河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合或，，则（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】因为，所以，因为，故.故选：B.2.若点是角终边上一点，且，则y的值为（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函数的定义得，所以，又，解得.故选：D.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，，所以.故选：B.4.若，且，则的值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，可得，又因为，所以，所以，则.故选：A5.已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（）A.－4 B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，则，又因为，所以，即，所以，所以的周期为4，，因为为奇函数，所以.故选：C.6.若为奇函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.-1【答案】C【解析】由题意得，因为为奇函数，所以为偶函数，令，定义域为R，则，即，即，此时，定义域为R，满足，即为奇函数，故.故选：C.7.在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，与单调递增，A，B均不符合题意；当时，与单调递减，对于，当时，C不正确.故选：D.8.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因为对，且，都有，即成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】A选项，，选项A正确；B选项，，选项B错误；在中，由正弦定理得，故C和D正确.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，其中的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.的图象可以由向左平移个单位长度得到D.在上单调递增【答案】AC【解析】由图，知，∴，∴，因为，，则，∴，∵，∴，故A正确；，故的图象不关于点中心对称，故B错误，，可以由向左平移个单位长度得到，C正确；当时，，∴不单调，D错误.故选：AC.11.若命题“，”是假命题，则k的值可能为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】由题知，是真命题，当，即时，恒成立，时，不恒成立；当时，，解得，综上得.故选：AB.12.已知方程与的根分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于AC，方程与的根分别为，即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，由题知，，与的图象关于对称，与相交可得点与点关于对称，所以，即，故AC正确；设，明显其单调递增，又，对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确；对于D，由B选项知，，则，所以，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知，则的值为__________.【答案】【解析】原式.故答案为：.15.已知，，，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.故答案为：.16.已知函数，若对于任意恒成立，则实数k的取值范围是______________.【答案】【解析】，因为，故的定义域为，令，则，故，即，其中，所以为奇函数，当时，任意，则，故，故，故为上的增函数，由为奇函数可得为上的增函数，由可得，故，故，于是恒成立，当时不等式恒成立；当时，要满足题意则需，，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知集合，.（1）若，求集合；（2）若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围.解：（1）由不等式，即，解得，即，当时，集合，又由，解得，所以，所以.（2）由（1）知，又由，可得，当时，解得，即集合；当时，集合；当时，解得，即集合，因为“”是“”充分不必要条件，即集合是的真子集，所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；当时，满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.19.已知函数.（1）若，求的值；（2）若，，且，，求的值.解：（1）由已知，即，因为，即，解得.（2）依题意，由，，得，，解得，，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∴.20.已知幂函数在上单调递减.（1）求函数的解析式；（2）若，求x的取值范围；（3）若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.解：（1）由幂函数在上单调递减，可得，解得，所以.（2）由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，则可化为，平方得，化简得，解得，所以x的取值范围是.（3）由（1）知，因为对，使得都成立，所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，因为存在，使得成立，可得，又因为，所以是关于的单调递增函数，所以，即，解得或，所以实数t的取值范围为.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的最值及取最值时x的值；（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围.解：（1），故函数的最小正周期为.（2）由（1）知，因为，所以，令，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即时，函数有最大值，最大值为，当，即，函数有最小值，最小值为，综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时.（3）因为函数在内有且只有一个零点，所以在只有一个实根，，即，即函数在的图象在与直线只有一个交点，当时，，画出在上的图象，如下：结合函数图象可知：函数在区间的图象与直线只有一个交点时，，即.22.已知定义域为的函数是奇函数，且.（1）求实数a，b的值；（2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明；（3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）因为函数为奇函数，所以，则①，又因，则②，联立①②解得，故，因为，且定义域为，关于原点对