁内角，∴

b∥c.______________________________bca1(同旁内角互补，两直线平行)2垂直于同一条直线的两直线平行.bca12注意：选填题可用哦！1.如图所示.(1)如果∠1=∠2，那么____∥____，依据是____________________.(2)如果∠3=∠4，那么____∥____，依据是____________________.(3)如果∠B=∠5，那么____∥____，依据是____________________.(4)如果∠D+∠BCD=180°，那么______∥____________________，依据是_____________________.内错角相等，两直线平行ADBCABABADCDCDBC(或BE或CE)内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行(或BE或CE)2.如图，BE平分∠ABC，请你添加一个条件:___________________，使DE//BC.∠EBC=∠DEB或∠ADE=∠ABC或∠ABC+∠EDB=180°××或∠DBE=∠DEB3.如图，已知GM，HN分别平分∠BGE和∠DHF，当∠1与∠2具备怎样的关系时，AB//CD?请说明理由.解:当∠1+∠2=90°时，AB//CD.理由如下:∵GM，HN分别平分∠BGE和∠DHF，∴∠BGE=2∠1，∠DHF=2∠2，∴∠BGE+∠DHF=2(∠1+∠2).∵∠1+∠2=90°，∴∠BGE+∠DHF=2×90°=180°.∵∠BGE+∠BGF=180°，∴∠BGF=∠DHF.∴AB//CD(同位角相等，两直线平行).内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行基本事实Ⅱ：同位角相等，两直线平行平行线的判定第七章相交线与平行线7.2平行线人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025平行线的性质（第三课时）1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补；2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.复习

根据右图，填空：①如果∠1＝∠C，那么

∥

（）.②如果∠1＝∠B，

那么

∥

（）.③如果∠2＋∠B＝180°，那么

∥

（

）.ABCDECBD同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行ECBD同旁内角互补，两直线平行问题：通过上题可知平行线的判定方法是什么？思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行

可以发现，改变截线c的位置过程中：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，当a∥b，同位角总是相等的.一般地，平行线具有性质：性质1

两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等.abc21符号语言：性质1：∵

a//b，∴∠1=∠2.例1

如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.则∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°分析：根据平行线的性质1求角度，要先找己知度数的角的同位角，再找这个同位角与要求角的关系，继而求出结果.本题的隐含条件是平角等于180°.例1

如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.则∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°B解析：∵EF//AC，∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行，同位角相等).∵DF//AB，∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行，同位角相等).∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=180°-60°-45°=75°.跟踪训练

如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1=60°，则∠2的度数是()A.30°B.60°C.120°

D.150°B思考

前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？abc231如图，直线a∥b，c是截线.“两直线平行，同位角相等”∠1=∠2.所以∠3=∠2.所以∠3=∠1.∠3和∠2互为对顶角，这样就得到了平行线的另一个性质：：性质2

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等.符号语言：性质1：∵

a//b，∴∠1=∠3.例2

如图，已知AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，求∠BDE的度数.分析：利用平行线的性质求角度，常通过寻找“中间角”作为“桥梁”，“中间角”和己知角与要求的角之间是同位角、内错角、邻补角、对顶角等关系.例2

如图，已知AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，求∠BDE的度数.解：∵AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，∴∠ADB=∠B=40°，∠ADE=∠DEC=70°(两直线平行，内错角相等)，∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=70°-40°=30°.跟踪训练

如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°则∠EGF的度数是（）A.35°B.55°C.70°D.110°A思考

类似地，你能由性质1或性质2，推出两条平行线被第三条直线截得的同旁内角之间的关系吗？如图，直线a∥b，c是截线.“两直线平行，同位角相等”∠1=∠2.所以∠2+∠4=180°.所以∠1+∠4=180°.∠2和∠4是邻补角，abc2314同旁内角互补如图，直线a∥b，c是截线.abc2314“两直线平行，内错角相等”∠1=∠3.所以∠3+∠4=180°.所以∠1+∠4=180°.∠3和∠4是邻补角，同旁内角互补这样就得到了平行线的另一个性质：性质3

两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.符号语言：性质1：∵

a//b，∴∠1+∠4=180°.例3 如图，若AB//DE，BC//EF，求∠B+∠E的度数.解：∵AB//DE(已知)，∴∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等).∵BC//EF(已知)，∴∠BCE+∠E=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B+∠E=180°(等量代换).易错提醒：

平行线的性质使用的前提条件是“两直线平行”，注意在使用平行线的性质3解题时，避免受思维定式的影响，出现“两直线平行，同旁内角相等”的错误.跟踪训练

如图，直线m//n，其中∠1=40°，则∠2的度数为()A.130°B.140°C.150°D.160°B3例2

如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？DCAB解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.

于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°，所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°，65°.跟踪训练

如图，AB∥CD，BC∥AE，∠1=50°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：∵AB∥CD,∴∠A=∠1=50°（两直线平行，同位角相等）.∵BC∥AE,∴∠C=∠1=50°（两直线平行，内错角相等)，∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B=180°-∠A=130°.1.如图是超市购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1=100°，∠2=48°，则∠3的度数是()A.52°B.48°C.42°D.62°AABCDE1232.如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40°时，∠DCN的度数为（提示:由反射角=入射角，可得∠OBC=∠ABM，∠DCN=∠BCO）()A.40°B.50°C.60°D.80°40°

40°100°80°2.如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40°时，∠DCN的度数为（提示:由反射角=入射角，可得∠OBC=∠ABM，∠DCN=∠BCO）()A.40°B.50°C.60°D.80°B3.如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄是一个直角梯形(挖去一个半圆)，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1，∠2，则∠1+∠2=______.90°解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP.∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2=∠POC.∵∠AOP+∠POC=90°，∴∠1+∠2=90°.ABDCOP两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同位角相等平行线的性质平行线的判定互逆第七章相交线与平行线7.2平行线人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025平行线的性质与判定的综合应用（第四课时）1.能够区别平行线的性质与判定；2.能熟练运用平行线的性质与判定解决几何问题.同位角相等或内错角相等或同旁内角互补复习

你知道平行线的判定和性质吗？两直线平行判定性质abcd123分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c和d是平行的.而已知∠1=∠3，所以只需由直线a∥b,推出∠1=∠2.例1

如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？解：直线c与d平行.理由如下：如图，∵a∥b，∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等).又∠1=∠3，∴∠2=∠3.∴c∥d(同位角相等，两直线平行).例1

如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？abcd123例2 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？BCAa123b分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系.而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3.例2 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？BCAa123b解：∵∠1=∠2，∴a∥b

(内错角相等，两直线平行).∴∠3=∠ABC

(两直线平行，同位角相等).又∠3=50°，∴∠ABC=50°.跟踪训练

如图，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF，探索∠C与∠D的数量关系并说明理由．ABCDEF12解：∠C=∠D，理由如下：∵∠1=80°，∠2=100°，∴∠1+∠2=180°，∴BD∥C