河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期3月月考（一调）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期3月月考（一调）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题意知，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.已知为虚数单位，则复数（）A B. C. D.【答案】A【解析】．故选：A．4.已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立；若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.故选：B.5.若单位向量，满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，为单位向量，两边平方，得，所以，则．故选：D．6.已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依题可得，且不共线，即，解得且.故选：C.7.如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，，在中，，，则，由正弦定理，可得，在中，(m).故选：A.8.在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（）A.9 B.12 C. D.27【答案】C【解析】因为，所以在上，又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，又的中垂线和的角平分线重合，所以平分，即，因为，所以，所以，在与中，由正弦定理可得①，②，因为，所以，又，两式相除可得，由，所以，设，则，在与中，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去），则，在中，所以.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若两个非零向量共线，则必在同一直线上B.若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反C.若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量【答案】CD【解析】对选项A，若两个非零向量共线，则与平行或在一条直线上，故A错误.对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误.对选项C，若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确.对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确.故选：CD.10.若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（）A.若，则在第二象限B.若为纯虚数，则在虚轴上C.若，则点的集合所构成的图形的面积为D.若，则为实数【答案】BD【解析】对于A，，故，点在实轴上，故A错误；对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；对于C，，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆，面积为，故C错误；对于D，设，则，则，故D正确.故选：BD.11.如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（）A.与不能构成一组基底B.C.在上的投影向量的模为D.的取值范围为【答案】AD【解析】对于A：连接，，，，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，与平行，不能构成一组基底，故A正确；对于B：，，，，，故B错误；对于C：，，，，，在向量上的投影向量的模长为，故C错误；对于D：取的中点，则，，，，两式相减得：，当点与点或重合时，最大，最大值为，的最大值为，当点与点重合时，最小为，的最小值为，的取值范围为，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】，，且，∴，解得，∴，可得．13.在中，是上一点，若，则__________.【答案】【解析】在中，，则，又，且不共线，则，所以.14.已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】因为，由余弦定理得，则，所以，又，所以，解得或，因为为锐角三角形，所以，，所以，其中，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，点，，记，．（1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值；（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标．解：（1）设与的夹角为，则．（2）设点，因为四边形为平行四边形，所以．又，，所以，解得．故．16.已知复数满足.（1）求复数和；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.解：（1）因为复数满足，所以，所以.所以.（2）因为复数是关于的方程的一个根，由（1）知，所以，所以，解得，.17.如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．（1）用向量表示；（2）求的大小．解：（1）由可知，，则，所以；又为边上中线，所以．（2）由得，又，所以向量与的夹角为，则，由图形可知，的大小等于向量与的夹角，又，，，所以，又，所以．18.在锐角△中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．解：（1），由余弦定理可得，整理得，∴，∵，∴，∴，∴．（2）由正弦定理可知△的外接圆半径为，∴，∴，∴．∵△为锐角三角形，∴即∴，∴，∴，∴，即的取值范围为．19.若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．（1）求∠BAC；（2）若，，，求C的坐标；（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．解：（1）因为与同向，设，则，，又∠GAB，．因为，所以，所以，由，得，又，所以，．（2）由（1）知