541正弦函数余弦函数的图象教学设计-高一上学期数学人教A版

教学设计题目5.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1课时内容和内容解析内容正弦函数、余弦函数的图象内容解析正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，学生有以往研究函数的经验，知道按照研究函数的一般路径，在学习了正弦、余弦函数的定义之后必然要探究其图象，并为后续研究正弦、余弦函数的性质、正切函数的性质与图象及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质奠定基础.正弦函数的图象体现了函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了精确绘制一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点，或者借助信息技术工具描出任意多的点，画出正弦函数在［0,2π］的图象，进而通过平移、连续成线画出三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用.对于余弦函数，则是根据正弦函数与余弦函数的“天然”联系，由正弦函数的图象通过平移得到余弦函数的图象，体现了转化与化归的数学思想.学情分析学生已经学过一次函数、二次函数、指数函数和对数函数以及锐角的正弦函数、任意角的正弦函数，这为本节课的学习奠定了认知基础.同时，学生也熟悉用“列表——描点——连线”作图的基本思路.不过，对于正弦函数，如何根据其定义准确地绘制出函数图象上的任意一点，这仍然是个难点．因为图象是函数的一种表示法，所以作函数图象的本质就是利用函数的对应关系作出图象上的点．假设T(x0,sinx0)是正弦函数图象上的一点，根据定义，x0与图1所以作图的关键是：给定任意一个横坐标x0，在单位圆上画出∠AOB=x0，其终边OB与单位圆交点B的纵坐标就是图象上点T(x0,sinx0)的纵坐标，再将之平移至x0处，就得到了点T(目标和目标解析目标1.借助单位圆能画出正弦函数的图象，发展直观想象、逻辑推理的核心素养.2.能画出余弦函数的图象，渗透数形结合和化归的数学思想.目标解析1.能根据正弦的定义，借助单位圆，在直角坐标系中作出图象上任意一点，并且能利用这一点的作图原理画出整个图象.2.能利用正弦函数与余弦函数解析式的关系，得出其图象之间的关系，通过平移正弦曲线得到余弦曲线.教学重点正弦函数、余弦函数的图象教学难点作正弦函数图象上的一点T(x0,sinx教学方法分析1.发挥单位圆的作用，加强数学的整体性.单位圆是研究三角函数的工具，在探究正弦函数的图象时，要注重发挥单位圆的“脚手架”作用，在加强整体性的同时增强教学效果，降低学习难度，提高教学质量.2.在一般观念指导下展开研究.一般观念在本节内容中的指导具体体现：(1)以函数的一般概念与性质为线索；(2)类比指数函数、对数函数展开研究；(3)注重三角函数的特殊性——周期性；(4)相同背景条件下的几个对象之间一定有内在联系，发现联系和转化方法是数学研究中的基本任务.3.加强信息技术的应用.本节内容最好借助信息技术工具辅助完成.教学过程设计教师活动与任务设计学生学习活动与任务解决设计意图或评价目标环节一任务1：情境创设、提出问题问题1：我们已经学习了三角函数的定义，类比以往研究函数的经验，接下来我们还要研究三角函数的什么内容呢？追问：我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x±2π)=sinx，cos(x±2π)=cosx来表示．它的含义是什么？根据这一特性，你觉得在研究正弦函数、余弦函数的图象与性质时可以怎样简化研究对象？学生类比之前学习幂函数、指数函数、对数函数的经验，思考得出：得到函数的定义之后，接着必然研究它们的图象与性质．学生独立思考，小组讨论后全班交流，教师帮助完善．因为每增加（减少）2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现，因此可以简化研究过程，只需画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象，就可以通过平移得到它们在整个定义域上的图象．设计意图：让学生明确研究函数的一般路径，积累研究一类对象的学习经验.设计意图：规划研究方案，构建正弦、余弦函数的研究路径．评价目标：发展直观想象核心素养，达成目标1.环节二任务2：探究原理、获得图象问题2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，教师引导学生，根据定义分析确定x0问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，联想、类比以前所学函数的作图经验，接下来，如何画出函数y=sinx，x∈追问：这两种绘制方法的异同是什么？引导学生用“手工细线缠绕”的方法，使用自制教具完成．具体步骤：找一根没有弹性的细线，在x轴上量出横坐标x0图2然后将长度为x0的细线以A为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上，细线的末端就是B(cosx0,sinx0)，于是学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施．预设：方案1：在区间[0,2π]内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．方案2：为方便操作，可以在区间[0,2π]内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行.设计意图：引导学生利用定义分析正弦函数图象上任意一点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷.评价目标：提升逻辑推理、直观想象核心素养,达成目标1.设计意图：画出正弦函数在［0,2π］上的图象后，让学生自己根据诱导公式一进行拓展，得出正弦曲线，培养学生的作图能力，并在作图过程中感受正弦函数的变化规律，为接下来研究性质做准备．设计意图：通过观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”作图的简便画法.评价目标：提升直观想象、逻辑推理核心素养,达成目标1.师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象．利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0,sinx0),将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx，图3问题4：根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象正弦函数y=sinx，学生独立思考，说明依据并画图：根据诱导公式一，可知函数y=sinx，x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z且k≠0的图象与y=sinx，x∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数图4小结：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．问题5：我们已经知道了正弦函数图象的形状．请你结合上述正弦曲线的作图过程思考，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？教师：只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”.学生回顾取点的作图过程，同时观察正弦曲线，得出：在函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象上，五个点(0,0)，(π2,1)，(π,0)，(3π2,环节三任务3：发现联系、变换作图问题6：现在我们知道了正弦函数图象的画法，那么，余弦函数y=cos追问1：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？教师：余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．追问2：类似于用“五点法”画正弦函数的图象，如何画出余弦函数的简图呢？学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据．学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系式cosx=sin(x+π2)．记f(x)=siny=cos学生独立完成，之后展示交流：设x0,yy0＝cosx0=令x0y0＝sint0，即在函数y=sinx图象上有对应点t0,y0．比较两个点：所以点x0,y0可以看作是点t学生独立完成，设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数的图象，增强对两个函数图象之间的联系性的认识.设计意图：为学有余力的学生设置，进一步认识图象之间的联系.设计意图：巩固对正弦函数、余弦函数图象特征的认识，熟练"五点法"画图，提高画图的基本技能．评价目标：提升直观想象、逻辑推理核心素养,达成目标1.环节四任务4：例题练习，巩固理解例1.先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象的变换得到其图象：(1)y=1+sinx∈［0,2π］；(2)y=－x∈［0,2π］．学生先独立完成，然后对解题思路和结果进行展示交流．解：(1)按五个关键点列表：（表1）描点并用光滑曲线连接起来.(将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度可得.)图5(2)按五个关键点列表：（表2）描点并用光滑曲线连接起来.(将函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称可得.)图6设计意图：巩固对正弦函数、余弦函数图象的认识，熟练“五点法”作图，掌握画图的基本技能．同时，通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，为后续的学习做铺垫．评价目标：提升直观想象、数学运算核心素养，达成目标1、2.课堂小结回顾本节课的学习内容，回答下列问题：(1)回顾研究正弦函数、余弦函数图象的作图过程．画出结构图反映研究过程．(2)本节课给出的函数图象作图方法与幂函数、指数函数等函数图象的作法有什么区别？为什么要用这些方法？学生独立思考、归纳，再进行全班交流．(1)绘制一点↓［0,2π］的图象↓正弦曲线↓余弦曲线(2)“列表—描点一连线”是常用方法，以往所描点的坐标是通过代数运算得到的．而正弦函数因为其对应关系是单位圆的圆心角（任意角）与相应点的纵坐标之间的“几何对应”，并没有“代数运算”的特征，因此，正弦函数图象的精准绘制就不能沿用以前的常规描点，只有回归定义，利用定义中所反映的自变量与函数值的几何意义，借助单位圆，通过几何描点的方法完成作图．利用余弦函数与正弦函数的联系就能得到余弦函数图象．设计意图：通过小结，不但明确了精确作正弦、余弦函数图象的方法，而且丰富了函数作图的经验，为后续研究正切函数的图象奠定了基础.另外，正弦函数的作图过程还体现了函数图象与定义的内在联系，通过作图可以加深对函数本质的理解，为研究函数性质奠定基础．评价目标：提升直观想象、逻辑推理核心素养,达成目标1、2.目标检测与作业设计目标检测1．（多选）以下对于正弦函数y＝sinx的图象描述正确的是()A．在x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点2.函数y=cosx与y=A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称3.用五点法作下列函数的图象：(1)y=sinx，x∈［－(2)y＝cosx+12，x∈作业设计预计完成时间：20分钟基础巩固类作业（必做）作业1：教科书第200页练习1、4题．巩固提升类作业(任选1题)作业2：1.用“五点法”作下列函数的简图.(1)y＝2sinx，x∈[0,2π]；(2)y=sinx－π2，x∈[π2.当x∈[－2π,2π]时，作出下列函数的图象，把这些图象与y＝sinx的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)y＝－sinx；(2)y＝|sinx|；(3)y＝sin|x|.拓展延伸类作业（选做）作业3：简谐运动的图象实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图7所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.图7图8观察简谐运动的图象，对比、并思考简谐运动的图象与正弦函数、余弦函数的图象的异同，你能通过查阅资料，找到它们之间的联系吗？设计意图：考查正弦函数、余弦函数的图象及用“五点法”作函数简图的方法．评价目标：提升直观想象、逻辑推理核心素养,达成目标1、2.设计意图：通过作业