河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为该扇形的圆心角为，面积为25，根据，可得，所以.故选：2.已知，则在复平面内所对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B3.的展开式中第5项的系数为（）A.60 B.64 C.72 D.84【答案】A【解析】的展开式中第5项为，所以所求的系数为60.故选：A4.已知非零向量，满足，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由，得，则共线，因此，整理得，而为非零向量，所以.故选：B5.记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（）A.16 B.18 C.23 D.25【答案】D【解析】设公差为，则，，解得，所以，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，最大值为.故选：D6.加密运算在信息传送中具有重大作用对于一组数据，，…，，其密钥，定义算法，其中，，…，.将数据，，…，加密为，，…，的过程称为型单向加密.现将一组数据，，，，，进行型单向加密，则加密后的新数据的第60百分位数为（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】依题意，密钥，则加密后的新数据依次为，将加密后的新数据按从小到大的顺序排列为，由，得加密后的新数据的第60百分位数为6.故选：C7.已知正数，，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正数，，满足，故，令，故，，，，当且仅当，即，时，等号成立，故.故选：D8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及，得，由，得，在中，，令椭圆的焦距为，在中，，则，，所以的离心率.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件，满足，，，则（）A事件与事件相互独立 B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确；对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD10.半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（）A.三棱锥的体积为B.三棱锥的内切球半径为C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球半径为3【答案】BCD【解析】对于A，设的中心为，由正弦定理可得，由球的截面性质可得平面，所以，所以三棱锥的体积为，故A错误；对于B，设三棱锥的内切球半径为，由等体积法可得，解得，故B正确；对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故C正确；对于D，三棱锥的外接球即为球，所以半径为3，故D正确.故选：BCD11.数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（）（设均为非零实数）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】对于A，存在正常数，取，对任意，，因此是的复杂函数，A是；对于B，存在正常数，取，对任意，令，求导得，令，求导得，函数在上递增，，函数在上递增，，则，因此，是的复杂函数，B是；对于C，，函数在R上单调递增，值域为，因此不存在正常数，使得成立，而，即不存在正常数，使得成立，不是的复杂函数，C不是；对于D，存在常数，取常数，对任意，，因此是的复杂函数，D是.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为________．【答案】【解析】由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上，则，故双曲线C的渐近线方程为，即.故答案为：.13.设集合，，若，则______.【答案】【解析】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：14.已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则______.【答案】【解析】由，得，令，即，整理得，即，解得或，则或，或，当时，，由函数在上有且仅有一个零点，得，即，当时，，，此时或，使得，不符合要求；当时，或，当时，，函数在上无零点，当时，，当且仅当时，，符合要求，因此，，，，，，，，而，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取得极值.（1）求，；（2）证明：时，.解：（1），故且，解得，故，，令得，令得，所以在处取得极值，满足要求；（2）时，，令，，则，故在上单调递减，则，所以，，证毕.16.如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为是底面圆上的一条直径，所以⊥，因为⊥底面圆，，所以⊥底面圆，因为底面圆，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面；（2）解：因为⊥底面圆，圆，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角，故，又，所以为等边三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，故，，，，，设平面的法向量为，则，解得，令，得，故，设直线与平面所成角的大小为，则，直线与平面所成角正弦值为.17.记锐角内角，，的对边分别为，，，且.（1）证明：；（2）求的最大值.（1）证明：在中，由及正弦定理，得，则，而，则，于是，整理得，因此，所以.（2）解：在锐角中，由（1）知，，则，而，则，当且仅当时取等号，因此，，所以的最大值为1.18.已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列.（1）求，的值；（2）求的通项公式；（3）求的通项公式，并证明：.（1）解：由是以为首项，为公比的等比数列，得，则，而，所以.（2）解：数列中，，，当时，，，则，当为奇数，时，，满足上式，因此当为奇数时，；当时，，，则，当为偶数，时，，满足上式，因此当为偶数时，，所以的通项公式是.（3）证明：由（2）知，，当时，，而满足上式，因此，，所以.19.过三角形的重心作一直线，若这条直线将该三角形分成面积比为的两部分，则称这条直线为型直线，其中，，且.等边的边长为，重心为点，以动点为圆心，为半径作圆，该圆与线段相切，记点的轨迹为.（1）探究在中是否存在与相切的型直线，并证明；（2）若点在的2型直线上，在点处的切线与交于，两点，求；（3）若的外接圆与直线相切，且与的一条型直线相切，求的最小值.（1）证明：存在与相切的型线，证明如下：以为轴，边中线的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，由题意可知圆与线段相切，所以到距离与到点的距离相等，所以轨迹为抛物线，因为为等边三角形，所以边的中线长为6，即，的轨迹方程为，且.根据三角形的性质，易得点的坐标为，所以设过点的直线为，联立，消得，所以，解得，当时，直线为，点在直线上，此时直线分三角形面积之比为，同理，时，直线过点，也分三角形面积之比为，所以存在两条2型线，得证.（2）解：设点的坐标为，则的重心为，因为点在的2型直线上，且因为，且，即分面积为，所以过的顶点，又因为，排除在、上