贵州省遵义市播州区2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省遵义市播州区2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.已知集合，则集合中的元素个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，由，故，故中的元素个数是4.故选：C.3.某校为了丰富学生的课余生活，组织了篮球比赛．已知该校高二（1）班篮球队员甲每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲每场比赛得分的分位数是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.31【答案】C【解析】由茎叶图可知：共有16个数据，则，故得分的分位数为第12和第13个数据的平均数，即.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，则．取，，满足，但不满足．则由可得，由得不到，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，但，故A错误；，但，故B错误；因为，所以，所以，又，所以，所以，故C正确；，但，故D错误.故选：C.6.已知函数，且，则m取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为R，，函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增，不等式，则，即，解得或，所以m的取值范围是.故选：A.7.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（）（参考数据：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】由题意可得，即，两边同时取以10为底的对数，则有，所以，解得，因为，所以.故选：B.8.已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，取的中点，连接，则，于是，因此，所以与的面积的比值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B.单位向量是相等向量C.零向量与任意向量平行 D.向量的模可以比较大小【答案】ACD【解析】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，对于C，零向量与任意向量平行，C正确，对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.故选：ACD.10.依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（）A.A与C B.A与D C.B与C D.B与D【答案】ABC【解析】掷两个质地均匀的骰子的样本空间：，共36个样本点，，共18个样本点，，共24个样本点，，共10个样本点，，共9个样本点，，对于A，，，A是；对于B，，，D是；对于C，，，C是；对于D，，，D不是.故选：ABC.11.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由，则，等号成立条件为，故A错误；对于B，由，得，又，得，故B正确；对于C，由，则，则，等号成立条件为，故C正确；对于D，由B项知，，则，等号成立条件为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某科研所有名研究人员，其中男研究员人数与女研究员人数之比为．现从该研究所所有研究人员中按性别采用分层抽样的方法抽取120名研究人员进行调查，则被抽取到的女研究员人数是_______．【答案】45【解析】由题：抽取的女研究员人数为（人）.13.如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______．【答案】【解析】设扇形的圆心角，，则，由扇形面积公式可知，，所以，所以.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．【答案】【解析】令，则可得，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以为函数的周期，当时，，由题意可得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因为，可得，所以.（2）.（3）.16.其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率；（2）若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差．解：（1）由图可知，，解得，则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为，在内的样本容量为，将这4个样本分别记为．从中随机地选取2个，可知样本空间，共有15个样本点．用事件表示“这2个样本的得分在同一组”，则，有7个样本点，则，即这2个样本得分在同一组的概率为．（2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为，所以在内的样本得分的平均数分，方差.17.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明你的结论；（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．解：（1）函数中，由，得，而，所以.（2）由（1）知，函数的定义域为R，，所以是R上的奇函数.（3）函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，不等式，因此，即，则，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范围是.18.如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上．（1）若是线段的中点，且，求；（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；（3）若，且，求的值．解：（1）若是线段的中点，由题意可知，，，所以.如下图所示：过作于，过作于，因为是等腰梯形，，可知，在直角中，因为，所以，，所以，所以，所以.（2）若是线段的中点，由（1）可知，，在直角中，因为，即，所以，因为，所以，即，解得，.在直角中，由勾股定理可得，所以梯形的面积.（3）由（1）可知，在直角中，因为，，所以，所以，设，所以，又由（1）知，所以，所以，因为，所以，整理得，解得或（舍），所以19.某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．（1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；（2）求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．解：（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，则，，所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为.（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.又获得的奖品价值总和不低于80元，故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到4