八年级数学下册试题 第1章《三角形的证明》综合测试卷-北师大版（含解析）

第1章《三角形的证明》综合测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，点E在边AB上，AE=A．2 B．43 C．32 D2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6．D为BC上一动点，连接AD，ADA．12 B．10 C．8 D．63．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且

A．7 B．5 C．16017 D．4．如图，已知△ABC，∠BAC>90°，DE垂直平分AC，垂足为D，点F在BC上，且DF=A．DF=AE B．AF=BF C．∠FAE5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AC的垂直平分线交于点P，将∠B沿EF（E在AB上，F在A．156° B．162° C．158°6．如图△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共顶角顶点，∠ACB=∠DCE=α，连接BE，AD交于点A．90°+12α B．90°-7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，将△ABC沿AD折叠，点CA．30°<∠C．45°<∠8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC=60°，∠BAC=70°，若点PA．BD B．AD C．AB D．AC9．七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成1600多种图形.如图1，①号等腰直角三角形中，直角边的长为a，⑤号正方形的边长为b．选择其中标有①②③④的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图2所示，图中空白部分的面积分别记为S1，S2，则S1与SA．12a2 B．35a210．如图，AD，CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，且BM⊥AE．有下列结论：①∠AMC=135°；②△ABC是等边三角形；③A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC上的一点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B落在点E处，DE交AC于点F12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3.6，AC=4.8，BC=6，点D在边BC上，BD=1.2，点E在边13．如图，已知Rt△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4，线段BC上有一点P（不与B、C重合），连接AP，将△ACP沿AP14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交边BC于点D，若BD=6，CD=3，∠ADC15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°．D为边16．如图，点P、Q分别是等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），若点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为2cm/s，连接AQ、（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ=（2）已知等边△ABC的边长为4cm，当运动时间为s时，三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）已知等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC上的一点，连接BD，过点C作(1)如图1，若AB=4，AD(2)如图2，G为BC的中点，连接AG、FG，求证：FG平分∠BFE18．（6分）（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，AD=BD（2）如图2，在△ABC中，∠B=30°，点D在BC上，∠BAD（3）如图3，在四边形ABDC中，∠ABC=40°，∠BAC=19．（8分）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．

(1)如图1，在格点上画点D，使AD∥BC，再在直线AD上找点P，使(2)如图2，先画△ABC的高AE，再作点E关于AB的对称点G20．（8分）已知，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，以AC为边在AC(1)如图1，连接BE，交AD于点F．①若∠BAC=70°②求证：BF=2(2)如图2，若点B、A、E在一条直线上，以CD为边在BC下方作等边△CDG，连接EG交AC于点P，试猜想线段AB与线段PC21．（10分）已知，在等边△ABC中，点M，N分别在AC，BC上，且CM=BN，连接BM与AN交于点(1)如图1，若∠CBM=15°(2)如图2，连接CP，MN，当BP=CP时，求证：CP是(3)如图3，连接CP，当CP⊥BM时，若AP=122．（10分）已知△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，【初步探索】如图①，点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上，连结AE、BD，线段AE与BD的数量关系是____________，位置关系是______．【拓展延伸】如图②，点A、C、B不在同一条直线上，点E在△ACD内，点B在△ACD外，连结AE、BD，【知识应用】如图③，△ACD和△BCE两块等腰直角三角尺，∠ACD=∠ECB=90°．连结AE、23．（12分）【探究】（1）已知△ABC和△①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究AB，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究AB，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=12，点E在AC上，CE=43，点D是线段BC上的点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当∠24．（12分）综合与实践【积累经验】（1）如图1，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，点E在线段AB上，连接DE，CE，∠DEC=90°，且DE=CE．求证：【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，已知点A的坐标为0,3，点【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为5,2，点B在第一、三象限的角平分线l上，点C在y轴上，△ABC①如图3，当∠CBA=90°②直接写出其他符合条件的点C的坐标．参考答案一．选择题1．A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过A作AG∥BC交DE的延长线于G，过A作AH⊥EG于H，可得△AEG≌△BEDAAS，即得EG=DE=23，AG=BD【详解】解：过A作AG∥BC交DE的延长线于G，过A作AH⊥EG∴∠G=∠BDE∵∠C∴∠CAG在△AEG与△BED∠G∴△AEG≌△∴EG=DE=2∵BE=∴AG=∵AH⊥∴EH=12EG∴DH=2∵AD平分∠CAB∴∠DAE∴∠DAE+即∠DAH∴△DAH∴AD=故选：A．2．C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识点，将BF的最大值转化成AF最小是解此题的关键．过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF=x，则BF=12-x，结合含【详解】解：过点F作FH⊥BC于H，连接∵∠B∴AB=2设AF=x，则∴∵EF垂直平分线段AD，∴AF=∴DF≥∴解得x≥∴AF最小值为4,BF的最大值为12故选：C．3．D【分析】连接OA，OB，OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OE=4x，证明Rt△AOF【详解】解：连接OA，OB，OC，如图，

由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=∵OE=OF，AB⊥OF，∴Rt△AOF≌∴AO为∠BAC又∵AB=∴AO⊥∴AD为△ABC∵BC⊥∴A、D、O三点共线，∴BD=在Rt△ABD中，∴S∴12=10x∴x=∴AO=故选：D．4．D【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握垂直平分线的性质，等边对等角是解题的关键．根据垂直平分线的性质得EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，推出【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠∵DF=∴DF=DC<故选项A的结论错误，不符合题意；∵DF=∴DF=∴∠DAF∴∠AFC∴180°=∠∴∠AFB若AF=BF，则但题中没有条件说明∠B故选项B的结论错误，不符合题意；若∠FAE=∠∵∠C∴90°=∠但题中没有条件说明∠C故选项C的结论错误，不符合题意；∵∠∴∠DFA即∠AFD故选项D的结论正确，符合题意．故选：D．5．D【分析】根据角平分线的性质得到∠CAP=12BAC=12×64°=32°【详解】解：如图，连接PB、PC，∵∠BAC=64°，AP∴∠CAP又∵AB=∴∠ABC∵DP是AC的垂直平分线，∴PA=∴∠CAP∴∠PCF在△APB和△AB=∴△APB∴PB=∴∠PCB将∠B沿EF（E在AB上，F在BC上）折叠，点B与点P∴PF=∴∠BPF在△PBF∠PFB∴∠PFC∴∠DPF故选∶D．6．B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质．过点C作CM⊥BE，CN⊥AD，根据等腰三角形的性质可得CB=CA，CD=CE，又因为∠BCE=∠DCA，利用SAS可证△BCE≌△【详解】解：如下图所示，过点C作CM⊥BE，∵△ABC和△∴CB=CA∵∠ACB∴∠ACB∴∠BCE在△BCE和△ACD中∴△BCE∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BHC∴∠AFB∴∠BFD∴1∴CM∴FC是∠∴∠DFC故选：A．7．B【分析】设BC中点为F，当E与F重合时，此时BE=CE由折叠的性质得AE=AC，由等边三角形的定义得△ACE为等边三角形，由BE<CE，E在F的左侧，①当E在线段BF上（不与B、F重合），∠CAE>60°，即可求解；②当E与B重合时，由等腰三角形的性质【详解】解：设BC中点为F，如图，当E与F重合时，此时BE由折叠得AE=∴CE∴△ACE∴∠C∴∠B∵BE∴E在F①如图，当E在线段BF上（不与B、F重合）

∴∠CAE>60由折叠得∠AEC∴∠CAE∴180∴∠C∵∠B∴∠B②如图，当E与B重合时

此时AB=∴∠ABC③如图，E在CB的延长线上时，∴∠B>∵∠∴∠ABC∵∠ABC∴2∴∠C∴∠ABC∵∠C>0，∴0<45°综上所述：0<∠30°故选：B.8．B【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键．在DC上取点F，使得DF=【详解】解：在DC上取点F，使得DF=BD，过F作FQ⊥∵AD⊥∴AD垂直平分BF∴BP=PF∴BP+PQ=PF当QF⊥AB时，QF最小，过F作FQ⊥∵∠ABC=60°∴△ABF∵AD⊥BC于D点，FQ∴QF故选：B．9．D【分析】本题考查了等腰直角三角形、七巧板．首先分别用含a和b的代数式分别表示出四个等腰直角三角形的面积，可得：S1-S2=【详解】解：设图2中重叠部分的面积为S，由图1可知，①②两个等腰直角三角形的直角边长为a，∴①②号两个图形的面积分别为12∵⑤号正方形的边长为b，∴③④号等腰直角三角形的直角边长为b，∴③④号两个图形的面积分别为12∴S1=2∴S由图1可知a=2∴S故选：D．10．B【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，等边三角形的判定，①延长BM交AC于点N，根据三角形的高，角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出∠AMC=135°，由此可对结论①进行判断；②证明△ACM≌△BCM得AC=BC，则△ABC是等腰三角形，然而根据已知条件无法判定AB=AC或∠ACB=60°，因此△ABC不一定是等边三角形，由此可对结论②进行判断；③证明△AMN≌△AMH得MN=MH，进而得BH+2HN=【详解】解：①延长BM交AC于点N，如图所示：∵AD是△ABC∴∠ADC∴∠ACB∵CF平分∠ACB，AE平分∠∴∠1=∴∠1+∴∠AMC②∵AD是△ABC的高，BM∴∠5+又∵∠BHD∴∠3=在△ACM和△∠1=∴△ACM∴AC=∴△ABC根据已知条件无法判定AB=AC或∴△ABC故结论②不正确；③∵△ACM∴AM=∵BM⊥∴∠AMH在△AHM和△∠AMH∴△AHM④∵BM⊥∴∠AMN在△AMN和△∠AMN∴△AMN∴MN=∴HN=2∴BH+2∴∠BNC∴∠AMH∴∠CMB∴∠2=180∴∠BCN∴∠BNC∴BC>即BC>∴结论④不正确；⑤∵△AHM∴S△∴S△∴S△∵AC=∴△ACF∴S△∴S故结论⑤正确，综上所述：正确的结论是①③⑤，共3个．故选：B．二．填空题11．5【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=4，进而由勾股定理得AH=AB2-BH2=3，由折叠的性质得【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，AJ⊥DF于点J，过点D作∵AB=AC=5∴BH=∴AH=由折叠的性质可得，△ADB∵AH⊥DB，∴AJ=设AD=在Rt△ADH中，∴32解得x=∴AD=∵DT⊥∴AT=∴DT=∵S△∴12∴DFAF故答案为：5812．2.4【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作AG⊥DE交DE于点F，交BC于点G，由AG⊥DE和∠ADE=45°得到∠DAF=45°，根据CD=BC-【详解】解：如图，作AG⊥DE交DE于点F，交BC于点∵AG⊥∴∠AFD∴∠DEA∵∠ADE∴∠DAF∴∠DAF∵BC=6，∴CD又∵AC∴CD∴∠GDA又∵AD∴△ADG∴∠AGD=∠∵∠BAC∴∠BAG∴∠DEA+∠∴∠AGD∴BG∴AE故答案为：2.4．13．655【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分CD=BC和【详解】解：①当CD=BC=4时，如图，设AP交CD∵折叠，∴AP垂直平分CD，∴CE=∴AE=设PE=x，则：在Rt△CEP中，在Rt△ACP中，∴CE2+解得：x=∴CP=②当BD=CD时，如图，过点D作DF⊥∵∠ACB∴四边形CFDH为长方形，∴DH=∵折叠，∴AD=AC=3，AP∴PC=在Rt△AHD中，∴DF=设CP=PD=在Rt△DFC中，由勾股定理，得：解得：x=∴CP=综上：CP=9-故答案为：65514．3【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．在AB上截取AE=AC，连接DE，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，设AH=a，证明△ADH是等腰直角三角形得AH=DH=a，则CH=a-3，证明△ACD和△AED全等得CD=DE=3【详解】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，过点A作AH⊥BC交设AH=∵∠ADC∴△ADH∴AH=∵BD=6，CD∴CH=∵AD平分∠BAC∴∠CAD在△ACD和△AED中，∴△ACD∴CD=DE=3∴∠EDC=∠∵BD=6，CD∴BC=∴S△S△S△∵△ACD∴S△又∵S△∴9+3解得：a=6∴AH=a=6在Rt△ACH中，由勾股定理得：故答案为：3515．2【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含30°直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，证△ABE是等边三角形，可推出∠CBE=30°，过点D作DF⊥BE于点F，则DF=12BD，从而AD+12BD=AD+DF，故当A【详解】解：如图，延长AC到点E，使CE=AC，连接∵∠ACB=90°，即∴BC垂直平分AE∴AB∵∠ABC∴∠BAC∴△ABE∴∠ABE∴∠CBE过点D作DF⊥BE于点∴DF∴AD∴求AD+12BD的最小值即求AD+DF的最小值，当A，D，F三点共线时，AD+DF的最小，过点此时∠MAC=30°，设C∴BC∴即当AD+12BD取最小值时，故答案为：2316．60°23【分析】（1）先证明△APC≌△BQA（2）根据题意，得∠ABC=60°，分∠【详解】（1）解：∵等边△ABC∴AB=∵AC=∴△APC∴∠ACP∵∠CMQ∴∠CMQ故答案为：60°（2）解：根据题意，得∠ABC设运动ts时，△PBQ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为2cm/s，等边△∴AP=∴BP=当∠PQB=90°∴BP=2∴4-解得t=当∠BPQ=90°∴BQ=2∴24解得t=故运动23s或43故答案为23或4三．解答题17．（1）解：∵∴∠CAE∴∠CAE在△ECA与△∠ACE∴△∴S（2）解：过G作GM⊥BF，GN∵G为BC的中点，AB∴AG∴AG又∠FHA∴∠NAG在△NGA与△∠GNA∴△GNA∴GN又GN⊥AE∴FG平分∠BFE18．解：（1）设∠A∵AD∴∠A=∠∵∠BDC∴∠C∵AB∴∠ABC∵∠A∴x∴x∴∠A故答案为：36°（2）如图2，在BC上取一点E，使BE=∴∠BAE∵AB∴BE∴BE即BD=∵∠B=30°∴∠BAE=∠∴∠ADE∴AD=AE∴△ADB∴∠C（3）∵∠ABC=40°∴∠ACB∵∠ACD∴∠BCD∵AC∴∠ADC如图，延长CA至点G，使CG=BC，连接BG，作∠BCF=∠ABC=40°，交AB于F，交AD于点P，连接∴∠AFC=40°∴AC∵AC∴CF∵∠ACB=60°∴△BCG∴BG=CG在△CFG和△CG=∴△CFG∴∠CGF在△CFG和△BG=∴△CFG∴∠CGF∴∠CBD∵∠BED∴∠ADB19．（1）解：如图，直线AD即为所求．取格点Q，使CQ=BC且CQ⊥BC，连接BQ，交直线则点P即为所求．

（2）解：如图，AE即为所求．取格点M关于AB的对称点N，取点C关于AB的对称点K，连接AN，BK，相交于点则点G即为所求．

20．（1）解：①∵AB=AC，∴AB=AC=又∵∠BAC=70°∴∠ABE②证明：∵AB=AC，AD是中线，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BD，AC设∠BAD则∠BAE在△ABE中，AB∴∠ABE∴∠BFD在Rt△BDF中，∴BF=2（2）解：AB证明：如图，过点E作EH⊥AC于∵△ACE∴AE=AC，∵B、A、E在一条直线上，∠EAC=60°∴∠BAC=120°即∠AEH∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，∴AD⊥BC，∴△ADC∴EH=∵△DCG∴CD=CG，∴∠ACG又∵EH⊥∴∠ACG∵EH=CD，∴EH=又∵∠CPG∴△GPC∴CP=即CH=2又∵AC=∴AB21．（1）解：∵△ABC∴AB=BC=∵CM=∴△ABN≌△BCM∴∠BAN∴∠ANC（2）证明：∵BP=∴∠PBC由（1）得△ABN≌△BCM，∴∠BAN=∠CBM，点∴∠BAN∴∠PAC∴PA=∴点P在线段AC的垂直平分线上，∴BM⊥AC，∵AB=BC=∴点A在线段AC的垂直平分线上，点P在线段AC的垂直平分线上，∴AN⊥BC∴点C在线段MN的垂直平分线上，∵PC=∴Rt△PMC≌∴PM=∴点P在线段MN的垂直平分线上，∴CP是MN的垂直平分线；（3）解∶如图3，过点B作BH⊥AN于点由（1）得△ABN≌△BCM，∴∠BAN∴∠BPH∵BH∴∠PBH∴BP=2∵CP⊥BM∴∠BPC∵∠BAH=∠∴△∴AH=∴AP+∴PH=1∴BP=222．【初步探索】解：如下图所示，延长AE交BD于点G，∵△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE在△ACE和△DCB中∴△ACE∴AE=BD在Rt△ACE中∵∠AEC∴∠CDB∴∠DGE∴AE故答案为：AE=BD，【拓展延伸】解：1中的结论仍然成立，理由如下：如下图所示，延长AE交BD于点O，交CD于M点，由【初步探索】可知△ACE∴AE=BD在Rt△ACM中∵∠AMC∴∠CDB∴∠DOM∴AE【知识应用】解:如下图所示，连接BD，由【拓展延伸】可知BD=∵△BCE是等腰直角三角形，∠∴∠BEC=∠在Rt△BCE中，∴B∵A∴A∴B∴∠BED∴∠DEC如下图所示，当点E在△ACD内，点B在△ACD外时，连接由【拓展延伸】可知AE=∵△BCE是等腰直角三角形，∠∴B又∵A∴B∴∠BED又∵∠BEC∴∠DEC综上所述，∠DEC的度数为45°或故答案为：45°或13523．（1）①解，AB=∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60∴∠BAD∴∠BAD又∵AB=∠∴△BAD∴BD∴AB即AB=②解：AB+∵△ABC和△∴AB=AC=BC∴∠BAC∴∠BAD∴△ABD∴CE∵CB∴AB（2）解：